不等式应用题教师副本.docx

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不等式应用题教师副本

1、专题精讲

专题1解已知总量不等式（组）应用题的方法

⑴找关键词——不等量

⑵找对比（两种情况），设未知数

⑶找总量

⑷总量已知：

两种情况各自与总量比较（两个不等式）

例1（一元一次不等式组）一本英语书98页,张力读了7天（一周）还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?

考点：

一元一次不等式组的应用．

分析：

先设张力每天读x页，然后可求出李永平均每天读的页数，根据题意列出不等式组，解即可．

解答：

解：

设张力平均每天读x页，则李永平均每天读（x+3）页，

依题意

解得，11＜x＜14．（8分）

又因为x为整数，所以x=12或13．

答：

张力平均每天读12或13页．

点评：

此题比较简单，考查一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．

触类旁通

某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。

问该宾馆底层有客房多少间?

分析：

设该宾馆有x间客房，根据某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人，可列出不等式组求解．

解答：

解：

设该宾馆底层有x间客房．

解得9.6＜x＜10.6．

底层房间可能有10间．

点评：

本题考查理解题意能力，关键是知道人数，设出房间数，根据题目所给的条件列出不等式组求解．

专题2解总量未知不等式（组）应用题的方法

⑴找关键词——不等量

⑵找对比（两种情况），设未知数

⑶找总量

⑷总量未知：

两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）

例1用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。

请问：

有多少辆汽车？

考点：

一元一次不等式组的应用．

分析：

如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．

解答：

解：

设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．

∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，

∴装满的有x-1辆车，

由题意，得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8，

解得5＜x＜7．

∵x为正整数，

∴x=6．

∴4x+20=44．

答：

有6辆车，44吨货物．

点评：

熟练掌握不等式的运用，能够求解一些简单与应用问题．

触类旁通

把若干颗花生分给若干个猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗，如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，但分得到花生．那么猴子有多少只？

花生有多少颗？

考点：

一元一次不等式组的应用．

分析：

设猴子有x只，则花生有（3x+8）颗，根据关键语句“如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，但分得到花生”可得不等式：

0＜（3x+8）-5（x-1）＜5，解不等式即可．

解答：

解：

设猴子有x只，则花生有（3x+8）颗，由题意得：

0＜（3x+8）-5（x-1）＜5，

解得：

4＜x＜6.5，

∵x取整数，

∴x=5或6，

①当x=5时，3x+8=3×5+8=23（颗），

②当x=6时，3x+8=3×6+8=26（颗），

答：

①若有5只猴子，则花生23棵．

②若有6只猴子，花生26棵．

点评：

本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求出解后要注意分类讨论每一种情况，不要遗漏．

专题3解两种“方案比较”应用题的方法

⑴找出两种方案的，设未知数

⑵分别列出两种方案的费用

⑶分情况讨论（结合人数）

【例4】2012年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配

两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个

种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个

种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级

（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？

请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个

种造型的成本是800元，搭配一个

种造型的成本是960元，试说明

（1）中哪种方案成本最低？

最低成本是多少元？

考点：

一元一次不等式组的应用．

分析：

（1）摆放50个园艺造型所需的甲种和乙种花卉应＜现有的盆数，可由此列出不等式求出符合题意的搭配方案来；

（2）根据两种造型单价的成本费可分别计算出各种可行方案所需的成本，然后进行比较；也可由两种造型的单价知单价成本较低的造型较多而单价成本较高的造型较少，所需的总成本就低．

解答：

解：

（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意得

解这个不等式组得

∴31≤x≤33

∵x是整数，

∴x可取31，32，33

∴可设计三种搭配方案

①A种园艺造型31个B种园艺造型19个

②A种园艺造型32个B种园艺造型18个

③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．

（2）方法一：

由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为

33×800+17×960=42720（元）

方法二：

方案①需成本31×800+19×960=43040（元）

方案②需成本32×800+18×960=42880（元）

方案③需成本33×800+17×960=42720（元）

∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．

点评：

本题主要考查不等式在现实生活中的应用，运用了分类讨论的思想进行比较．

三、学法提炼

1、专题特点：

主要是了解不等式的运用特点，能够根据题意列出合适的表达式，并能进行讨论分析，得出合理结果

2、解题方法:

主要是根据题意列出不等式关系，最终结合实际情况进行取值

3、注意事项：

在解题实际问题中，主要是考虑到取值的合理性，例如小数不能取，一般在正整数范围内进行取值。

一、能力培养

1、利润问题

例1、某家服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装．若购进A种9件，B种10件，需要1810元；若购进A种12件，B种8件，需要1880元．

（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？

（2）已知A、B型服装每件可分别获利18元和30元．老板决定购进的A型数量比B型的2倍多4件，且A型最多购进28件。

这样全部售出后获利不低于699元．老板有几种进货方案？

那种方案利润最大？

【答案】解：

（1）A90元，B100元

（2）9、10、11、12四种销售方案

设B服装进x件，则A服装为2x+4件

方程为：

（2x+4）×18+30x>699

解得x>8.25

因为A服装最多购进28件，2x+4=28解得x=12

所以x只要比8.25大且小于等于12就可以．

例2、为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．

（1）问符合题意的组建方案有几种？

请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在

（1）中哪种方案费用最低？

最低费用是多少元？

答案：

（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．

由题意，得

80x+30（30−x）≤190050x+60（30−x）≤1620，

解这个不等式组，得

18≤x≤20．

由于x只能取整数，

∴x的取值是18，19，20．

当x=18时，30-x=12；

当x=19时，30-x=11；

当x=20时，30-x=10．

故有三种组建方案：

方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；

方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；

方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．

（2）方法一：

假设总费用为w，

∴w=860x+570（30-x），

=290x+17100，

∵w随x的增大而增大，

∴当x取最小值18时，总费用最低，最低费用是290×18+17100=22320元．

∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元．

方法二：

①方案一的费用是：

860×18+570×12=22320（元）；

②方案二的费用是：

860×19+570×11=22610（元）；

③方案三的费用是：

860×20+570×10=22900（元）．

2、运输问题

惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者．

（1）3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？

（2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？

【答案】解：

（1）∵3×5+6×3=33＞30，3×1+6×2=15＞13，

∴3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，

这样能将救灾物资一次性地运到灾区.

（2）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（9–x）辆，

由题意得：

解得：

1.5≤x≤5

注意到x为正整数，∴x=2，3，4，5.

∴安排甲、乙两种货车方案共有下表4种：

方案

方案一

方案二

方案三

方案四

甲种货车

2

3

4

5

乙种货车

7

6

5

4

3、原料问题

某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，现计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，则工厂安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？

请你设计出来•

【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题，题中的不等关系不很明显，但经过认真分析，结合生活实际仍可挖掘出题中所蕴含的不等关系，即生产所使用的甲种原料总量不得超过360千克，乙原料总量不得超过290千克，据此可以列出两个一元一次不等式，从而组成一元一次不等式组•

此类题的不等关系不十分显眼，发掘不等关系是解决此类题之关键所在•

解：

设安排生产A种产品x件，则生产B种产品（50－x）件•根据题意，得

，解这个不等式组，得30≤x≤32•

因为x需要取整数，所以x可以取30、31、32，对应50－x应取20、19、18•

故可设计三种方案：

A种产品30件，B种产品20件；A种产品31件，B种产品19件；A种产品32件，B种产品18件•

二、能力点评

主要是考察学生的分类讨论思想，尤其是同种方法的不同特点，从中帮助学生建立良好的思考习惯，防止惯性思维固化学习的能力，增强知识的灵活运用。

学法升华

一、知识收获

主要是通过学习，掌握两种问题的分析方法，正确处理生活问题，增强学习兴趣。

二、方法总结与技巧提炼

运输问题主要是掌握运输能力一定要比现有总数等于或者大于，而原料问题主要是要在现有基础之内的问题，所以两者虽然运用的方法一样，但是处理方式是不同的，需要灵活把握，正确处理。

课后作业

1、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

型号

占地面积（单位:

/个）

使用农户数（单位:

户/个）

造价（单位:

万元/个）

A

15

18

2

B

20

30

3

已知可供建造沼气池的占地面积不超过365

，该村农户共有492户．

（1）满足条件的方案共有几种?

写出解答过程．

（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

答案：

（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20-x）个，

依题意得：

15x+20（20−x）≤36518x+30（20−x）≥492，

解得：

7≤x≤9．

∵x为整数∴x=7，8，9，

所以满足条件的方案有三种．

（2）

解法②：

由

（1）知共有三种方案，其费用分别为：

方案一：

建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，

总费用为：

7×2+13×3=53（万元）．

方案二：

建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，

总费用为：

8×2+12×3=52（万元）．

方案三：

建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，

总费用为：

9×2+11×3=51（万元）．

∴方案三最省钱．

2、.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A.B两种型号的设备，其中每台的价格.月处理污水量及年消耗费如下表：

（12分）

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

处理污水量（吨/月）

240

200

年消耗费（万元/台）

1

1

经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；

（3）在第

（2）问的条件下，若每台设备的使用年限10年，污水厂处理污水费为每吨

10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污

水厂处理相比较，10年节

约资金多少万元？

（注：

企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

答案：

分析：

设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台。

（1）从价格条件到不等式，求出非负数解；

（2）再从污水量处理的角度，对

（1）中几种购买方案进行优选；解：

（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台。

由题意知，12x+10（10－x）≤105,x≥2.5∵x取非负整数，∴x可取0,1,2.∴有三种购买方案：

购A型0台，B型10台；购A型1台；B型9，购A型2台，B型8台。

（2）由题意得240x+200（10－x）≥2040,x≥1,∴x为1或2当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102（万元）当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元）∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台

3、七年级

（2）班有50名学生，老师安排每人制作一

件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

（12分）

需甲种材料

需乙种材料

1件A型陶艺品

0．9kg

0．3kg

1件B型陶艺品

0．4kg

1kg

（1）设制作B型陶艺品

件，

求

的取值范围．

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七年级

（2）班制作A型和B型陶艺品的件数．

答案：

（1）由题意得：

0.9（50-x）+0.4x≤36①===>x≥180.3（50-x）+x≤29②===>x≤20答案：

x的取值范围是l8≤x≤20（x为正整数）．x=18，19，20

（2）制作A型和B型陶艺品的件数为：

①制作A型陶艺品32件，制作B型陶艺品18件；②制作A型陶艺品31件，制作月型陶艺品19件；③制作A型陶艺品30件，制作月型陶艺品20件；

4、“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游；现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元，若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金

，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。

答案：

（1）385÷42＞9，租小车至少10辆，租金320×10=3200元；385÷60＞6，租大车至少7辆，租金460×7=3220元；

（2）设租小车n辆，大车（8-n）辆有：

总座位数=42n+60（8-n）≥385--->480-18n≥385--->18n≥95--->n＞5即：

租小车6辆、大车2辆时，最节省，租金=320*6+460*2=2840元

5、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）利用

（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．

答案：

（1）设甲种商品进X件，则，乙种商品进：

20-X，所用资金不低于190万元，不高于200万元，所以，12x+8（20-x）≤20012x+8（20-x）≥190解得：

7.5≤x≤10所以，可以有三种进货方案：

甲10件，乙10件；甲9件，乙11件；甲8件，乙12件。

（2）、进货的利润的关系式是：

（14.5-12）x+（10-8）（20-x）=2.5x+40-2x=0.5x+40显然x值越大，所获利润越大。

所以，最大利润是：

当x=10,利润是：

0.5*10+40=45（3）的意思是利用上次进货后获得的利润45万元再次进货的进货的方案。

即：

进货资金是45万元时的进货方案。

也就是求几个12与几个8的和是45万元。

题里要求是直接写出来，所以，用尝试法就可以了，一件甲的利润是：

14.5-12=2.5万元，一件乙的利润是:

10-8=2万元，45万元最多可以买3件甲，1件乙，此时利润是：

2.5*3+2=9.52件甲，2件乙，利润：

2.5*2+2*2=91件甲，4件乙，利润是：

2.5+2*4=10.5

6、我校由4位老师和若干学生组成的旅游团，准备到云台山风景区旅游，甲旅行社的收费标准是：

如果买4张全票，则其余人按7折优惠；乙旅行社的收费标准是：

5人以上（含5人）可购买团体票，旅游团体票按原价的8折优惠，这两家旅行社的全票价均为每人300元．

（1）若有10位同学参加该旅游团，问选择哪一家旅行社更省钱？

（2）参加旅游团的学生人数在什么范围内时，选择乙旅行社更省钱？

答案：

1）甲：

300*4+7*0.7*300=2670

乙：

10*300*0.8=2400

所以选择乙

（2）1200+210X=240X，解得X=40

所以40人时，收费一样

7．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

原料

维生素C及价格

甲种原料

乙种原料

维生素C/（单位/千克）

600

100

原料价格/（元/千克）

8

4

现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，

（1）设需用

千克甲种原料，写出

应满足的不等式组。

（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？

答案：

（1）需用x千克甲种原料，则需乙种原料（10-x）千克，

依题意得600x+100（10−x）≥42008x+4（10−x）≤72；

（2）600x+100（10−x）≥4200①8x+4（10−x）≤72②，

由①变形得：

600x+1000-100x≥4200，

整理得：

500x≥3200，

解得：

x≥6.4，

由②变形得：

8x+40-4x≤72，

整理得：

4x≤32，

解得：

x≤8，

可得6.4≤x≤8．

（3）因为甲种原料每千克8元，乙种原料每千克4元，所以甲种原料尽量少时，最省钱．

由

（2）可得，甲需6.4千克，则乙需3.6千克．

7、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产

两种产品共50件，已知生产1件

种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产1件

种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．

（1）按要求安排

两种产品的生产件数，有哪几种方案？

请你设计出来．

（2）哪种生产方案获利润最大？

最大利润是多少？

答案：

（1）解：

设安排生产A种产品x件，B种产品（50-x）件；x件A种产品需要甲种原料9x千克，乙种原料3x千克，可获利700x元；（50-x）件B种产品需要甲种原料4（50-x）千克，乙种原料10（50-x）千克，可获利1200（50-x）元；根据题意，可列不等式组：

9x+4（50-x）≤360

（1）

3x+10（50-x）≤290

（2）

（2）解：

由不等式

（1）得：

x≤30

由不等式

（2）得：

x≥32

不等式组的解集为30≤x≤32

当x=30时，50-x=20

当x=31时，50-x=19

当x=32时，50-x=18

方案一：

安排生产A种产品30件，B种产品20件

方案二：

安排生产A种产品31件，B种产品19件

方案三：

安排生产A种产品32件，B种产品18件

（3）解：

根据题意，设利润为y元

y=700x+1200（50-x）

y=700x+60000-1200x

y=-500x+60000

y=-500x+60000

当x取最小值时，y有最大值，x的最小值为x=30

当x=30时，y=-500×30+60000=45000

方案一所获利润最大，最大的利润为45000元。

8、某生产“科学计算器”的公司有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售．经公司多方考察，发现公司的生产能力受到限制，决定引入一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作．分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20%，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍．如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半．

（1）试确定分派到新生产线的人数；

（2）当多少人参加新生产线生产时，公司年总产值最大？

相比分工前，公司的年总产值的增长率是多少？

答案：

（1）设分工前人均年产值为a元，分派到新生产线x人，

则原生产线上还有（100-x）人，

依题意，得，

解之，得12.5≤x≤16，

所以，x的取值只能为13，14，15，16；

（2）当16人参加新生产线生产时，公司年总产值最大，相比分工前，公司年总产值的增长率为64.8%。