积分上限函数性质及其应用数学.docx
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积分上限函数性质及其应用数学
2014届本科毕业论文(设计)
题目:
积分上限函数性质及其应用
所在学院:
数学科学学院
专业班级:
数学与应用数学09-3班
学生姓名:
指导教师:
答辩日期:
2014年5月5日
新疆师范大学教务处
摘要:
积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,在证明原函数存在定理和证明牛顿-莱布尼茨定理中占重要地位。
本文首先对积分上限函数的初等性质进行研究,深入讨论了特性,并用积分上限函数的性质来求特殊函数的倒数,极限,其次讨论积分上限函数在证明不等式中的应用,证明积分中值定理中的应用,最后讨论了二元积分上限函数的性质及其它的应用。
关键词:
积分上限函数,性质,定积分,连续,微分中值定理,二元积分上限函数。
引言
原函数存在定理:
设函数
与
在区间I上都有定义,若
,X
I则称
为
在区间
上的一个原函数,函数
在区间
上的全体原函称为
在
上的不定积分,
。
为方便可写:
于是又有
原函数存在定理是微积分学中基本定理。
牛顿–莱布尼茨公式:
若函数
在
上连续,且存在原函数
,即
,
,则
在
上可积,且
,这称为牛顿–莱布尼茨公式,
而在积分学中,为证明原函数存在定理及牛顿–莱布尼滋公式,引进了积分上限函数
。
本文讨论此函数的相关性质,比如导数存在性,连续性,有界性,周期性等,除此之外本文讨论了一元积分上限函数在微分中值定理中的应用,在证明不等式中的应用,求极限中的应用以及相关问题,更进一步的讨论了二元积分上限函数的定义,性质和应用,而且有关它的问题。
1积分上限函数
定义:
设函数
在区间
上可积,则对于每一个取定
,
在
上也可积
,于是由
定义了一个以积分上限
为自变量的函数,这称为函数
的积分上限函数(简称上限函数),也可以称为变限积分函数。
积分上限函数有明显的几何意义:
设
有
,则积分上限函数
是区间
上的上的区边梯形的面积,如图
(1)的阴影部分。
2上限积分函数的性质
(1)有界性
若
在
上可积,则积分上限函数
在
上有界。
证明:
因为,
在
上可积,则
在
上有界,即
,使得
,有
即证
在
上有界。
(2)单调性
若
在
上可积,且
,
则积分上限函数
在
上单调递增(递减)。
(3)连续性
如果函数
在
上是可积,则积分上限函数
在区间
上连续。
证明:
又由已知条件,
在
上有界,即
,
有
,
,
,
即
,当
时
,即
,
在
上连续
由
在
上的任意性,
在
上连续。
(4)奇偶性
设函数
是(-A,A)上的连续函数,则有
1:
若
是奇函数,则
是偶函数。
2:
若
是偶函数,则
当
时奇函数。
(5)可导性
如果函数
在区间
上连续,则积分上限所确定的函数
在区间
上存在导数,并且
,或者说:
积分上限函数所确定的函数是被积函数的一个原函数。
证明:
设
取
,使
,则有:
,已知函数
在闭区间连续,则由积分中值定理,至少存在一点
,使
取
则
或
又由函数
在
的连续性,有
即
,
由此可见,尽管定积分与不定积分
(原函数)的概念是完全不同的,但是二者之间存在着密切的关系。
所以在区间
上的连续函数
存在原函数,而积分上限函数
就是
的一个原函数。
对上述导数存在定理,我们有如下推广:
(6)性质5的推广
如果函数
在区间
上连续
1:
当上限是可微函数
时,
有下面求道公式
2:
当上限与下线都是
的可微函数时,则有如下求导公式
证明:
1,取
,使
由已知函数
是可微函数,
故
又因为
在
连续,由积分中值定理则
是可微的,因此
是连续,
2:
取
便
所以
由已知,
和
都是可微函数
所以
又因为
上连续,由积分中值定理
同理得
所以
与
可微,且它们是连续函数。
所以
(7)周期性
周期为
的可积函数
的积分
,当
时以
为周期的函数
证明:
为
的可积函数
令
则
令
当
时,
成立,既当
时,
函数
为以
为周期的的周期函数。
(8)进一步下面我们有更一般性的性质定理
若
是周期为
的连续函数,则
是周期为
的函数,其中
为任意常数。
证明:
(1)
又因为
未周期为
的连续函数,所以有
(2)
把
(2)代人
(1)得
故
是以
为周期的函数
该定理告诉我们当
是具有周期为
的连续函数,则
可以表示为一次函数
与周期为
的函数
之和。
3积分上限函数的应用
3.1积分上限函数在积分中值定理中的应用
引理:
(积分上限函数的基本定理)
若
在
上连续,则
在
上可导。
定理3.1.1(积分中值定理)
若
在
上连续,则在
内至少存在一点
使
证明:
设积分上限函数
在
上连续,所以由引理知
可导,且
在对
使用积分中值定理:
在
内至少存在一点
使
,既
。
定理3.2(推广的积分中值定理)
若函数
与
在区间
上都连续,且
在
上不变号,则
上至少存在一点C使:
证明:
当
时定理成立,现设
构造两个积分上限函数:
满足微分中值定理的条件,且
在
内一点
使
由引理1知:
那么
又
故
。
3.2积分上限函数在证明不等式中的应用
定理3.2.3设
与
为定义
在上的两格可积函数,若
则
.
定理3.2.4若
与
在
上可积,则
若
在区间
上连续,其中等号当且仅当存在常数
,
使得
时成立(
不同时为零)。
4.有关积分上限函数性质的例题
例1设函数
在
处连续,求
?
解:
例2若
连续且在
点可导,
求
解:
由导数定义知道:
例3设
并且
,证明函数
在
内为增函数。
证明:
时,分母
在
内有定义,
由定理1-7得当
时,
故
从而
在
内为增函数。
例4设
是
上连续奇函数且
单调上升,
求证:
是奇函数
证明:
故
是奇函数。
5.有关一元积分上限函数应用的题
5.1积分上限函数在求极限中的应用
例1
解:
令
则
是
的简短点
是
的可去简短点
在
上连续
从而
5.2积分上限函数在不等式中的应用
例1已知
在
上连续,
为任意实数
求证:
(1)
证明:
(1)式左端第一项应用Schwarz不等式
(2)
同理
(3)
式
(2)+(3)既得式
(1)。
5.3积分上限函数在微分中值定理中的应用
例1设
在
连续,且单调增加,试证明对任何
,恒有
解:
令
则
。
通过这个例子我们可以知道一般涉及某两点的函数值差的题目,可考虑用微分中值定理或微分积分基本公式。
6二元积分上限函数性质和应用
定义:
设
是定义在矩形区域
上的二元函数,当
取
上某定值时,函数
则是定义在
上以
为自变量的一元函数,倘若这时
在
上可积,则其积分值是
在
上取值的函数,记为
,就有
。
一般地设
为定义在区域
上的二元函数,其中
在
上的连续函数,若对于
上的每一
固定的
值,
作为
的函数在闭区间
上可积,则其积分值是
在
上取值的函数,记作
时,就有
。
6.1二元积分上限函数的性质
定理6.1.1(连续性)
若二元函数
在矩形区域
上连续,则函数
在
上连续。
证明:
设
,对充分小的
,有
(1)
由于
在有界闭区域
上连续,从而一直连续,即对人给的正数
,总存在某个正数
,对R内任意两点
与
,只要
就有
(2)
所以由
(1)和
(2)可推得:
当
有
这就证得
在
上连续。
定理6.1.2(可微性)
若函数
与其偏导数
都在矩形区域
上连续,则
在
上可微,
且
证明:
对于
内任意一点
,设
,则
由微分学的拉格郎日中值定理及
,在有界区域
上连续,对任给正数
,存在正数
,只要当
时,就有
其中
,因此
这就证得对一切
有
定理6.1.3(可积性)
若
在矩形区域
上连续,则
和
分别在
和
上可积,这就是说:
在
连续性假设下,同时存在两个求积顺序不同的积分。
例1求:
解:
因为
,所以
通过交换积分顺序得到
求解完毕.
总结
本文中主要讨论积分上限函数的性质和应用,在学习积分上限函数时,要注意区分积分上下限变量与积分变量,不要混淆。
对积分上限函数求导是针对积分限变量的,还有利用积分上限函数的性质而求解函数的解,证明不等式题,积分中值定理是很方便的,很容易达到目的的,因此,深刻理解积分上限函数的定义,准确掌握相关性质,是解决各种积分上限函数有关问题的关键,除此之外二元积分上限函数的应用和用处给了我们很大的帮助,在解决多元函数积分学中二元函数是提供我们基础知识。
参考文献:
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数学分析(上册)[M],高等教育出版社(第三版),2001.220~222
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数学分析中的典型问题与方法[M]。
高等教育出版社,1993258
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积分上限函数,唐山师范学院学报[J],(第30卷第5期)2008.9。
20~22页。
[5]高智民。
原函数存在定理在不等式证明题中的应用,高等数学研究[J],(第6卷第4期)2003.1232~33页。
[6]高鸿。
积分上限函数的主要性质及其应用,湖南商学院学报[J](双月刊)。
(第9卷第3期)2002.5138~139页。
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- 积分上限函数性质及其应用 数学 积分 上限 函数 性质 及其 应用