高考北京卷理科数学附含答案解析docx.docx
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高考北京卷理科数学附含答案解析docx
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试
结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
学科:
网
部分(选择题共40分)
(2)
在复平面内,复数丄的共轭复数对应的点位于
1—i
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
做出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每
一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122•若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率
(6)设a,b均为单位向量,则“a-3b=3ab”是“a⊥b”的
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)在平面直角坐标系中,记d为点P(CoSθ,Sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d
的最大值为
(A)1(B)2
(C)3(D)4
(8)设集合A={(X,y)∣x—y亠1,axy4,x—ay込2},则
(A)对任意实数a,(2,1)∙A(B)对任意实数a,(2,1)-'A
3
(C)当且仅当a<0时,(2,1)-'A(D)当且仅当a时,(2,1)''A
2
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)设{aj是等差数列,且aι=3,a2+a5=36,则IaJ的通项公式为
(10)在极坐标系中,直线PCoS日+f⅛inT=a(a>0)与圆P=2cosB相切,则a=
(11)设函数f(X)=cos(ω∣x-π)^>0),若f*)因)π对任意的实数X都成立,则ω的最小值为
(12)若X,y满足x+1≤y≤2x,贝U2y-X的最小值是.
(13)能说明“若ffX)>ff0)对任意的X∈f0,2]都成立,贝UffX)在[0,2]上是增函数”为假命
题的一个函数是
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
学前网
f15)(本小题13分)
1在厶ABC中,a=7,b=8,cosB=-
7
(I)求∠A;
(∏)求AC边上的高.
(16)(本小题14分)
如图,在三棱柱ABGAIBlCI中,CC1丄平面ABCD,E,F,G分别为AA,ACAQ,BB1的中点,AB=BC√5,
AC=AA=2.
(I)求证:
ACL平面BEF
(∏)求二面角B-CDC的余弦值;
(川)证明:
直线FG与平面BCD相交.
(17)(本小题12分)
电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(∏)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(川)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“k=1”表示第k类电影得
到人们喜欢,“4=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D©,,
D3,D4,D5,D6的大小关系.
(18)(本小题13分)
设函数f(X)=[ax2-(4a1)x4a3]ex.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与X轴平行,求a;
(∏)若f(X)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
(19)(本小题14分)
A,B,且
2
已知抛物线C:
y=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点
直线PA交y轴于M直线PB交y轴于N
(I)求直线I的斜率的取值范围;
—+—+—\—11
(∏)设O为原点,Q^=-QO,QN=JQo,求证:
为定值.
λK
(20)(本小题14分)设n为正整数,集合A={:
|:
=(t1,t2,山,tn),tn{0,1},k=1,2,∣H,n}.对于集合A中的任意元素〉=(为凶,山X)和2=(%,y2,∣ι),yn),记
1
m(:
,L)=2【(xi%-∣χι—%I)(χ2y2-∣χ2—y21)HI(Xnyn-∣χ∏-yn|)].
(I)当n=3时,若」=(1,1,O),7=(0,1,1),求M(:
√)和M(:
J)的值;
(∏)当n=4时,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素:
/■,当:
/■相同时,M(>,1)是奇
数;当:
/■不同时,M(:
√-)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(川)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素:
∙,1,
M(:
')=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由•学科&网
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
、选择题
二、填空题
解:
(1)在厶ABC中,ICoSB=
1,•B∈
7
8
∏),
SinB=1_cosB
由正弦定理得
ab73
=4、3,∙SinA=——.SinASinBSinA2
7
π
∙∙∙B∈(-
2
三、解答题
(15)(共13分)
∏∏
π),∙∙∙A∈(0,-),∙∙∙∠A=-.
23
(□)在厶
ABCψ,vSinC=Sin(A+B)=SinAcosB÷sinBcosA=-3(一1)丄4^-3=3-372714
如图所示,在△ABC中,TSinC=-^,∙h=BCSinC=7=3-3,
BC142
∙∙∙AC边上的高为3卫.
2
(16)(共14分)
解:
(I)在三棱柱AB(CABC中,
∙/CC丄平面ABC
∙四边形AACC为矩形.
又E,F分别为ACAQ的中点,
∙AC⊥EF.
∙∙∙AB=BC
∙∙∙AC⊥BE
∙∙∙AC丄平面BEF
(∏)由(I)知ACLEF,ACLBEEFllCC.
又CC丄平面ABC∙EF丄平面ABC•••BE平面ABC∙EF⊥BE
如图建立空间直角坐称系E-XyZ.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,
0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
UlIDUIr
∙CD=(2,0,1),CB=(1,2,0),
设平面BCD的法向量为n=(a,b,C),
令a=2,贝Ub=-1,c=-4,
∙平面BCD勺法向量n=(2,-1,-4),
Ulr
又•••平面CD(C勺法向量为EB=(0,2,0),
UIr_
uu^nEB√2?
∙cos:
:
nEBUu^=「
InIlEBl21
由图可得二面角BCDC为钝角,所以二面角BCDC的余弦值为亠1.
21
(川)平面BCD的法向量为n=(2,-1,-4),vG(0,2,1),F(0,0,2),
UUUUIUUUl
∙∙∙GF=(0,-2,1),∙nGF=2,.∙∙n与GF不垂直,
解:
(I)由题意知,样本中电影的总部数是
(17)(共12分)
∙GF与平面BCD不平行且不在平面BCC内,∙GF与平面BCD相交.
140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是2OO×0.25=50.
故所求概率为-5L=O025.
2000
(∏)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(ABAB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:
P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0∙25×0∙8+0.75×0∙2=0.35.
(川)D1>D4>D2=D5>D3>D6.
(18)(共13分)
解:
(1)因为f(x)=[ax2-(4a1)x4a3]ex,
所以f'(X)=[2ax-(4a+1)]ex+[aχ2-(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)
=:
ax2-(2a+1)x+2]ex.
f'
(1)=(1-a)e.
由题设知f'
(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3e≠0.
所以a的值为1.
(∏)由(I)得f'(X)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(X-2)ex.
11
若a>—,则当x∈(-,2)时,f'(x)<0;
2a
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)<0在x=2处取得极小值.
11
若a≤,则当x∈(0,2)时,X-2<0,ax-1≤X-1<0,
22
所以f'(X)>0.
所以2不是f(X)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
2
(19)(共14分)
解:
(I)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4χ.
由题意可知直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=kx+1(k≠0).
√2
y4x22
由得kX亠(2k-4)xT=O.
Iy=kx1
依题意&=(2k-4)-4k10,解得k<0或0 又PAPB与y轴相交,故直线I不过点(1,-2).从而k≠-3. 所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (∏)设A(xι,yι),B(X2, y2). 令X=0,得点M的纵坐标为yM 由(I)知X1∙X2=-2k二, k 直线PA的方程为y-2=y_2 1 X1X22. k y1-2=J(X一1). X1-1 -y12-kx11 同理得点N的纵坐标为yN二土2. X2—1 UUUUllUUUrUUU 由QM=QO,QN=JQo得=1_yM,」T-yN. 所以「+为定值. 1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 经验证,对于每组中两个元素α,β,均有Mα,β)=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素. 所以集合B中元素的个数不超过4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件, 所以集合B中元素个数的最大值为4. (川)设Sk=(X1,X2,…,Xn)1(X1,X2,…,Xn)∈A,Xk=1,X1=X2=…=Xk-1=0)(k=1,2,…,∩), Sn+1={(X1,X2,…,Xn)|X1=X2=…=Xn=0}, 则A=SUSU∙∙∙USn+1. 对于Sk(k=1,2,-,n-1)中的不同元素α,β,经验证,Mα,β)≥1. 所以Sk(k=1,2,-,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素. 所以B中元素的个数不超过n+1. 取ek=(X1,X2,…,Xn)∈Sk且Xk+1=…=Xn=O(k=1,2,…,n-1). 令B=(e1,e2,-,en-I)USUS∏+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件. 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.
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