6函数奇 偶 性判断证明和图象对称性.docx
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6函数奇偶性判断证明和图象对称性
6、 奇偶性
1.函数的奇偶性
(1)定义:
①奇函数:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于D内的任意一个x,都有,则这个函数叫做奇函数.
②偶函数:
设函数y=g(x)的定义域为D,如果对于D内的任意一个x,都有,则这个函数叫做偶函数.
(2)性质
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以为对称中心的对称图形,反之,如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于对称,则这个函数是偶函数.
(3)判断奇偶性
①f(x)=|x|;②f(x)=+③f(x)=x2 (x≥1);④f(x)=|x+1|-|x-1|.
2.用定义判断函数奇偶性的步骤是:
(1)求定义域,看定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点不对称,则为非奇非偶函数.
(2)定义域关于原点对称时,看f(-x)=±f(x)(或f(x)±f(-x)=0或=±1(用此式时,f(x)≠0对定义域内任意x都成立))是否成立.如不成立,则为非奇非偶函数.
(3)f(-x)=-f(x)成立时为奇函数.f(-x)=f(x)成立时为偶函数.
3.若一次函数y=kx+b为奇函数,则b=,若二次函数y=ax2+bx+c为偶函数则b=.反比例函数y=(k≠0)是函数.
对于函数奇偶性的讨论,学习时应把握下述几点:
①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的.考察一个函数y=f(x)是否具有奇偶性,不仅考察f(x)与f(-x)之间的关系,更应考察函数的定义域是否关于原点对称.
③以函数的奇偶性作为划分标准,可将函数分为四类:
偶函数,奇函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)=0,但f(x)=0不一定既是奇函数也是偶函数,须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件.
④奇函数y=f(x)若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0.
⑤综合函数的单调性与奇偶性,可得以下常用的两个结论:
奇函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性;偶函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性(ab>0).
⑥有时也用奇偶函数的性质来判断:
偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数.奇函数的和、差为奇函数,两个奇函数的积、商为偶函数.
⑦有些判断奇偶性的题目,须先化简f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断.
[例1] 1、判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x3+;
(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(4)f(x)=2x+1;(5)f(x)=+;(6)f(x)=.
2、判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
[例2] 已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.
2、已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则x>0时,f(x)=________.
[例3] 1、已知b>a>0,偶函数y=f(x)在区间[-b,-a]上是增函数,问函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数还是减函数?
2、
(1)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在[2,6]上是减函数,比较f(-5)与f(3)的大小结果为______.
(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数,且最大值为10,最小值为4,那么f(x)在[-6,-1]上是增函数还是减函数?
求f(x)在[-6,-1]上的最大值和最小值.
[例4] 1、已知偶函数f(x)(图
(1))和奇函数g(x)(图
(2))在y轴右边的一部分图象,试根据偶函数和奇函数的性质,分别作出它们在y轴左边的图象.
2、
(1)如图①是奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-4)·f(-2)=________.
(2)如图②是偶函数y=f(x)的部分图象,比较f
(1)与f(3)的大小的结果为________.
[例5] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-1);
(2)f(x)=.
课堂练习
一、选择题
1.下列函数不具备奇偶性的是( )
A.y=-x B.y=-C.y=D.y=x2+2
2.下列命题中真命题的个数为( )
(1)对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)+f(-x)=0则f(x)是奇函数
(2)对f(x)的定义域内的任意x,都有f(x)-f(-x)=0,则f(x)是偶函数
(3)对f(x)的定义域内的任意x,都有=-1,则f(x)是奇函数
(4)对f(x)的定义域内的任意x,都有=1,则f(x)是偶函数
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函数y=f(x)为奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )
A.(a,-f(a))B.(-a,-f(-a))C.(-a,f(a))D.(-a,-f(a))
4.已知y=f(x)是奇函数,且方程f(x)=0有六个实根,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.1 D.0
5.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( )
A.增函数B.减函数C.部分为增函数,部分为减函数D.无法确定增减性
6.偶函数y=f(x)在区间[-4,-1]是增函数,下列不等式成立的是( )
A.f(-2) (1) 二、解答题7.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=. (2)f(x)=|2x+1|-|2x-1|. (3)f(x)=2|x|.(4)f(x)= 课后练习 一、选择题1.下列命题中错误的是( ) ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数 A.①② B.③④C.①④D.②③ 2.如果奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)在(-∞,0)上( ) A.减函数B.增函数C.既可能是减函数也可能是增函数D.不一定具有单调性 3.已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=( ) A.-15B.15C.10D.-10 4.若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3) (1),则下列各式中一定成立的是( ) A.f(-1) (1)C.f (2)>f(3)D.f(-3) 5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)的值等于( ) A.-1B.1C.D.- 6.设f(x)在[-2,-1]上为减函数,最小值为3,且f(x)为偶函数,则f(x)在[1,2]上( ) A.为减函数,最大值为3B.为减函数,最小值为-3C.为增函数,最大值为-3D.为增函数,最小值为3 7.(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x| 8.(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足f(2x-1) A.B.C.`D. 9.若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a=( ) A.1B.-1C.0D.不存在 10.奇函数f(x)当x∈(-∞,0)时,f(x)=-2x+3,则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A.f (1) (2)B.f (1)=f (2)C.f (1)>f (2)D.不能确定 二、填空题 11.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx的奇偶性为________. 12.偶函数y=f(x)的图象与x轴有三个交点,则方程f(x)=0的所有根之和为________. 三、解答题 13.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=. 14.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式. 15.函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=,求函数f(x)的解析式. 16.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. 17.f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)的图象是经过点(3,-6),顶点为(1,2)的抛物线的一部分,求f(x)的解析式,并画出其图象. 答案 1.函数的奇偶性 (1)定义: ①奇函数: -x∈D,且f(-x)=-f(x)②偶函数: -x∈D,且g(-x)=g(x) (2)性质: 坐标原点坐标原点y轴y轴 (3) [答案] ①偶 ②既是奇函数,又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇 2.用定义判断函数奇偶性的步骤是: (1)求定义域,看定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点不对称,则为非奇非偶函数. (2)定义域关于原点对称时,看f(-x)=±f(x)(或f(x)±f(-x)=0或=±1(用此式时,f(x)≠0对定义域内任意x都成立))是否成立.如不成立,则为非奇非偶函数. (3)f(-x)=-f(x)成立时为奇函数.f(-x)=f(x)成立时为偶函数. 3.b=0,b=0奇. 对于函数奇偶性的讨论,学习时应把握下述几点: ①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的.考察一个函数y=f(x)是否具有奇偶性,不仅考察f(x)与f(-x)之间的关系,更应考察函数的定义域是否关于原点对称. ③以函数的奇偶性作为划分标准,可将函数分为四类: 偶函数,奇函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)=0,但f(x)=0不一定既是奇函数也是偶函数,须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件. ④奇函数y=f(x)若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0. ⑤综合函数的单调性与奇偶性,可得以下常用的两个结论: 奇函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性;偶函数在区间[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性(ab>0). ⑥有时也用奇偶函数的性质来判断: 偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数.奇函数的和、差为奇函数,两个奇函数的积、商为偶函数. ⑦有些判断奇偶性的题目,须先化简f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断. [例1] 1、 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断. ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)定义域为R,且f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)定义域为(-∞,+∞),∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)为偶函数. (4)定义域为(-∞,+∞),f(-x)=-2x+1, ∵f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x), ∴f(x)为非奇非偶函数. (5)定义域为{1}, ∵定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数. 2、[解析] f(x)的定义域为R,当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x), ∴f(x)为奇函数, 当a=0时,有f(x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数. [例2] 1、[分析] 由函数图象关于原点对称可知y=f(x)是奇函数.利用奇函数性质可求得解析式. [解析] ∵函数f(x)的图象关于原点对称. ∴f(x)为奇函数,则f(0)=0, 设x<0,则-x>0,∵x>0时,f(x)=x2-2x+3, ∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3 于是有: f(x)= 先画出函数在y轴右边的图象,再根据对称性画出y轴左边的图象.如下图. 由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]、[1,+∞),单调递减区间是[-1,0)、(0,1]. 2、[答案] -x+1 [解析] x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1, 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)=-x+1. [例3] 1、已知b>a>0,偶函数y=f(x)在区间[-b,-a]上是增函数,问函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数还是减函数? [分析] 由函数的奇偶性进行转化. [解析] 设a≤x1<x2≤b,则-b≤-x2<-x1≤-a.∵f(x)在[-b,-a]上是增函数.∴f(-x2)<f(-x1) 又f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2) 于是 f(x2)<f(x1),故f(x)在[a,b]上是减函数. [点评] 由函数单调性和奇偶性的定义,可以证明在关于原点对称的两个区间上,偶函数的单调性恰是相反的,奇函数的单调性是相同的. 2、[答案] (1)f(-5) [解析] (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-5)=f(5), ∵f(x)在[2,6]上是减函数, ∴f(5) (2)设-6≤x1 ∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10,最小值为4,∴4=f (1)≤f(-x2) 又∵f(x)为奇函数,∴4≤-f(x2)<-f(x1)≤10, ∴-10≤f(x1) 即f(x)在[-6,-1]上是增函数,且最小值为-10,最大值为-4. [例4] 1、[解析] (1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质,画出函数在y轴左边的图象,如图 (1). (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质,画出函数在y轴左边的图象,如图 (2). 2、[答案] (1)2 (2)f(3)>f (1) [解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称,且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2), ∴必过点(-2,-1)和(-4,-2), ∴f(-4)·f(-2)=(-2)×(-1)=2. (2)∵偶函数f(x)满足f(-3)>f(-1), ∴f(3)>f (1). [点评] (1)可由奇函数的性质,先去掉函数记号¡°f¡±内的负号,f(-4)·f(-2)=-f(4)·[-f (2)]=f(4)·f (2)=2×1=2. [辨析] 要判断函数的奇偶性,必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称).有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形,以利于判定其奇偶性. [例5] [正解] (1)由≥0得{x|x>1,或x≤-1}, ∵f(x)定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数. (2)由得-1≤x≤1且x≠0, 定义域关于原点对称,又-1≤x≤1且x≠0时,f(x)==, ∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 课后练习答案 一、选择题 1.[答案] C 2.[答案] D [解析] 四个命题都正确,故选D. 3.[答案] D [解析] ∵-f(a)=f(-a),∴点(-a,-f(a))在y=f(x)的图象上,故选D. 4.[答案] D [解析] 奇函数的图象关于原点对称,方程f(x)=0的六个根,即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标,它们分布在原点两侧各三个,且分别关于原点对称, ∴和为0. 5.[答案] A [解析] ∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数, ∴m=0,∴f(x)=-x2+3,因此f(x)在(-5,-2)上为增函数,故选A. 6.[答案] D 二、解答题a 7.[解析] (1)为偶函数.∵x∈Q时,-x∈Q, ∴f(-x)=1=f(x). 同理,x为无理数时,-x也为无理数. ∴f(-x)=-1=f(x),∴f(x)为偶函数. (2)奇函数.∵f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1|aa =|2x-1|-|2x+1|=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)偶函数.∵f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (4)画出其图象如图,可见f(x)为奇函数. 课后练习答案 一、选择题 1.[答案] D [解析] f(x)=为奇函数,其图象不过原点,故②错;y=为偶函数,其图象与y轴不相交,故③错. 2.[答案] B 3.[答案] A [解析] 解法1: f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,∴f(3)=-15. 解法2: 设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数, ∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15. 4.[答案] A[解析] ∵f(3) (1),∴-f (1)<-f(3),∵f(x)是奇函数,∴f(-1) 5.[答案] A [解析] ∵x>0时,f(x)=2x-3,∴f (2)=22-3=1,又f(x)为奇函数,∴f(-2)=-f (2)=-1. 6.[答案] D [解析] ∵f(x)在[-2,-1]上为减函数,最大值为3,∴f(-1)=3, 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[1,2]上为增函数,且最小值为f (1)=f(-1)=3. 7.[答案] C[解析] 由偶函数,排除A;由在(0,+∞)上为增函数,排除B,D,故选C. 8.[答案] A[解析] 由题意得|2x-1|<⇒-<2x-1<⇒<2x<⇒ 9.[答案] B [解析] 解法1: f(x)=x2+(a+1)x+a为偶函数,∴a+1=0,∴a=-1. 解法2: ∵f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数, ∴对任意x∈R,有f(-x)=f(x)恒成立,∴f(-1)=f (1),即0=2(1+a),∴a=-1. 10.[答案] C[解析] 由条件知,f(x)在(-∞,0)上为减函数, ∴f(-1) (1)>f (2). [点评] 也可以先求出f(x)在(0,+∞)上解析式后求值比较,或利用奇函数图象对称特征画图比较. 二、填空题 11.[答案] 奇函数[解析] 由f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数得b=0,因此g(x)=ax3+cx,∴g(-x)=-g(x), ∴g(x)是奇函数. 12.[答案] 0 [解析] 由于偶函数图象关于y轴对称,且与x轴有三个交点,因此一定过原点且另两个互为相反数,故其和为0. 三、解答题 13.[解析] (1)f(-x)=,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)f(-x)=≠f(x),f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. 14.[解析] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x-2 又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得: f(x)=x2-2,g(x)=x. 15.[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(-1,1),所以f(0)=0,即b=0. 又f=,所以=,所以a=1,所以f(x)=. 16.[解析] 由f(1-a)+f(1-a2)<0及f(x)为奇函数得,f(1-a) ∵f(x)在(-1,1)上单调减,∴ 解得0 17.[解析] 设x≥0时,f(x)=a(x-1)2+2, ∵过(3,-6)点,∴a(3-1)2+2=-6,∴a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+2. 当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x-1)2+2=-2(x+1)2+2,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2(x+1)2-2,即f(x)=, 其图象如图所示.
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