N个M边形相交对最多交点的讨论.docx
- 文档编号:8051033
- 上传时间:2023-01-28
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:204.48KB
N个M边形相交对最多交点的讨论.docx
《N个M边形相交对最多交点的讨论.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《N个M边形相交对最多交点的讨论.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
N个M边形相交对最多交点的讨论
1、n条直线相交最多有几个交点?
分解:
考虑N条直线相交交点最多的情况,那么就有:
A、N条直线当中任意两条直线都相交且不重合——有且只有一个交点。
B、任意两个交点都不重合。
那么在原有N-1条直线的情况下,在图中再加一条直线,并使这条直线满足A、B条件,那么就会增加(N-1)个交点。
用数列Sn表示n条直线相交最多的交点个数。
那么有:
Sn=(n-1)+Sn-1
Sn=(n-1)+(n-2)+Sn-2
Sn=(n-1)+(n-2)+(n+3)+Sn-3
…………
Sn=(n-1)+(n-2)+……+1+0
Sn=n(n-1)/2
2、n个圆相交最多有几个交点?
分解:
考虑N个圆相交交点最多的情况,那么就有:
A、N个圆当中任意两个圆都相交且不重合——有且只有两个交点。
B、任意两个交点都不重合。
那么在原有N-1个圆的情况下,在图中再加一个圆,并使这个圆满足A、B条件,那么就会增加2(N-1)个交点。
用数列Sn表示n个圆相交最多的交点个数。
那么有:
Sn=2(n-1)+Sn-1
Sn=2(n-1)+2(n-2)+Sn-2
Sn=2(n-1)+2(n-2)+2(n+3)+Sn-3
…………
Sn=2(n-1)+2(n-2)+……+2+0
Sn=n(n-1)
3、n个三角形相交最多有几个交点?
分解:
考虑N个三角形相交交点最多的情况,那么就有:
A、N个三角形当中任意两个相交都有最多的交点——6个交点。
B、任意两个交点都不重合。
用Sn表示最多的交点个数。
同1题的解法可得:
Sn=3(n-1)n
4、n个四边形相交最多有几个交点?
此题与上面的三个不同,如下图。
其中一个四边形的任意一条边都与另一个四边形的每一个边都相交。
此时为交点最多的情况,那么有4^2=16个交点。
解析:
N个四边形相交交点最多应满足:
任意两个四边形都有最多的交点(16个交点),且没有任意两个交点重合。
那么
在愿有N-1个四边形的情况下,加一条四边形在图中可增加
4^2(N-1)个交点。
用Sn表示N个四边形最多的交点个数。
Sn=4^2(n-1)+Sn-1
Sn=8n(n-1)
5、n个m边形相交最多有几个交点?
(排除有两个不同的M边形的边在同一直线的情况,因为那种情况可能会导致有无数个‘交点’)
先考虑m为偶数的情况:
类似第4题的分析:
两个M边形最多有M2个交点(其中一个M边形的任意一条边都与另一个M边形的所有边相交)。
再类似第4题的解法可得:
(在这个公式里M边形的任意一条边都和自身以外的所有M边形的所有边相交,由于不在同一条直线上的两条线段最多只能有一个交点。
所以这就是交点最多的情况了。
那么这种情况在实际作图中能不能实现,答案是肯定的!
如下图,如果把两个多边形变窄并拉长,使其外形趁向于一条直线,那么就容易画出来了!
)
再讨论M为奇数时的情况:
M为奇数时任意一条直线都不能同时和M边形的所有的边相交,对于这一论点,可以用一个移动点来证明:
如下图有一条直线和直线外一点A。
红色的是A点的沿任意线段的移动轨迹,一个M边形可以看做是一个点沿M条线段移动又回到原点的运动轨迹。
如果A在前(M-1)次移动都穿过蓝色直线上的某一点,那么在经过(M-1)移动后A点的位置和出发点的位置必然在蓝色直线的同侧,那么连接A,A'的线段就不和蓝色直线相交了!
所以一条直线和一个M边形最多只有(M-1)个交点。
下面来进一步讨论:
如图
红色为刚才A点移动轨迹形成的M边形。
B为M边形外一动点,让B点的每一次沿线段移动都与红色M边形有(M-1)个交点——上面已经证明这是最多的交点了!
那么经过(M-1)次移动后B点的位置B'有且只有两种情况:
第一种情况,B点与原点B在红色M边形某一边的同侧,如上图!
此时连接BB'与红色M边形不在增加交点!
共有(M-1)^2个交点。
第二种情况如下图:
B从红色M边形的边AA'外侧移动(M-1)次后的位置在AA'的临边AA''外侧,此时连接BB'可以增加两个交点!
既有[(M-1)^2+2]个交点。
对于[(M-1)^2+2]个交点是不是两个M边形(M是奇数)的最多的交点个数,现在来进行分析:
仍然看上图,在蓝色M边形的BB'以外的蓝色边上的交点个数都已经达到最大值(M-1)个。
所以如果移动顶点B或B'能使BB'上增加的交点个数大于别的蓝色边上的交点减少的交点个数,那么就能证明[(M-1)^2+2]不是最大交点个数。
否则[(M-1)^2+2]就是所求的最大交点个数!
B,B'可移动的位置不多,所有的可能都实验过,结果就是BB'上每增加一个交点就会使临边减少相同或更多的交点.(这是我个人的观察结果,不一定正确!
)
下图供大家分析:
以在下目前的推论和实验结果:
M为奇数时两个M边形最多有[(M-1)^2+2]个交点。
用Sn表示n个M边形,从而有:
综上所述:
n个M边形相交最多的交点公式:
(上公式同样适用于三角形。
另外,如果把圆看做“一边形”同样可以用这个公式求解。
)
下图是三个7边形相交时交点最多的情况,是支持上述数学式的一个图。
有兴趣的可以自己数一数!
!
!
共有114个交点。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 形相 最多 交点 讨论
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)