高中数学三角函数教案模板共8篇.docx
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高中数学三角函数教案模板共8篇
高中数学三角函数教案模板(共8篇)
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan^2A)Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A=Cos^2A--Sin^2A=2Cos^2A—1=1—2sin^2A三倍角公式
sin3A=3sinA-4(sinA)^3;cos3A=4(cosA)^3-3cosA
tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)半角公式
sin(A/2)=√{(1--cosA)/2}cos(A/2)=√{(1+cosA)/2}
tan(A/2)=√{(1--cosA)/(1+cosA)}
tan(A/2)=(1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积
sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式
sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π/2-a)=cos(a)cos(π/2-a)=sin(a)sin(π/2+a)=cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tanA=sinA/cosA万能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/{1+[tan(a/2)]^2}
cos(a)={1-[tan(a/2)]^2}/{1+[tan(a/2)]^2}tan(a)=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
其它公式
a·sin(a)+b·cos(a)=[√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中,tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a)=[√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a)=[sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)=[sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα公式五:
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα
高中数学—三角函数公式大全
锐角三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
倍角公式
Sin2A=2SinA?
CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
(注:
SinA^2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
辅助角公式
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
成都家教济南家教
=3sina-4sin³a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
=4cos³a-3cosa
sin3a=3sina-4sin³a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos³a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
诱导公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(—a)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
诱导公式记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]
cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]
其它公式
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
一、选择题(每题5分,共35分)1.若sinθcosθ>0,则θ在(
).
A.第
一、二象限
C.第
一、四象限
B.第
一、三象限D.第
二、四象限
2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR,则f(x)是()A、奇函数B、非奇非偶函数C、偶函数D、不能确定
3.设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23,a611,则S7等于(
)A.13
B.35
C.49
D.63
4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为()A.2B.
3C.D.225.已知an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=()A.-2B.-
11C.D.2226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为()A.-3,1
B.-2,2
C.-3,
32D.-2,7.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的A.y=sin2x-,x∈R
C.y=sin2x+,x∈Rπ3π3π个单位,再把所得图332
1倍(纵坐标不变),得到函数图象是(
).2
262πD.y=sin2x+,x∈R
3xπB.y=sin+,x∈R
二、填空题(每题5分,共10分)
8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示,则=
11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.(10分)
2(5分)2cosx1的定义域.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求f(x)的的最大值和最小值;
12.求函数y=sin2x-的图象的对称中心和对称轴方程.(5分)
13.已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.,求通项;(10分)
14.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12.(10分)
(1)求通项an;
(2)求此数列前30项的绝对值的和.
15.设数列an满足a12,an1an322n1(15分)
(1)求数列an的通项公式;
(2)令bnnan,求数列的前n项和Sn
π6
高中数学三角函数公式定理口诀
三角函数是函数,象限符号坐标注。
函数图象单位圆,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。
正六边形顶点处,从上到下弦切割;
中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,
顶点任意一函数,等于后面两根除。
诱导公式就是好,负化正后大化小,
变成税角好查表,化简证明少不了。
二的一半整数倍,奇数化余偶不变,
将其后者视锐角,符号原来函数判。
两角和的余弦值,化为单角好求值,
余弦积减正弦积,换角变形众公式。
和差化积须同名,互余角度变名称。
计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。
逆反原则作指导,升幂降次和差积。
条件等式的证明,方程思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。
公式顺用和逆用,变形运用加巧用;
1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;
三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;
利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。
山西铁路工程建设监理有限公司
刘荣申
高中数学反三角函数的公式小结
反三角函数主要是三个:
y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;
y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],图象用蓝色线条;
y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;
sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx其他公式:
三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x∈[—π/2,π/2]时,有arcsin(sinx)=x
当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0,π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
数学教案-三角函数第一课时_高一数学教案_模板
第四章
三角函数第一教时
教材:
角的概念的推广目的:
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程:
一、提出课题:
“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆:
初中是任何定义角的?
(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”2.讲解:
“旋转”形成角(P4)
突出“旋转”注意:
“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:
角或
可以简记成
4.由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1°角有正负之分
如:
a=210°b=-150°g=-660°2°角可以任意大
实例:
体操动作:
旋转2周(360°×2=720°)3周(360°×3=1080°)3°还有零角一条射线,没有旋转三、关于“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:
30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角
1.观察:
390°,-330°角,它们的终边都与30°角的终边相同2.终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360°30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合
即:
任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和4.例一(P5略)五、小结:
1°角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2°“象限角”与“终边相同的角”六、作业:
P7练习1、2、3、4习题1.41
1.掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.教学重点:
理解并掌握同角三角函数关系式.教学难点:
已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;
教学用具:
直尺、投影仪.教学步骤:
1.设置情境
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.2.探索研究
(1)复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图1所示,任意角的六个三角函数是如何定义的呢?
在的终边上任取一点,它与原点的距离是,则角的六个三角函数的值是:
;
;
;
;
(2)推导同角三角函数关系式
观察及,当时,有何关系?
当且时、及有没有商数关系?
通过计算发现与互为倒数:
∵.
由于,
这些三角函数中还存在平方关系,请计算的值.
由三角函数定义我们可以看到:
.
①平方关系:
②商数关系:
③倒数关系:
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切,同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中,在第三个式中,的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提“同角”的条件.
(3)同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.
【例1】已知,且是第二象限角,求,,的值.解:
∵,且,∴是第二或第三象限角.
如果是第二象限角,那么
如果是第三象限角,那么,
说明:
本题没有具体指出是第几象限的角,则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例2】已知,求的值.
解:
,且,是第二或第三象限角.
如果是第二象限角,那么
如果是第三象限角,那么.
说明:
本题没有具体指出是第几象限角,则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.
【例3】已知为非零实数,用表示,.
解:
因为,所以
又因为,所以
于是∴
由为非零实数,可知角的终边不在坐标轴上,考虑的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:
在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例4
【例4】化简下列各式:
(1);
(2).
解:
(1)
(2)
3.演练反馈(投影)
(1)已知:
,求的其他各三角函数值.
(2)已知,求,.(3)化简:
解答:
(1)解:
∵,所以是第二、第三象限的角.
如果是第二象限的角,则:
又
如果是第三象限的角,那么
(2)解:
∵
∴是第二或第四象限的角由【例3】的求法可知当是第二象限时
当是第四象限时
(3)解:
原式
4.本课小结
(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”,因此,…….
(2)诸如,,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.课时作业:
1.已知,,则等于()
A.
B.C.
D.
2.
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