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常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理
我们知道,如果/C=90°,a、b、c是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a2+b2=c2;反之,若三角形的三边
a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形,c为斜边.与此相类似,如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,
则称a、b、c为勾股数,记为(a,b,c).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:
一、三数为连续整数的勾股数
(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢?
设三数为连续整数的勾股数组为(X—1,x,x+1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x2=(x+1)2,解得x=4或x=0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股
数。
二、后两数为连续整数的勾股数
易知:
(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许
多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢?
22
a=2n+1,b=2n+2n,c=2n+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).
分别取n=1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…
三、前两数为连续整数的勾股数
你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是
前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为:
(x,x+1,2x22x1)(x为正整数)。
设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+1,y),y=.2x22x1则x2亠〔X•1?
=y2(*)
整理,得2x2+2x+1=y2,化为(2x+12_2y2=—1,即(2x+1+J2y)(2x+1_V2y=—1,
又12^2=—1,「.122"11一...2"1=—1(n-N),
故取2x1+<2y=1+^2$,(2x+1-j2y=(1-塔2),
解之,得x=1〔1「.2201+1「22n1—2〕,y=^〔1,22n1--.J2"1〕,
44
故前两数为连续整数的勾股数组是(1〔1..22n1+1「22n1—2〕,1〔1,22nl^...22n1-
44
2〕+1,2〔1.显対1—1-..22n1〕).
4
四、后两数为连续奇数的勾股数
22
如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为:
4(n+1),4(n+1)-1,4(n+1)+1(n是正整数).
五、其它的勾股数组公式:
1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1(m大于1的整数).2.a=1(mi—n2),b=mn,c=—(吊+n2)(其中m>n且是互质的奇数).
22
3.a=2m,b=m—n,c=m+n(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)
下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:
345;
51213;
6810;72425
;81517
;91215
;94041;
102426
;1160
61
;1216
20;
1235
37;13
8485;1448
50;15
2025;
1536
39;
15112
113;1630
34;16
63
65
17144
145;182430;1880
82;19
180181;
2021
29;
2048
52;20
99
101;21
28
35
2172
75;21
220221;22120
122;23264265;
2432
40;
2445
51;24
70
74;24
143145
25
6065;
25312313
28
195197;
29420421
32
255257;
334455;
35
612613;
364860;
39
5265;
398089;
40
399401;
41840841
44
483485;
456075;
48
90102;
48140148
51
6885;
51140149
54
728730;
55132143
57
7695;
57176185
60
175185;
60221229
63
280287;
63660663
66
88110;
66112130
70
168182;
70240250
72
646650;
75100125
77
264275;
77420427
80
315325;
80396404
84
245259;
84288300
87
116145;
87416425
90
216234;
90400410
95
168193;
95228247
96
378390;
96572580
100
105145;
100240260
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;26168170
;3040
50;
33
36
39
56
65;
85;
252255
77
;425670;
45108117
48189195
51432435
55300305
57540543
60297303
64120136
66360366
;273645;
30
33
36
7278;
180183
105111
;39760761
42144150
7296120;
75180195
45200205
48286290
52165173
5690106;
58840842
60448452
64252260
68285293
72135153
75308317
78104130
80798802
84437445
88105137
90672678
95900905
96765771
78160178
81108135
84585591
88165187
91312325
96110146
98336350
27120123;
30224226
33544545
36160164
404258;
42440442
45336339
48575577
52336340
56105119
606387;
60899901
64510514
68576580
72154170
75560565
78504510
81360369
84880884
88234250
91588595
96128160
99132165
;100495505;100621629.以下是大于100的勾股数:
第223组第224组第225组第226组第227组第228组第229组第230组第231组第232组第233组第234组第235组第236组第237组第238组第239组第240组第241组第242组第243组第244组
102136170
102280298
102864870
104153185
104195221
104330346
104672680
105140175
105208233
105252273
105360375
105608617
105784791
108144180
108231255
108315333
108480492
108725733
108969975
110264286
110600610
111148185
6992115;
72210222;
75936939;
8084116;
84112140
85132157
88480488
92525533
96180204
99168195
2845
53;
3260
68;
3584
91;
37684685;
4096
104;
44117125;
4855
73;
50120
130;
5472
90;
56390394;
6091
109;
6384
105;
65156
169;
27364365
28
31480481
32
34288290
35
36323325
43924925
46528530
486480
49168175
52675677
54240246
56192200
56783785
6080100;
60144156
62960962;
63216225
65420425
69260269
,
38360362
40198202
44240244
50624626
657297;
,
407585;
72320328
76357365
80150170
84135159
85204221
88966970
93124155
96247265
99440451
96100
126130
120125
69792795
72429435
76720724
80192208
84187205
85720725
90120150
93476485
96280296
99540549
组:
111680689
组:
112180212
组:
112210238
组:
112384400
组:
112441455
组:
112780788
组:
114152190
组:
114352370
组:
115252277
组:
115276299
组:
116837845
组:
117156195
组:
117240267
组:
117520533
组:
117756765
组:
119120169
组:
119408425
组:
120126174
组:
120160200
组:
120182218
组:
120209241
组:
120225255
组:
120288312
组:
120350370
组:
120391409
组:
120442458
组:
120594606
组:
120715725
组:
120896904
组:
121660671
组:
123164205
组:
123836845
组:
124957965
组:
125300325
组:
126168210
组:
126432450
组:
126560574
组:
128240272
组:
128504520
组:
129172215
组:
129920929
组:
130144194
组:
130312338
组:
130840850
组:
132176220
组:
132224260
组:
132351375
第245
第246
第247
第248
第249
第250
第251
第252
第253
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第286
第287
第288
第289
第290
第291
组:
132385407
组:
132475493
组:
132720732
组:
133156205
组:
133456475
组:
135180225
组:
135324351
组:
135352377
组:
135600615
组:
136255289
组:
136273305
组:
136570586
组:
138184230
组:
138520538
组:
140147203
组:
140171221
组:
140225265
组:
140336364
组:
140480500
组:
140693707
组:
140975985
组:
141188235
组:
143780793
组:
143924935
组:
144165219
组:
144192240
组:
144270306
组:
144308340
组:
144420444
组:
144567585
组:
144640656
组:
144858870
组:
145348377
组:
145408433
组:
147196245
组:
147504525
组:
150200250
组:
150360390
组:
150616634
组:
152285323
组:
152345377
组:
152714730
组:
153204255
组:
153420447
组:
153680697
组:
154528550
组:
154840854
第292
第293
第294
第295
第296
第297
第298
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第332
第333
第334
第335
第336
第337
第338
组:
155372403
组:
155468493
组:
156208260
组:
156320356
组:
156455481
组:
156495519
组:
156667685
组:
159212265
组:
160168232
组:
160231281
组:
160300340
组:
160384416
组:
160630650
组:
160792808
组:
161240289
组:
161552575
组:
162216270
组:
162720738
组:
165220275
组:
165280325
组:
165396429
组:
165532557
组:
165900915
组:
168224280
组:
168270318
组:
168315357
组:
168374410
组:
168425457
组:
168490518
组:
168576600
组:
168775793
组:
168874890
组:
170264314
组:
170408442
组:
171228285
组:
171528555
组:
171760779
组:
174232290
组:
174832850
组:
175288337
组:
175420455
组:
175600625
组:
176210274
组:
176330374
组:
176468500
组:
176693715
组:
176960976
第339
第340
第341
第342
第343
第344
第345
第346
第347
第348
第349
第350
第351
第352
第353
第354
第355
第356
第357
第358
第359
第360
第361
第362
第363
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第372
第373
第374
第375
第376
第377
第378
第379
第380
第381
第382
第383
第384
第385
组:
177236295
组:
180189261
组:
180240300
组:
180273327
组:
180299349
组:
180385425
组:
180432468
组:
180525555
组:
180663687
组:
180800820
组:
180891909
组:
182624650
组:
183244305
组:
184345391
组:
184513545
组:
185444481
组:
185672697
组:
186248310
组:
186952970
组:
189252315
组:
189340389
组:
189648675
组:
189840861
组:
190336386
组:
190456494
组:
192220292
组:
192256320
组:
192360408
组:
192494530
组:
192560592
组:
192756780
组:
195216291
组:
195260325
组:
195400445
组:
195468507
组:
195748773
组:
196315371
组:
196672700
组:
198264330
组:
198336390
组:
198880902
组:
200210290
组:
200375425
组:
200480520
组:
200609641
组:
201268335
组:
203396445
第386
第387
第388
第389
第390
第391
第392
第393
第394
第395
第396
第397
第398
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