学年数学高考一轮复习第十一章推理与证明111合情推理与演绎推理.docx
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学年数学高考一轮复习第十一章推理与证明111合情推理与演绎推理
§11.1 合情推理与演绎推理
命题探究
考纲解读
考点
内容解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
2013
2014
2015
201
6
2017
1.合情推理
由相关背景进行结论推测
B
填空题
★☆☆
2.演绎推理
相关结论的证明
B
填空题
解答题
★★☆
分析解读 推理与证明是新课标新增加的内容,江苏高考一般很少单独考查,但是演绎推理是解答试题必需的过程,所以仍需要认真掌握.
五年高考
考点一 合情推理
1.(2017课标全国Ⅱ文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是 .
①乙可以知道四人的成绩;
②丁可以知道四人的成绩;
③乙、丁可以知道对方的成绩;
④乙、丁可以知道自己的成绩.
答案 ④
2.(2016山东,12,5分)观察下列等式:
+
=
×1×2;
+
+
+
=
×2×3;
+
+
+…+
=
×3×4;
+
+
+…+
=
×4×5;
……
照此规律,
+
+
+…+
= .
答案
考点二 演绎推理
1.(2017北京理,14,5分)三名工人加工同一种零件
他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数
则Q1,Q2,Q3中最大的是 ;
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是 .
答案 ①Q1 ②p2
2.(2013重庆理,22,12分)对正整数n,记In={1,2,…,n},Pn=
.
(1)求集合P7中元素的个数;
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.
解析
(1)当k=4时,
中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为7×7-3=46.
(2)先证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使A∪B=Pn⊇In.不妨设1∈A,则因1+
3=22,故3∉A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.
再证P14符合要求.当k=1时,
=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1={1,2,4,6,
9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14}
则A1,B1为稀疏集,且A1∪B1=I14.
当k=4时,集
中除整数外剩下的数组成集
可分解为下面两稀疏集的并:
A2=
B2=
.
当k=9时,集
中除正整数外剩下的数组成集
…,
可分解为下面两稀疏集的并:
A3=
B3=
.
最后,集C=
m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9
中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3.则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.
综上,所求n的最大值为14.
注:
对P14的分拆方法不是唯一的.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 合情推理
1.(苏教选2—2,二,1,5,变式)观察下列等式:
1-
=
1-
+
-
=
+
1-
+
-
+
-
=
+
+
……,
据此
规律,第n个等式可为 .
答案 1-
+
-
+…+
-
=
+
+…+
2.(苏教选2—2,二,1,4,变式)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形
数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为
=
n2+
n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列
出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 N(n,3)=
n2+
n,
正方形数 N(n,4)=n2,
五边形数 N(n,5)=
n2-
n,
六边形数 N(n,6)=2n2-
n,
……,
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .
答案 1000
3.(2017江苏南京溧水中学质检,11)观察下列式子:
1+
<
1+
+
<
1+
+
+
<
……,则可归纳出 .
答案 1+
+
+…+
<
(n∈N*)
4.(2017江苏南京、盐城一模,12)如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=
(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk,k=1,2,…,其中A1是坐标原点,△AkBkAk+1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是 .
答案 512
5.(2016江苏姜堰联考,13)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,
设aij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2015,则i+j= .
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24
……
答案 110
考点二 演绎推理
6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设数列{an}共有4项,满足a1>a2>a3>a4≥0,若对任意的i,j(1≤i≤j≤4,且i,j∈N*),
ai-aj仍是数列{an}中的某一
项.现有下列命题:
①数列{an}一定是等差数列;②存在1≤i≤j≤4,使得iai=jaj;③数列{an}中一定存在一项为0.其中,真命题的序号
有 .(请将你认为正确命题的序号都写上)
答案 ①②③
7.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)设命题p:
对任意的x∈
sinx≤ax+b≤tanx恒成立,其中a,b∈R.
(1)若a=1,b=0,求
证:
命题p为真命题;
(2)若命题p为真命题,求a,b的所有值.
解析
(1)证明:
若a=1,b=0,则命题p
:
对任意的x∈
si
nx≤x≤tanx恒成立.
如图,设∠MOP=x.则sinx=|MP|,cosx=|OM|,tanx=|AT|,x=l
.
∵x∈
时,S△AOP=
|OA|·|MP|=
sinx,
S扇形AOP=
l
·|OA|=
x,
S△AOT=
|OA|·|AT|=
tanx,
且S△AOP
∴
sinx<
x<
tanx,即sinx 当x=0时,sinx=x=tanx=0,∴当x∈ 时,sinx≤x≤tanx恒成立.即命题p为真命题. (2)若命题p为真命题,则当x=0时,sin 0≤b≤tan 0,所以b=0. 此时命题p: 对任意的x∈ sinx≤ax≤tanx恒成立. 显然a≠0. 若a<0,令f(x)=ax-sinx,x∈ ∴f'(x)=a-cosx<0恒成立, ∴f(x)在 上单调递减, ∴f(x)≤f(0)=0,即ax≤sinx,矛盾.
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- 学年 数学 高考 一轮 复习 第十一 推理 证明 111 合情 演绎
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