数学建模的实验报告.docx
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数学建模的实验报告
一、问题
路灯照明问题。
在一条20m宽的道路双侧,分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m。
在乌黑的夜晚,当两只路灯开启时,两只路灯连线的路面上最
暗的点和最亮的点在哪里?
假如3kw的路灯的高度能够在3m到9m之间变化,怎样路面上最暗点的亮度最大?
假如两只路灯的高度均能够在3m到9m之间变化,结果又怎样?
二、数学模型
已知P1为2kw的路灯,P2为3kw的路灯,以地面为X轴,路灯P1为Y轴,成立平面直角坐标系。
此中,P1、P2高度分别为h1、h2,水平距离为S=20m。
设有一点Q(x,0),P1、P2分别与其相距R1、R2。
以下列图示。
y
P2
P1
R1
R
h2
2
h1
α1
α2
Q
O
x
x
S
经查阅资料得,光照强度公式为:
,设光照强度k=1。
则,
两个路灯在Q点的光照强度分别为:
p1sina1
p2sina2
I1
I2
R12
R22
此中:
2
2
2
R
2
2
2
R1
=h1
+x
2=h2+(S-x)
则Q点的光照强度Ix=I1+I2
分别依据题目中的不一样要求,带入不一样数值,求导,令导数为零,求得极值,进一步剖析对照,求得最值。
三、算法与编程
1.当h1=5m,h2=6m时:
symptomsxy
x=0:
0.1:
20;y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3);
plot(x,y)
gridon;
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
5
10
15
20
25
-5
在图中的0-20米范围内可获得路灯在路面照明的最亮点和最
暗点
①对Ix求导:
symsx
f=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)
②运用MATLAB求出极值点
s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^
2)^(5/2))');
s1=vpa(s,8)
s1=
.28489970e-1
8.5383043+11.615790*i
19.976696
9.3382991
8.5383043-11.615790*i
③依据实质要求,x应为正实数,选择19.9767、9.3383、
0.02849三个数值,经过MATLAB计算出相应的I值:
symsx
I=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);
subs(I,x,19.9767)
subs(I,x,9.3383)
subs(I,x,0.02849)
ans=
0.0845
ans=
0.0182
ans=
0.820
x
0.028
9.338
19.97
49
29
66
I
0.082
0.084
0
0.018
5
综上,在19.3
米时有最亮点;
2
在9.33米时有最暗点
2.当h1=5m,3m
①对h2求偏导,并令其为0:
②运用MATLAB求出极值点
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')
ans=
20+2^(1/2)*h
20-2^(1/2)*h
③对x求偏导,并令其为0:
④经过MATLAB,将步骤②上当算出的对于h2的表达式带入上式,并求出h2的值;
solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')
ans=
⑤经过MATLAB,利用已求得的h2,计算获得x,并进一步计
算获得I
h=7.42239;
x=20-2^(1/2)*h
I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))
x=
9.5032
I=
0.0186
3.当h1,h2均在3m-9m之间时:
①同上,经过MATLAB求解下边的方程组:
solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/2)')
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')
ans=
2^(1/2)*h1
-2^(1/2)*h1
ans=
20+2^(1/2)*h
20-2^(1/2)*h
②依据实质,选择x=h1,x=20-h2,带入第三个式中,得:
③利用MATLAB,求得x值:
s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');
s1=vpa(s,6)
s1=
9.32530
7.33738+17.0093*i
7.33738-17.0093*i
④依据实质需求,选择x=9.32525
⑤带入求解I,并比较获得亮度最大的最暗点
h1=(1/sqrt
(2))*9.32525
h2=(1/sqrt
(2))*(20-9.32525)
h1=
6.5939
h2=
7.5482
四、计算结果
1.当h1=5m,h2=6m时:
0.02848999.33829919.97669
x
0
20
7015
I(x
0.081977
0.0819810
0.018243
0.084476
0.084474
)
16
4
93
55
68
x=9.33m时,为最暗点,I=0.01824393;x=19.97m时,为最亮点,
I=0.08447655。
2.当h1=5m,3m
x=9.5032,h2=7.42239时,路面上最暗点的亮度最大,I=0.0186w。
3.当h1,h2均在3m-9m之间时:
h1=6.5939,h2=7.5482,x=9.32525时,路面上最暗点的亮度最大。
2火箭问题
小型火箭初始重量为1400kg,此中包含1080kg燃料。
火箭竖直向上发射时燃料的焚烧率为18kg/s,由此产生32000N的推力,火箭引擎在燃料用尽时封闭。
设火箭上涨时的空气阻
力正比于速度的平方,比率系数为0.4kg/m。
求引擎封闭瞬时火箭的高度、速度、加快度,及火箭抵达最高点时的高度和加快度,并画出高度、速度、加快度随时间变化的图形。
分析:
火箭上总合携带燃料1080kg,燃料焚烧率为18kg/s,
火箭上涨时间t=60s时,燃料所有烧尽。
阻力正比于速度的平方,比率系数0.4kg/m,可知阻力表达式为f=0.4v2。
因为燃料焚烧,火箭的质量是时间的函数,m(t)=11400-18t
火箭升空速度和加快度变化可分为两个阶段;
第一阶段:
燃料焚烧产生的推力恒定,跟着燃料的不停消
耗,火箭的质量m降低,可得出火箭的速度v以及加快度a是变化的,由牛顿第二定律,依据速度与时间关系,成立微分方程组。
第二阶段,燃料耗尽,此时火箭的质量m恒定。
引擎封闭的瞬时,火箭节余质量:
m=1400-1080=320kg,因为火箭运动遇到阻力的作用,火箭先加快,后减速。
火箭将达到最高速度。
五、算法与编程
由题目已知条件可设置变量:
加快度a质量m时间t速度v协力
f
求出有对于v的微分方程
第一阶段
clear
symsamtvf
m=1400-18*t
f=32000-0.4*v^2-9.8*m
a=f/m
m=
1400-18*t
f=
18280+882/5*t-2/5*v^2
a=
(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t)
odefun=@(t,v)(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t);
s=cumsum(v).*0.1;
subplot(2,2,1)
plot(t,s);
gridon
xlabel('时间');ylabel('高度')
title('1.h/t')
[t,v]=ode45(odefun,[0:
0.1:
60],[0]);
subplot(2,2,2)
plot(t,v);
gridon
xlabel('
时间');ylabel('
速度')
title('2.v/t')
a=diff(v)/0.1;
t2=[0:
0.1:
59.9];
subplot(2,2,3)
plot(t2,a);
gridon
xlabel('时间');ylabel('
加快度')
title('3.a/t')
15000
1.h/t
300
2.v/t
10000
200
度
度
高
速
5000
100
0
20
40
0
0
20
40
60
0
60
时间
时间
15
3.a/t
度
10
速
加
5
0
20
40
60
0
时间
第二阶段
火箭由重力作用上涨,燃料耗尽后火箭质量为320kg。
由牛顿第二定
律
可再次列出微分方程,t>60s.
记y=(h,v)T
functiondy=Rocket(t,y)
dy=[v;-9.8-0.4*v.^2/320];
ts=0:
60
x0=[0,0];
[t,x]=ode45(@Rocket,ts,x0);
[t,x]
forn=1:
2000
T=100-0.01*n;
tss=60:
0.02:
T;
y0=[x(61,1),x(61,2)];
option=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);
[t2,y]=ode45(@Rocket,tss,y0,option);
[t2,y];
ify(:
2)>=0
break
end
end
plot(t,x(:
1),'b',t2,y(:
1),'r'),grid,
title('图1.高度-时间')
xlabel('t/s')
ylabel('h/m')
pause
plot(t,x(:
2),'b',t2,y(:
2),'r'),grid,
title('图2.速度-时间')
xlabel('t/s')
ylabel('v/(m/s)')
pause
a=(32000-0.4*x(:
2).^2)./(1400-18*t)-9.8;
a2=-9.8-0.4*y(:
2).^2/320;
plot(t,a,'b',t2,a2,'r'),grid,
title('图3.加快度-时间')
xlabel('t/s')
ylabel('a/(m/s^2)')
六、计算结果
由MATLAB求解得:
引擎封闭瞬时引擎封闭瞬时:
火箭的高度为h=12190m,速度v=267.26m/s,加快度a=0.91701m/s2。
引擎封闭后:
当t=71.31s时,火箭上涨到最大高度h=13115m,此时火箭的速度
v=0.019874,几乎可以为已经停止,加快度a=-9.8m/s2。
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