角平分线的性质定理及其逆定理.docx
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角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理
一、基础概念
学习目标:
掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线的性质定理证明:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明角平分线的性质定理时,将用到三角形全等的判定公理的推论:
推论:
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
推导过程:
已知:
OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,
垂足分别为点A、点B.
求证:
PA=PB.
证明:
∵PA⊥OM,PB⊥ON
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OC平分∠MON
∴∠1=∠2
在△PAO和△PBO中,
∴△PAO≌△PBO
∴PA=PB
②几何表达:
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
如图所示,∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,
∴PA=PB.
(2)角平分线性质定理的逆定理:
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
推导过程
已知:
点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.
求证:
点P在∠MON的平分线上.
证明:
连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)
∴∠1=∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上.
②几何表达:
(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)
如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB
∴∠1=∠2(OP平分∠MON)
(3)角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路;
②实际生活中的应用.
例:
一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且到河上公路桥头的距离为300米.在下图中标出工厂的位置,并说明理由.
(4)角平分线的尺规作图
活动三:
观察与思考:
尺规作角的平分线
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图),思考这种作法的依据。
步骤一:
以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角的两边分别交于A,B两点。
由作图可知:
OA=OB
步骤二:
分别以点A,B为圆心,以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧,两弧交于点C。
由作图可知:
AC=BC
步骤三:
作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线。
由作图可知:
定理,可得≌
同学们,讨论交流一下,你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗?
试用证明的方法说出作图的正确性。
二、【典型例题】
例1.已知:
如图所示,∠C=∠C′=90°,AC=AC′.
求证:
(1)∠ABC=∠ABC′;
(2)BC=BC′(要求:
不用三角形全等判定).
例2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.
例3. 如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC?
请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?
例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处,距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
(1)学校距铁路的距离是多少?
(2)请写出学校所在位置的坐标.
例5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?
若能,请作出点E,并给出证明;若不能,请说明理由.
练习一
一、填空题:
1.如图1-31,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,BE平分∠ABC交AD于E,EF⊥AB,则AB=,BF=;
2.已知:
如图1-32,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,若BC=5,则△DEC的周长为.
二、选择题:
1.如图1-33,△ABC中,∠B=42°,AD⊥BC于D,E是BD上一点,EF⊥AB于F,若ED=EF,则∠AEC的度数为();
A.60°B.62°C.64°D.66°
2.给出下列命题:
1垂直于同一条直线的两直线平行;
2角平分线上的点到角两边的距离相等;
3三角形的三条角平分线相交于一点;
4全等三角形的面积相等;
其中原命题和逆命题都是真命题的共有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、解答题:
如图1-34,已知:
△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF.求证:
BF是∠ABC的平分线.
【综合练习】
已知:
如图1-35,△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD.求证:
DC⊥AC.
例题答案
例1.已知:
如图所示,∠C=∠C′=90°,AC=AC′.
求证:
(1)∠ABC=∠ABC′;
(2)BC=BC′(要求:
不用三角形全等判定).
证明:
(1)∵∠C=∠C′=90°(已知),
∴AC⊥BC,AC′⊥BC′(垂直的定义).
又∵AC=AC′(已知),
∴点A在∠CBC′的角平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴∠ABC=∠ABC′.
(2)∵∠C=∠C′,∠ABC=∠ABC′,
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C′+∠ABC′)(三角形内角和定理).
即∠BAC=∠BAC′,
∵AC⊥BC,AC′⊥BC′,
∴BC=BC′(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
例2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.
解:
AD平分∠BAC.
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
∴点D在∠EPF的平分线上.
∴∠1=∠2.
又∵PE∥AB,∴∠1=∠3.
同理,∠2=∠4.
∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC.
例3. 如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC?
请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?
解:
AP平分∠BAC.
结论:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
理由:
过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E、F、D.
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等).
同理PF=PE,∴PD=PF.
∴AP平分∠BAC(到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处,距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
(1)学校距铁路的距离是多少?
(2)请写出学校所在位置的坐标.
解:
(1)∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上,
∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等,
又∵点P到公路的距离是400m,
∴点P(学校)到铁路的距离是400m.
(2)学校所在位置的坐标是(400,-400).
评析:
角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.
例5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长?
若能,请作出点E,并给出证明;若不能,请说明理由.
解:
能.过点D作DE⊥AB于E,则△BDE的周长等于AB的长.理由如下:
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
又∵AC=BC,∴AE=BC.
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.
1.4角平分线
练习一
【基础练习】一、1.AC,BD;2.5
.二、1.D;2.A.三、提示:
证AF=EF.
【综合练习】提示:
作DE⊥AB,证△ADC≌△ADE.
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- 平分线 性质 定理 及其 逆定理