教学反思一元二次方程的实际应用 精讲精练含答案.docx
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教学反思一元二次方程的实际应用精讲精练含答案
实际问题与一元二次方程
[学习目标]
1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.
2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.
[预习导引]
在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:
试题:
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
解:
设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:
(40-x)(20+2x)=1200方程化简整理为:
x2-30x+200=0解得:
x1=20x2=10
答:
若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.
当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?
你能帮赵亮同学找找原因吗?
与同伴交流自己的想法.
[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.
[知能互动]
1.列一元二次方程解应用题的特点:
一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.
(1)数字问题:
要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.
如:
一个三位数abc可表示为
连续两个偶数可表示为
连续两个整数可表示为
这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.
(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________表示.
这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.
(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.
在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公
式表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.
(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:
规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.
(1.
(1)100a+10b+c2n2n+2nn+1
(2)a(1+x)n=b(3)p=(b-a)n)
2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.
(1)审:
认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
(2)设:
就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
(3)列:
就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.
(4)解:
就是求出所列方程的解.
(5)答:
就是书写答案,在答之前应对解得的方程
的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.如何探求应用问题中的等量关系.
列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.
(2)充分运用题目中所给的条件.
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.
①利用题目中的关键语句作为相等关系.
②利用公式、定理作为等量关系.
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
[名题探究]
例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.
[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.
[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.
解:
设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数)
根据题意可列方程:
n2+(n+2)2=(n+4)2。
化简,整理,得:
n2-4n-12=0解得:
n1=6,n2=-2
由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6
∴n+2=8,n+4=10即,两直角边为6,8,斜边为10.三角形面积为
.
答:
直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.
[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.
例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?
[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.
[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.
解:
设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,
根据题意可列方程:
2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:
x2+3x-4=0
解这个方程得:
x1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)
答:
该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.
[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.
例3.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使△PDQ的面积等于8厘米2?
(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6厘米2?
[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力.
[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.
解
(1)如图所示,设经过x秒,使得△PBQ的面积为8厘米2,则PB的长度为(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得:
,解之得:
x1=2,x2=4经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处;经过4秒,点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒,△PBQ面积为8cm2.
(2)设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y-8)cm,作PD⊥AC于D.(如图)
AC=
由△CPD∽△CAB得
∴PD=
.
根据题意可列方程:
解这个方程得:
y1=7,y2=11
当y=7时,点P在BC上距C点7cm处,点Q在CA上距离C点6cm处,使△PCQ面积为12.62。
当y=11时,点P在BC上距离C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14>10,点Q已不在CA上,即此解不存在∴y=7
即经过7秒钟,△PCQ的面积为12.6厘米2.
[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.
例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:
这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?
这时进这种玩具多少个?
[命题意图]本例考查经营销售问题.
[解析]设每玩具涨价x元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600-10x)件,根据总利润为12000元列出方程.
[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.
[中考链接]
例5.某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下
(单位:
千克):
8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?
(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪种出售方式合理?
为什么?
(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少?
[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.
[解析]
(1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,
(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.
解
(1)
(千克)
∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)
(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元
送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.
(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:
(19800-7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000
解得:
x1=-3.5(不合题意,应舍去)x2=0.5=50%
答
(1)2001年的水果总产量为18000千克.
(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.
[达标训练]
一、选择题:
1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为
A.9%B.10%C.11%D.12%
2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出
再用水加满,此时容器内酒精浓度为
A.15%B.12.5%C.37.5%D.25%
3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为
A.200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000
C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为cm2.
A.84B.109C.144D.420
5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为
A.28B.82C.28或82D.不确定
6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有人.
A.11B.12C.13D.14
7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是
A.19%B.20%C.21%D.25%
二、填空题:
8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是
9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为
10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为.
三、解答题:
11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?
12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?
13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?
不妨试试看.
14.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.
(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?
(2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.
15.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170-2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?
16.已知直角三角形周长为
斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.
17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.
18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按
交费.
(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费多少元(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份
用电量(度)
交电费总数(元)
3
80
25
4
45
10
根据上表数据,你能求电厂规定的A的值吗?
试试看.
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AB于D,已知AB=4cm,你能求出底边BC吗?
试试看.
20.如图所示,客轮沿折线A---B---C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A-----B---C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍.
(1)选择:
两船相遇之处E点
A.在线段AB上B.在线段BC上C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?
21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品售价多少元?
22.宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?
(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?
(2)使公司的日租金总收入最高?
最高是多少?
[名题探究]答案提示
例4.解:
设每件玩具涨价x元,根据题意可列方程:
(40+x-30)(600-10x)=12000
解之,得:
x1=20,x2=30检验知x1=20,x2=30均符合题意
所以,每只玩具售价应定为60元或70元,进货量应为400只或300只。
[达标训练]答案提示
1.B2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.-11,-9或9,119.510.1.21a元
11.解:
如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x米,
根据题意可列方程(162-2x)(64-4x)=9600,
整理为:
x2-97x+96=0解之:
x1=1x2=96.
而x2=96不符合题意
∴x=1
答:
路宽为1米.
12.解:
2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)
设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160(1+x)2=1.441+x=±1.2(舍去1+x=-1.2)
∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元)
答:
2001年预计经营总收入为1800万元.
13.解:
设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的长为(91+2-2x)米,
根据题意,得x(91+2-2x)=1080
解之:
x1=24,x2=22.5经检验均符合题意.
当x1=24时,91+2-2x=45;当x2=22.5时,91+2-2x=48米
答:
花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.
14.解
(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:
x+(x+26)=356,解之:
x=165,∴x+26=191.
故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得
400+400(1+x)+400(1+x)2=1324解得:
x1=0.1x2=-3.1(不符合题意,应舍去)
故平均每年增长的百分数为10%
15.解:
依据题意有(170-2x)x-(500+30x)=1750,解之得x1=25,x2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.
16.解:
设直角边分别为a,b,根据题意有:
a+b=
①,
②,①2-②2得:
2ab=1.
∴
.
答:
此三角形面积为
.
17.解:
设这个百分数为x,根据题意有:
20(1+x)2=6.4+20(1+12%).
解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意应舍去).
答:
这个百分数为20%.
18.解
(1)
(2)根据题意有
解之:
A1=50,A2=30(不符合题意应舍去).
故电厂规定的A值为50度.
19.解:
∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.
又∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=36°,
在△CBD与△CAB中,∠C=∠C=72°,∠CBD=∠A=36°
∴△CBD∽△CAB∴
.∴BC2=AB·CD.
又∵BC=BD=AD,∴AD2=AC·CD,
设AD=x,则CD=(4-x)∴x2=4(4-x)即x2+4x-16=0.解之:
x1=-2+
(不合题意应舍去)
∴BC的长为(
)cm.
20.
(1)B
(2)货轮从出发到两船相遇共航行了
海里
提示:
设货船从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF⊥CB于F,连结DE,
则DE=xAB+BE=2x∵D是AC中点∴DF=100,EF=300-2x,∴x2=1002+(300-2x)2.
21.解:
设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,
根据题意,得(x-21)(350-10x)=400解之得:
x1=25x2=31(不合题意应舍去).当x1=25时,350-10x=350-250=100.
答:
该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.
22.解1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120-6x)=19380即x2-4x+3=0解之得x1=1x2=3检验知x1=1x2=3均符合题意.
故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.
(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,
则公司每天出租的汽车为(120-6x)辆,则每天的租金总收入为
(160+10x)(120-6x)=-60(x+16)(x-20)=-60(x2-4x-320)
=-60[x2-4x+4-324]
=-60(x-2)2+19440
∴当x=2时,此时有最大值19440
即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.
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