最新723乘法原理之染色法教师版资料.docx
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最新723乘法原理之染色法教师版资料
教学目标
1.使学生掌握乘法原理主要内容,掌握乘法原理运用的方法;
2.使学生分清楚什么时候用乘法原理,分清有几个必要的步骤,以及各步之间的关系.
3.培养学生准确分解步骤的解题能力;
乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题,本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.
知识要点
一、乘法原理概念引入
老师周六要去给同学们上课,首先得从家出发到长宁上8点的课,然后得赶到黄埔去上下午1点半的课.如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具(公交、地铁、出租车、自行车、步行),然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具(公交、地铁),同学们,你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线?
我们看上面这个示意图,老师必须先的到长宁,然后再到黄埔.这几个环节是必不可少的,老师是一定要先到长宁上完课,才能去黄埔的.在没学乘法原理之前,我们可以通过一条一条的数,把线路找出来,显而易见一共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具,并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具,那一共有多少条线路呢?
这样数,恐怕是要耗费很多的时间了.这个时候我们的乘法原理就派上上用场了.
二、乘法原理的定义
完成一件事,这个事情可以分成n个必不可少的步骤(比如说老师从家到黄埔,必须要先到长宁,那么一共可以分成两个必不可少的步骤,一是从家到长宁,二是从长宁到黄埔),第1步有A种不同的方法,第二步有B种不同的方法,……,第n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法.
结合上个例子,老师要完成从家到黄埔的这么一件事,需要2个步骤,第1步是从家到长宁,一共5种选择;第2步从长宁到黄埔,一共2种选择;那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了,即10条.
三、乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分N个必要步骤;
2、每步找种数(每步的情况都不能单独完成该件事);
3、步步相乘
四、乘法原理的考题类型
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题;
2、字的染色问题——比如说要3个字,然后有5种颜色可以给每个字然后,问3个字有多少种染色方法;
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图,比如中国每个省的染色情况,给你几种颜色,问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法;
4、排队问题——比如说6个同学,排成一个队伍,有多少种排法;
5、数码问题——就是对一些数字的排列,比如说给你几个数字,然后排个几为数的偶数,有多少种排法.
例题精讲
【例1】地图上有A,B,C,D四个国家(如下图),现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】A有3种颜色可选;
当B,C取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时D也有2种颜色可选.根据乘法原理,不同的涂法有种;
当B,C取不同的颜色时,B有2种颜色可选,C仅剩1种颜色可选,此时D也只有1种颜色可选(与A相同).根据乘法原理,不同的涂法有种.
综上,根据加法原理,共有种不同的涂法.
【答案】
【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】第一步,首先对A进行染色一共有4种方法,然后对B、C进行染色,如果B、C取相同的颜色,有三种方式,D剩下3种方式,如果B、C取不同颜色,有种方法,D剩下2种方法,对该图的染色方法一共有种方法.
【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,有的需要分类解决,前者分类做也可以解决问题.
【答案】
【例2】在右图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一,使得每个圆里面恰有四种颜色,则一共有__________种不同的染色方法.
【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答
【解析】因为每个圆内个区域上染的颜色都不相同,所以一个圆内的个区域一共有种染色方法.如右图所示,当一个圆内的、、、四个区域的颜色染定后,由于号区域的颜色不能与、、三个区域的颜色相同,所以只能与号区域的颜色相同,同理号区域只能与号区域的颜色相同,号区域只能与号区域的颜色相同,所以当、、、四个区域的颜色染定后,其他区域的颜色也就相应的只有一种染法,所以一共有种不同的染法.
【答案】
【例3】如图,地图上有A,B,C,D四个国家,现用五种颜色给地图染色,要使相邻国家的颜色不相同,有多少种不同染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】为了按要求给地图上的这四个国家染色,我们可以分四步来完成染色的工作:
第一步:
给染色,有种颜色可选.
第二步:
给染色,由于不能与同色,所以有种颜色可选.
第三步:
给染色,由于不能与、同色,所以有种颜色可选.
第四步:
给染色,由于不能与、同色,但可以与同色,所以有种颜色可选.
根据分步计数的乘法原理,用种颜色给地图染色共有种不同的染色方法.
【答案】
【巩固】如图,一张地图上有五个国家,,,,,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少着色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】第一步,给国上色,可以任选颜色,有四种选择;
第二步,给国上色,国不能使用国的颜色,有三种选择;
第三步,给国上色,国与,两国相邻,所以不能使用,国的颜色,只有两种选择;
第四步,给国上色,国与,两国相邻,因此也只有两种选择;
第五步,给国上色,国与,两国相邻,有两种选择.共有种着色方法.
【答案】
【例4】如图:
将一张纸作如下操作,一、用横线将纸划为相等的两块,二、用竖线将下边的区块划为相等的两块,三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块,四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……,如此进行8步操作,问:
如果用四种颜色对这一图形进行染色,要求相邻区块颜色不同,应该有多少种不同的染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】对这张纸的操作一共进行了8次,每次操作都增加了一个区块,所以8次操作后一共有9个区块,我们对这张纸,进行染色就需要9个步骤,从最大的区块从大到小开始染色,每个步骤地染色方法有:
4、3、2、2、2……,所以一共有:
种.
【答案】
【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域,要求相邻的区域涂不同的颜色,那么共有几种不同的涂法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答
【解析】涂三块毫无疑问是分成三步.第一步,涂A部分,那么就有三种颜色的选择;第二步,涂B部分,由于要求相邻的区域涂不同的颜色,A和B相邻,当A确定了一种颜色后,B只有两种颜色可选择了;第三步,涂C部分,C和A、B都相邻,A和B确定了两种不相同的颜色,那么C只有一种颜色可选择了.然后再根据乘法原理.
【答案】
【例5】如图,有一张地图上有五个国家,现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色,使相邻的国家所染的颜色不同,不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】这一道题实际上就是例题,因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的,如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题,所以对这幅地图染色同样一共有种方法.
【讨论】如果染色步骤为,那么应该该如何解答?
答案:
也是种方法.
如果染色步骤为那么应该如何解答?
答案:
染色的前两步一共有4×3种方法,但染第三步时需要分类讨论,如果与颜色相同,那么有2种染法,也有2种方法,如果与染不同的颜色,那么有2种染法那么只有一种染法,有2种染法,所以一共应该有
种方法,(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理,加法原理在下一讲中将会讲授),染色步骤选择的经验方法:
每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.
【答案】
【巩固】某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如右图.现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色,共有多少种不同的染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答
【解析】为了便于分析,把地图上的7个县分别编号为、、、、、、(如左下图).
为了便于观察,在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图.那么,为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?
由于有7个区域,我们不妨按、、、、、、的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务.
第1步:
先染区域,有5种颜色可供选择;
第2步:
再染区域,由于不能与同色,所以区域的染色方式有4种;
第3步:
染区域,由于不能与、同色,所以区域的染色方式有3种;
第4步:
染区域,由于不能与、同色,所以区域的染色方式有3种;
第5步:
染区域,由于不能与、同色,所以区域的染色方式有3种;
第6步:
染区域,由于不能与、同色,所以区域的染色方式有3种;
第7步:
染区域,由于不能与、同色,所以区域的染色方式有3种.
根据分步计数的乘法原理,共有种不同的染色方法.
【答案】
【例6】用3种颜色把一个的方格表染色,要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同,一共有种不同的染色法.
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】根据题意可知,染完后这个的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色.
用3种颜色染第一行,有种染法;染完第一行后再染第一列剩下的2个方格,有2种染法;当第一行和第一列都染好后,再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色,可知其余的方格都只有唯一一种染法.
所以,根据乘法原理,共有种不同的染法.
【答案】
【例7】如右图,有A、B、C、D、E五个区域,现用五种颜色给区域染色,染色要求:
每相邻两个区域不同色,每个区域染一色.有多少种不同的染色方式?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】先采用分步:
第一步给A染色,有5种方法;第二步给B染色,有4种方式;第三步给C染色,有3种方式;第四步给D染色,有3种方式;第五步,给E染色,由于E不能与A、B、D同色,但可以和C同色.此时就出现了问题:
当D与B同色时,E有3种颜色可染;而当D与B异色时,E有2种颜色可染.所以必须从第四步就开始分类:
第一类,D与B同色.E有3种颜色可染,共有(种)染色方式;
第二类,D与B异色.D有2种颜色可染,E有2种颜色可染,共有(种)染色方式.
根据加法原理,共有(种)染色方式.
【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决.
【答案】
【巩固】如右图,有A,B,C,D四个区域,现用四种颜色给区域染色,要求相邻区域的颜色不同,每个区域染一色.有多少种染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答
【解析】A有4种颜色可选,然后分类:
第一类:
,取相同的颜色.有3种颜色可染,此时也有3种颜色可选.根据乘法原理,不同的染法有(种);
第二类:
当,取不同的颜色时,有3种颜色可染,有2种颜色可染,此时也有2种颜色可染.根据乘法原理,不同的染法有(种).
根据加法原理,共有(种)染色方法.
【答案】
【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色,要求相邻的区域的字染不同的颜色,但不是每种颜色都必须要用.问:
共有多少种不同的染色方法?
【考点】乘法原理之染色问题【难度】3
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