届高考一轮数学复习理科课时同步63.docx
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届高考一轮数学复习理科课时同步63
课时作业(三十一)
1.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为( )
A.2 B.3
C.4D.8
答案 A
解析 依题意得=q3=8,q=2,选A.
2.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于( )
A.21 B.42
C.135D.170
答案 D
解析 方法一 S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.
方法二 q2==4,又q>0,∴q=2,
a1(1+q)=a1(1+2)=2,∴a1=,
S8==170.
3.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于( )
A.3B.-3
C.-1D.1
答案 A
解析 思路一:
列方程求出首项和公比,过程略;
思路二:
两等式相减得a4-a3=2a3,从而求得=3=q.
4.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项总和为,则此数列的项数( )
A.4B.5
C.6D.7
答案 B
解析 ∵q≠1(14≠),∴Sn=,∴=,
解得q=-,=14×(-)n+2-1,∴n=3,故该数列共5项.
5.数列{an}的前n项和为Sn=4n+b(b是常数,n∈N*),若这个数列是等比数列,则b等于( )
A.-1B.0
C.1D.4
答案 A
解析 等比数列{an}中,q≠1时,Sn==·qn-=A·qn-A,∴b=-1.
6.一正数等比数列前11项的几何平均数为32,从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32,那么抽去的这一项是( )
A.第6项 B.第7项
C.第9项D.第11项
答案 A
解析 由于数列的前11项的几何平均数为32,所以该数列的前11项之积为3211=255,
当抽去一项后所剩下的10项之积为3210=250,
∴抽去的一项为255÷250=25,
又因a1·a11=a2·a10=a3·a9=a4·a8=a5·a7=a,所以a1·a2·…·a11=a,
故有a=255,即a6=25,
∴抽出的应是第6项.
7.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6=( )
A.31.5B.160
C.79.5D.159.5
答案 C
解析 因为1+2an=(1+2a1)·2n-1,则
an=,an=5·2n-2-,
a6=5×24-=5×16-=80-=79.5.
8.等比数列{an}满足:
a1+a6=11,a3·a4=,且公比q∈(0,1),则数列{an}的通项公式为________.
答案 an=·n-6
分析 可以设等比数列的公比为q,将已知条件转化为公比和首项的方程组,通过解方程求解;也可利用等比数列的性质,a3·a4=a1·a6,将已知条件转化为关于a1、a6的方程组,通过解方程组分别求出a1、a6之后,再求公比.
解析 由等比数列的性质,可得a3·a4=a1·a6=,
又∵a1+a6=11,∴a1,a6是方程x2-11x+=0的两根,解之,得x=或x=,又∵0 故q5==,解得q=.从而an=a6·qn-6=·()n-6. 9.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a2n+2=2a,a2=2,则a1=________. 答案 解析 ∵a2·a2n+2=a=2a, ∴=,∴q=, ∵a2=2,∴a1==. 10.已知数列{an},如果a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,那么an=________. 答案 (1-) 解析 a1=1,a2-a1=,a3-a2=()2,…,an-an-1=()n-1,累加得an=1+++…+()n-1=(1-). 11.等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q=________. 答案 2 解析 =q3即q3=8,∴q=2. 12.(2012·江南十校联考)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则Sn=a1+a2+…+an(n∈N*)的取值范围是________. 答案 4≤Sn<8 解析 因为{an}是等比数列,所以可设an=a1qn-1. 因为a2=2,a5=,所以解得 所以Sn=a1+a2+…+an==8-8×()n. 因为0<()n≤,所以4≤Sn<8. 13.在等比数列{an}中,S3=,S6=,求an. 答案 an=3n-3 解析 由已知,S6≠2S3,则q≠1. 又S3=,S6=, 即 ②÷①,得1+q3=28,∴q=3. 可求得a1=.因此an=a1qn-1=3n-3. 14.(2011·大纲全国文)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 答案 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1) 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1 解析 设{an}的公比为q,由题设得 解得或 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. 15.(2011·江西理)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求a的值. 答案 (1)an=(2+)n-1或an=(2-)n-1 (2)a= 解析 (1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-. 所以数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1. (2)设数列{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*), 由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=. 1.等比数列{an}中,公比q=2,S4=1,则S8的值为( ) A.15B.17 C.19D.21 答案 B 2.(2011·东北三校一模)如果等比数列{an}中,a3·a4·a5·a6·a7=4,那么a5等于( ) A.2B. C.±2D.± 答案 B 解析 依题意得a=2,a5=,选B. 3.设项数为8的等比数列的中间两项与2x2+7x+4=0的两根相等,则数列的各项相乘的积为________. 答案 16 解析 设此数列为{an},由题设a4a5=2, 从而a1a2…a8=(a4a5)4=16. 4.(2011·福建理)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式. 解析 (1)由q=3,S3=得=,解得a1=.所以an=×3n-1=3n-2. (2)由 (1)可知an=3n-2,所以a3=3. 因为函数f(x)的最大值为3,所以A=3; 因为当x=时f(x)取得最大值,所以sin(2×+φ)=1. 又0<φ<π,故φ=. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+). 5.已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证: 2S3,S6,S12-S6成等比数列. 证明 由已知得2a1q6=a1+a1q3即2q6-q3-1=0得q3=1或q3=-, 当q3=1时即q=1 {an}为常数列,=命题成立.当q3=-时==, =-1=.∴命题成立. 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是( ) A.B. C.D. 答案 D 解析 数列{an}为等比数列,由8a2+a5=0,知8a2+a2q3=0,因为a2≠0,所以q=-2,=q2=4;==;=q=-2;=,其值与n有关,故选D. 2.(2011·上海)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是( ) A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…a2n,…均是等比数列,且公比相同 答案 D 3.数列{an}为等比数列,已知an>0,且an=an+1+an+2,则该数列的公比q是__________. 答案 解析 由已知可得an=an·q+an·q2, ∵an>0,∴q2+q-1=0,q=. ∵q>0,∴q=. 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=________. 解 设公比为q,S6=S3+q3S3=4S3,∴q3=3, ∴a4=a1·q3=3. 5.(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上,求r的值. 解析 由题意,Sn=bn+r, 当n≥2时,Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于b>0且b≠1, 所以当n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即=b,解得r=-1. 6.等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足条件a1>1,a99a100-1>0,<0.给出下列结论: ①0 A.①②④B.②④ C.①②D.①②③④ 答案 A 解析 ①中,⇒ ⇒q=∈(0,1),∴①正确. ②中,⇒a99·a101<1,∴②正确. ③中,⇒T100 ④中,T198=a1a2…a198=(a1·a198)…(a2·a197)…(a99·a100)=(a99·a100)99>1, T199=a1a2…a198·a199=(a1a199)…(a99·a101)·a100=a<1,∴④正确. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=n. (1)设bn=an-1,求证: 数列{bn}是等比数列; (2)设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式. 解析 (1)由a1+S1=1及a1=S1得a1=. 又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得 an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1. ∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn. ∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项,为公比的等比数列. (2)方法一 由 (1)知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2). ∴2an+1-2an=an-an-1.∴2cn+1=cn(n≥2). 又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=. ∴c2=-=,c2=c1. ∴数列{cn}是首项为,公比为的等比数列. ∴cn=·()n-1=()n. 方法二 由 (1)bn=-·()n-1=-()n. ∴an=-()n+1. ∴cn=-()n+1-[-()n-1+1] =()n-1-()n=()n-1(1-) =()n(n≥2). 又c1=a1=也适合上式,∴cn=()n. 8.(2012·鞍山联考)已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: 数列{bn}是等比数列; (3)若cn=an·bn,求证: cn+1 解析 (1)解: 由已知点An在y2-x2=1上知,an+1-an=1, ∴数列{an}是一个以2为首项,以1为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. (2)证明: ∵点(bn,Tn)在直线y=-x+1上, ∴Tn=-bn+1,① ∴Tn-1=-bn-1+1(n≥2),② ①②两式相减得bn=-bn+bn-1(n≥2), ∴bn=bn-1,∴bn=bn-1. 令n=1,得b1=-b1+1,∴b1=, ∴{bn}是一个以为首项,以为公比的等比数列, (3)证明: 由 (2)可知bn=·n-1=. ∴cn=an·bn=(n+1)·, ∴cn+1-cn=(n+2)·-(n+1)· =[(n+2)-3(n+1)] =(-2n-1)<0, ∴cn+11成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是( )
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- 高考 一轮 数学 复习 理科 课时 同步 63
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