学年九年级数学上学期期中测试题.docx
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学年九年级数学上学期期中测试题
2018-2019学年度九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时,原方程可化为( )
A.(x﹣1)(x﹣3)=0B.(x+1)(x﹣3)=0C.x(x﹣3)=0D.(x﹣2)(x﹣3)=0
2.随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
3.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,2cm,4cm
C.3cm,5cm,9cm,13cmD.1cm,2cm,2cm,3cm
4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )
A.0B.8C.4
D.0或8
5.如图,三角形ABC中,D、E、F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD:
DB=1:
2,BC=30cm,则FC的长为( )
A.10cmB.20cmC.5cmD.6cm
6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.5B.﹣5C.4D.﹣4
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根,则x1+x2,x1x2的值分别为( )
A.﹣2,3B.2,3C.3,﹣2D.﹣2,﹣3
8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,则EC=( )
A.0.9cmB.1cmC.3.6cmD.0.2cm
9.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.100(1+x)=121B.100(1﹣x)=121C.100(1+x)2=121D.100(1﹣x)2=121
10.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=
AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是 .
12.边长为5cm的菱形,一条对角线长是6cm,则菱形的面积是 cm2.
13.如果线段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,则d= .
14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,则∠AOB的度数为 .
15.x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,则a所满足的条件是 .
16.如图,已知正方形ABCD的对角线长为2
,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为 .
三、解答题
(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
18.解方程:
x2﹣2x=2x+1.
19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=
BC,连接DE,CF.求证:
四边形CEDF是平行四边形.
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)已知:
如图,在菱形ABCD中,分别延长AB、AD到E、F,使得BE=DF,连接EC、FC.
求证:
EC=FC.
21.(7分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?
这时应进货多少件?
22.(7分)一只箱子里共3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相同.
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?
(2)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图或列出表格.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO,将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B',折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣
x+8,与x轴相交于点F,且AE=3.
(1)求OC长度;
(2)求点B'的坐标;
(3)求矩形ABCO的面积.
24.(9分)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:
△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
25.(9分)如图,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合),一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒.
(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,则:
AP= cm;QC= cm.(用含t的代数式表示)
(2)若点P为3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,经过多长时间PD=PQ,使△DPQ为等腰三角形?
(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,经过多长时间,四边形BPDQ为菱形?
九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3时,原方程可化为( )
A.(x﹣1)(x﹣3)=0B.(x+1)(x﹣3)=0C.x(x﹣3)=0D.(x﹣2)(x﹣3)=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移项,再分解因式,即可得出选项.
【解答】解:
x(x﹣3)=x﹣3,
x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0,
(x﹣3(x﹣1)=0,
故选A.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能正确分解因式是解此题的关键.
2.随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先利用列举法,列得所有等可能的结果,然后根据概率公式即可求得答案.
【解答】解:
随机掷一枚均匀的硬币两次,
可能的结果有:
正正,正反,反正,反反,
∴两次正面都朝上的概率是
.
故选A.
【点评】此题考查了列举法求概率的知识.解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果,用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
3.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,2cm,4cm
C.3cm,5cm,9cm,13cmD.1cm,2cm,2cm,3cm
【考点】比例线段.
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积,然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论.
【解答】解:
∵1×4≠2×3,
∴选项A不成比例;
∵1×4=2×2,
∴选项B成比例;
∵3×13≠5×9,
∴选项C不成比例;
∵3×1≠2×2,
∴选项D不成比例
故选B.
【点评】本题考查了比例线段:
判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系.
4.关于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )
A.0B.8C.4
D.0或8
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根可得△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,解方程即可得m的值.
【解答】解:
∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,
解得:
m=0或m=8,
故选:
D.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.
5.如图,三角形ABC中,D、E、F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD:
DB=1:
2,BC=30cm,则FC的长为( )
A.10cmB.20cmC.5cmD.6cm
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】先由DE∥BC,EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形,那么BF=DE.再由AD:
DB=1:
2,得出AD:
AB=1:
3.由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理得出DE:
BC=AD:
AB=1:
3,将BC=30cm代入求出DE的长,即可得FC的长.
【解答】解:
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BDEF是平行四边形,
∴BF=DE.
∵AD:
DB=1:
2,
∴AD:
AB=1:
3.
∵DE∥BC,
∴DE:
BC=AD:
AB=1:
3,即DE:
30=1:
3,
∴DE=10,
∴BF=10.
故FC的长为20cm.
故选B
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质,比例的性质,难度不大,得出BF=DE,从而利用转化思想是解题的关键.
6.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.5B.﹣5C.4D.﹣4
【考点】根与系数的关系.
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算.
【解答】解:
设方程的另一根为x1,
由根据根与系数的关系可得:
x1•1=﹣5,
∴x1=﹣5.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣
,x1•x2=
.
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根,则x1+x2,x1x2的值分别为( )
A.﹣2,3B.2,3C.3,﹣2D.﹣2,﹣3
【考点】根与系数的关系.
【分析】直接根据根与系数的关系求解.
【解答】解:
根据题意得x1+x2=
=﹣2;x1x2=
﹣3.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系,关键是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
,x1x2=
.
8.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,则EC=( )
A.0.9cmB.1cmC.3.6cmD.0.2cm
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到
=
,然后利用比例性质求EC的长.
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴
=
,即
=
,
∴EC=0.9(cm).
故选A.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
9.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.100(1+x)=121B.100(1﹣x)=121C.100(1+x)2=121D.100(1﹣x)2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】设平均每次提价的百分率为x,根据原价为100元,表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元,然后再根据价钱为100(1+x)元,表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2元,根据两次提价后的价钱为121元,列出关于x的方程.
【解答】解:
设平均每次提价的百分率为x,
根据题意得:
100(1+x)2=121,
故选C.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用,属于平均增长率问题,一般情况下,假设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n(一般情况下为2),增长后的量为b,则有表达式a(1+x)n=b,类似的还有平均降低率问题,注意区分“增”与“减”.
10.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=
AC,连接CE、OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】菱形的性质.
【分析】先求出四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°,证明四边形OCED是矩形,再根据菱形的性质得出AC=AB,再根据勾股定理得出AE的长度即可.
【解答】解:
在菱形ABCD中,OC=
AC,AC⊥BD,
∴DE=OC,
∵DE∥AC,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴平行四边形OCED是矩形,
∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AD=AB=AC=2,OA=
AC=1,
在矩形OCED中,由勾股定理得:
CE=OD=
=
=
,
在Rt△ACE中,由勾股定理得:
AE=
=
=
;
故选:
C.
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明四边形是矩形是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.方程(x﹣2)2=9的解是 5或﹣1 .
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】观察方程后发现,左边是一个完全平方式,右边是3的平方,即x﹣2=±3,解两个一元一次方程即可.
【解答】解:
开方得x﹣2=±3即:
当x﹣2=3时,x1=5;
当x﹣2=﹣3时,x2=﹣1.
故答案为:
5或﹣1.
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
12.边长为5cm的菱形,一条对角线长是6cm,则菱形的面积是 24 cm2.
【考点】菱形的性质.
【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分,即可得出菱形的另一条对角线的长,再利用菱形的面积公式求出即可.
【解答】解:
如图所示:
设BD=6cm,AD=5cm,
∴BO=DO=3cm,
∴AO=CO=
=4(cm),
∴AC=8cm,
∴菱形的面积是:
×6×8=24(cm2).
故答案为:
24.
【点评】此题主要考查了菱形的性质,熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键.
13.如果线段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,则d= 3.6 .
【考点】比例线段.
【分析】根据比例线段的定义,即可列出方程求解.
【解答】解:
根据题意得:
=
,即
=
,
解得:
d=3.6.
故答案为3.6.
【点评】本题考查了比例线段的定义,注意a、b、c、d是成比例线段即
=
,要理解各个字母的顺序.
14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,则∠AOB的度数为 60° .
【考点】矩形的性质.
【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形,继而求得∠AOB的度数.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OA=OB,
∵ED=3BE,
∴BE:
OB=1:
2,
∵AE⊥BD,
∴AB=OA,
∴OA=AB=OB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°;
故答案为:
60°.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质.熟练掌握矩形的性质,证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键.
15.(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,则a所满足的条件是 a≠﹣2 .
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0,求出即可.
【解答】解:
∵(a+2)x2﹣2x+3=0是关于x的一元二次方程,
∴a+2≠0,
∴a≠﹣2.
故答案为:
a≠﹣2.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义,注意:
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(abc都是常数,且a≠0).
16.如图,已知正方形ABCD的对角线长为2
,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为 8 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】先设正方形的边长为a,再根据对角线长为2
求出a的值,由图形翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,由阴影部分的周长=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出结论.
【解答】解:
设正方形的边长为a,则2a2=(2
)2,解得a=2,
翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,
阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.
故答案为:
8.
【点评】本题考查的是翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
三、解答题
(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.解方程x(x﹣1)=2.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】首先将原方程变形化为一般式,然后利用因式分解法即可求得此方程的根.
【解答】解:
∵x(x﹣1)=2,
∴x2﹣x﹣2=0,
∴(x﹣2)(x+1)=0,
即x﹣2=0或x+1=0,
∴x=2或x=﹣1,
∴原方程的根为:
x1=2,x2=﹣1.
【点评】此题考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程时,需首先将原方程化为一般式再求解.
18.解方程:
x2﹣2x=2x+1.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先移项,把2x移到等号的左边,再合并同类项,最后配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.
【解答】解:
∵x2﹣2x=2x+1,
∴x2﹣4x=1,
∴x2﹣4x+4=1+4,
(x﹣2)2=5,
∴x﹣2=±
,
∴x1=2+
,x2=2﹣
.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;(4)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=
BC,连接DE,CF.求证:
四边形CEDF是平行四边形.
【考点】平行四边形的判定与性质.
【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC,且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四边形CEDF是平行四边形.
【解答】证明:
如图,在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.
∵F是AD的中点,
∴DF=
.
又∵CE=
BC,
∴DF=CE,且DF∥CE,
∴四边形CEDF是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.已知:
如图,在菱形ABCD中,分别延长AB、AD到E、F,使得BE=DF,连接EC、FC.
求证:
EC=FC.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】要证EC=FC,只要证明三角形BCE和DCF全等即可,两三角形中已知的条件有BE=DF,CB=CD,那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论,根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC,因此∠EBC=∠FDC.这样就构成了三角形全等的条件.因此两个三角形就全等了.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,
∴∠EBC=∠FDC.
在△EBC和△FDC中,
,
∴△EBC≌△FDC(SAS),
∴EC=FC.
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定,求简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要注意利用此题中的图形条件,如等角的补角相等.
21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的减价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降1元,商场平均每天可多售出5件.若商场平均每天要盈利1600元,每件衬衫应降价多少元?
这时应进货多少件?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【解答】解:
设每件衬衫应降价x元.
根据题意,得(44﹣x)(20+5x)=1600,
解得x1=4,x2=36.
∵“扩大销售量,减少库存”,
∴x1=4应略去,
∴x=36.
20+5x=200.
答:
每件衬衫应降价36元,进货200件.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:
平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
22.一只箱子里共3个球,其中2个白球,1个红球,它们除颜色外均相同.
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少?
(2)从箱子中任意摸出一个球,不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图或列出表格.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出两次摸出的球都是白球的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:
(1)因为箱子里共3个球,其中2个白球,所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
;
(2)画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中两次摸出的球都是白球的结果数为2,
所以两次摸出的球都是白球的概率=
=
.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:
利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO,将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B',折痕为CE.直线CE的关系式是y=﹣
x+8,与x轴相交于点F,且AE=3.
(1)求OC长度;
(2)求点B'的坐标;
(3)求矩形ABCO的面积.
【考点】一次函数综合题.
【分析】
(1)在直线y=﹣
x+8中令x=0可求得C点坐标,则可求得OC长度;
(2)由折叠的性质可求得B′E,在Rt△AB′E中,可求得AB′,再由点E在直线CF上,可求得E点坐标,则可求得OA长,利用线段和差可求得OB′,则可求得点B′的坐标;
(3)由
(1)、
(2)可求得OC和OA,可求得矩形ABCO的面积.
【解答】
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