北八上上第一章勾股定理导学案.docx
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北八上上第一章勾股定理导学案
第一章勾股定理导学案
第1课时探索勾股定理
(1)
1、三角形按角的大小可分为:
、、。
2、三角形的三边关系:
三角形的任意两边之和;任意两边之差。
直角三角形的两个锐角;
4、在RtΔABC中,两条直角边长分别为a、b,则这个直角三角形的面积可以表示为:
。
直角三角形1
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
3
4
直角三角形2
直角边a
直角边b
斜边c
三边关系满足关系
5
13
5.
(1)画一直角三角形,使其两边满足下面的条件,测量第三边的长度,完成下表;
猜想:
直角三角形的三边满足什么关系
图形
A的面积
B的面积
C的面积
A、B、C面积的关系
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
思考:
每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系?
归纳得出勾股定理。
勾股定理:
直角三角形等于;
几何语言表述:
如图1.1-1,在RtΔABC中,
C=90°,则:
;
若BC=a,AC=b,AB=c,则上面的定理可以表示为:
。
课堂练习:
1、求下图中字母所代表的正方形的面积
2、求出下列各图中x的值。
3.如图所示,强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。
旗杆折断之前有多高?
例题.在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
基础巩固:
1.在△ABC中,∠C=90°,
(1)若BC=5,AC=12,则AB=;
(2)若BC=3,AB=5,则AC=;
(3)若BC∶AC=3∶4,AB=10,则BC=,AC=.
(4)若AB=8.5,AC=7.5,则BC=。
2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木棒加固,木棒的长为.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC=,该直角三角形的面积为。
4.直角三角形两直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为.
5.若直角三角形的两直角边之比为3:
4,斜边长为20㎝,则斜边上的高为。
能力提升:
6.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______cm2.
7.一个直角三角形的三边长为3、4和a,则以a为半径的圆的面积是。
8.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则其面积为.
9.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长。
10.如图,点C是以AB为直径的半圆上一点,∠ACB=90°,
AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是。
第2课时探索勾股定理
(2)
1、勾股定理:
2、求下列直角三角形的未知边的长
3、在一个直角三角形中,两条直角边分别为
,
,斜边为
:
(1)如果
,
,则
,面积为;
(2)如果
,
,则三角形的周长为,面积为;
3、师生互动:
例1、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处,过了25秒,飞机距离女孩头顶5000米处,则飞机的飞行速度是多少?
题1
基础巩固:
题2
1、如右图,AD=3,AB=4,BC=12,则CD=________;
2、如图,阴影部分的面积为;
3、一个直角三角形的三边分别为3,4,
,则
4、若等腰三角形的腰为10cm,底边长为16cm,则它的面积为;
5.如图,从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳,这条缆绳在地面
的固定点距离电线杆底部有米。
6.一直角三角形的斜边比直角边大2,另一直角边长为6,则斜
边长为;
7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米,那么斜边上
的高是;
题5
8.直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为;
9.小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去,哥哥以8km/h的速度向正南方向走去,半小时后,他们相距
10、如图是某沿江地区交通平面图,为了加快经济发展,该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米,该沿江高速的造价是多少?
11.如图,AC是电线杆,从距离地面12M高的A处,向离电杆5M的B处埋线,并埋入地下1.5M深,求拉线长多少米
C
12、.如图,矩形纸片ABCD的边AB=10,BC=6,E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点F处,求BE的和长。
13、如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部
8米处,已知旗杆原长16米,请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
14、有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝,现将ABC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长
15、如图1-4,一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面15米,要使梯子顶端离地24米,则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米?
第3课时探索勾股定理(3)
基础巩固:
1、一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积
为
2、等腰直角三角形三边的平方比为
3、长方形的一条对角线的长为10cm,一边长为6cm,它的面积是
4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为.
5、Rt
ABC中,
,AB=2,则AB2+BC2+CA2=.
6、如图,学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走
“捷径”,在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)。
7、一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
8、等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm,则它的面积是cm2.
9.直角三角形两直角边的比为3:
4,面积是24,求这个三角形的周长.
10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形,一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道?
11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置,连接CC’,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积证明勾股定理。
12.如图,有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
13、如图,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25㎞,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15㎞,CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少㎞处?
14、在一棵树的10米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20米的池塘,而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,问这棵树有多高?
15、以Rt△ABC三边为直径作半圆,这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系?
说明理由。
第4课时能得到直角三角形吗
2、分别以下列每组数为三边作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
(1)3,4,5,
(2)6,8,10(3)9,12,15
勾股逆定理:
条件:
结论:
3、勾股数:
。
下列几组数是否为勾股数?
说说你的理由。
(1)12,18,22
(2)9,12,15(3)12,35,36(4)15,36,39
例1、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。
工人师傅量得AB=3,AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗?
例2、如图,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,图中有几个直角三角形,你是如何判断的?
例3、
(1)如果将一组勾股数扩大相同的倍数,得到的还是勾股数吗?
填写下表。
2倍
3倍
4倍
3,4,5
6,8,10
5,12,13
15,36,39
8,15,17
32,60,68
7,24,25
1.下列说法正确的是()
A.若a、b、c是
的三边,则
B.若a、b、c是
的三边,则
C.若a、b、c是
的三边
,则
D.若a、b、c是
的三边
,则
2、以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )
A、8,15,17; B、4,5,6;C、5,8,10;D、8,39,40
3、下列几组数中,是勾股数的是()
A、4,5,6B、12,16,20C、-10,24,26D、2.4,4.5,5.1
4、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( )
A、等腰三角形B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
5、有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其他数据弄混了,请你帮他找出来﹙﹚
A.13,12,12;B.12,12,8;C.13,10,12;D.5,8,4
6、三角形的三边长a,b,c满足等式(a+b)
-c
=2ab,则此三角形的是三角形。
7、如图,在平行四边形ABCD中,CA⊥AB,若AB=3,BC=5,则平行四边形ABCD的面积为
8、当m=时,以m+1,m+2,m+3的长为
边的三角形是直角三角形。
9.一个三角形的三边之长分别为15,20,25,则这个三角形的最大角为,这个三角形的面积为。
10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2?
b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?
为什么?
11、如图,在?
DEF中,DE=17cm,EF=30cm,EF边上的中线DG=8cm,问?
DEF是等腰三角形吗?
为什么?
12、已知:
在△ABC中,三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)。
试判断△ABC的形状.
13、如图所示的一块草地,已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
14、如图,有一零件是等腰三角形ABC,AB=AC,底边BC=20,D是AB上的一点,且CD=16,BD=12,⊿ACD的形状,并求⊿ABC的周长。
第5课时蚂蚁怎样走最近
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()
A.1.5,2,3;B.7,24,25;C.6,8,10;D.9,12,15
2、若有两条线段,长度分别为5,13,第三条线段的平方为时,这三条线段才能组成直角三角形。
3、圆柱的侧面展开图是________形,圆锥的侧面展开图是_______形。
4、圆的周长公式是___。
5、在一个圆柱石凳上,恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物,想一想,蚂蚁爬行的最短路线是什么?
自己做一个圆柱进行思考探索。
活动一:
如果上面的圆柱高等于12厘米,底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
(π的值取3).
基础巩固:
1、下列说法正确的是()
题5
A.若a、b、c是
的三边,则
B.若a、b、c是
的三边,则
C.若a、b、c是
的三边
,则
D.若a、b、c是
的三边
,则
2、在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,则a=.
3、三角形的三个内角之比为:
1:
2:
3,则此三角形是.
4、三条线段m,n,p满足m2-n2=p2,以这三条线段为边组成的三角形为
5、.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别是5,11,则b的面积为。
6、一天,李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形,厚30cm的床垫回家.到了家门口,才发现门口只有240cm高,宽100cm.你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗?
说明理由.
8、如图,一座城墙高11.7米,墙外有一个宽为9米的护城河,那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端?
9、如图,有一个高1.5米,半径是1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,问这根铁棒最长应有多长?
能力提升:
10、如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?
并求出最近距离.
11、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
12、如图所示,有一高4㎝,底面直径为6㎝的圆锥。
现有一只蚂蚁在圆锥的顶A,它想吃到圆锥底部B点处的食物,需爬行的最短路程是多少?
13、某海中央有一座小岛,以小岛为中心有一股台风正以3千米/小时的速度向正北方向行驶,两小时后遇到一座高山,风向突然改变,改为向正东方向刮去,此时风速更为凶猛,已达到4千米/小时,又过了两小时,这时台风中心距离小岛多远。
14、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。
某日早晨8:
00甲先出发,他以6千米/时的速度向正东行走。
1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向正北行走。
上午10:
00,甲、乙二人相距多远?
15、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8㎝,8㎝,12㎝,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?
蚂蚁要爬行的最短行程是多少?
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