拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲直线与圆圆与圆的位置关系教师版.docx
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拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲直线与圆圆与圆的位置关系教师版
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:
Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d,由
消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0 相切 d=r Δ=0 相离 d>r Δ<0 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示: 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(×) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(×) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(√) (5)过圆O: x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.(√) 2.已知点M(a,b)在圆O: x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 解析 因为M(a,b)在圆O: x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线与圆O相交. 答案 B 3.(2015·全国Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( ) A.2B.8C.4D.10 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,选C. 答案 C 4.(2015·湖南卷)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=________. 解析 如图,过O点作OD⊥AB于D点,在Rt△DOB中, ∠DOB=60°,∴∠DBO=30°, 又|OD|==1, ∴r=2|OD|=2. 答案 2 5.(人教A必修2P133A9改编)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为________. 解析 由得x-y+2=0. 又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为=.由勾股定理得弦长的一半为=,所以,所求弦长为2. 答案 2 考点一 直线与圆的位置关系 【例1】已知直线l: y=kx+1,圆C: (x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明: 不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点; (2)求直线l被圆C截得的最短弦长. 法一 (1)证明 由 消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2| =2=2, 令t=,则tk2-4k+(t-3)=0, 当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R, 所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0, 故t=的最大值为4,此时|AB|最小为2. 则直线l被圆C截得的最短弦长为2. 法二 (1)证明 因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|=<2=R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有与PC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2, 即直线l被圆C截得的最短弦长为2. 规律方法 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几何法,尽量不用代数法. 【训练1】 (1)“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是( ) A.(,2)B.(,3) C.D. 解析 (1)若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则有=2,即|a+1|=4,所以a=3或-5.但当a=3时,直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8一定相切,故“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要条件. (2)当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<. 答案 (1)A (2)D 考点二 圆的切线、弦长问题 [微题型1] 有关弦长问题 【例2-1】 (1)在平面直角坐标系xOy中,求直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长. (2)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C: (x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. ①求k的取值范围; ②若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2,-1),r=2,所以圆心到直线的距离为d==, ∴弦长l=2=. (2)①由题设,可知直线l的方程为y=kx+1, 因为l与C交于两点,所以<1.解得 所以k的取值范围为. ②设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2=,x1x2=. ·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8. 由题设可得+8=12, 解得k=1,所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. 规律方法 求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形,利用勾股定理来解决问题. [微题型2] 有关切线问题 【例2-2】 (1)(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-或-B.-或- C.-或-D.-或- (2)(2014·江西卷)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( ) A.πB.π C.(6-2)πD.π 解析 (1)由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d==1,解得k=-或k=-,故选D. (2)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小,又圆C与直线2x+y-4=0相切,所以由平面几何知识,当OC所在直线与l垂直时,|OD|最小,即圆C的直径最小,则|OD|==,所以圆的半径为,圆C的面积的最小值为S=πr2=π. 答案 (1)D (2)A 规律方法 求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线. 【训练2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; (3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值. 解 (1)圆心C(1,2),半径r=2, 当直线的斜率不存在时,方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知, 此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0. 由题意知=2,解得k=. ∴圆的切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0. 综上过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. (2)由题意得=2,解得a=0或a=. (3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为, 又l=2,r=2,∴+=4,解得a=-. 考点三 圆与圆的位置关系 【例3】 (1)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 (2)过两圆x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________. 解析 (1)两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为2和3,圆心距d==.∵3-2 (2)由 ①-②得2x-y=0,代入①得x=-或-1, ∴两圆两个交点为,(-1,-2). 过两交点圆中,以,(-1,-2)为端点的线段为直径的圆时,面积最小. ∴该圆圆心为,半径为=, 圆方程为+=. 答案 (1)B (2)+= 规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 【训练3】如图,在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,3),直线l: y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围. 解 (1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3, 由题意,得=1,解得k=0或-, 故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|, 所以=2, 化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4, 所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤≤3.整理得-8≤5a2-12a≤0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围是. [思想方法] 1.解决有关弦长问题的两种方法: (1)几何法,直线被圆截得的半弦长,弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即r2=+d2; (2)代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆上,然后设出切线方程.注意: 斜率不存在的情形. [易错防范] 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解. 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8 解析 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B. 答案 B 2.若圆C1: x2+y2=1与圆C2: x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( ) A.21B.19C.9D.-11 解析 圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9,故选C. 答案 C 3.(2016·南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当S△AOB=1时,直线l的倾斜角为( ) A.150°B.135°C.120°D.不存在 解析 由于S△AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB=1,∴∠AOB=,∴点O到直线l的距离OM为1,而OP=2,OM=1,在直角△OMP中∠OPM=30°,∴直线l的倾斜角为150°,故选A. 答案 A 4.(2016·青岛一模)过点P(1,)作圆O: x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=( ) A.B.2C.D.4 解析 如图所示,∵PA,PB分别为圆O: x2+y2=1的切线, ∴AB⊥OP.∵P(1,),O(0,0), ∴|OP|==2. 又∵|OA|=1,在Rt△APO中,cos∠AOP=, ∴∠AOP=60°,∴|AB|=2|OA|sin∠AOP=. 答案 A 5.(2015·重庆卷)已知直线l: x+ay-1=0(a∈R)是圆C: x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2B.4C.6D.2 解析 由于直线x+ay-1=0是圆C: x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上, ∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴|AC|2=36+4=40.又r=2, ∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6. 答案 C 二、填空题 6.(2016·唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C: x2+y2-4y-1=0相切于点B,则·=________. 解析 法一 由已知得: 圆心C(0,2),半径r=, △ABC是直角三角形,|AC|==,|BC|=, ∴cos∠ACB==, ∴·=||·||·cos∠ACB=5. 法二 ·=(+)·=2+·, 由于|BC|=,AB⊥BC,因此·=5+0=5. 答案 5 7.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________. 解析 依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±. 答案 4± 8.若曲线C1: x2+y2-2x=0与曲线C2: y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是为________. 解析 整理曲线C1的方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心,以1为半径的圆;曲线C2则表示两条直线,即x轴与直线l: y=m(x+1),显然x轴与圆C1有两个交点,依题意知直线l与圆相交,故有圆心C1到直线l的距离d=<r=1,解得m∈,又当m=0时,直线l与x轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故m∈∪. 答案 ∪ 三、解答题 9.已知一圆C的圆心为(2,-1),且该圆被直线l: x-y-1=0截得的弦长为2,求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程. 解 设圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0), ∵圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=, ∴r2=d2+=4, 故圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=4. 由解得弦的两端点坐标为(2,1)和(0,-1). 所以过弦的两端点的圆的切线方程为y=1和x=0. 10.已知圆C: (x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1: x+y-4=0平行; (2)与直线l2: x-2y+4=0垂直; (3)过切点A(4,-1). 解 (1)设切线方程为x+y+b=0(b≠-4), 则=,∴b=1±2, ∴切线方程为x+y+1±2=0; (2)设切线方程为2x+y+m=0, 则=,∴m=±5,∴切线方程为2x+y±5=0; (3)∵kAC==, ∴过切点A(4,-1)的切线斜率为-3, ∴过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),即3x+y-11=0. 能力提升题组 (建议用时: 20分钟) 11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0,1),若在圆O: x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是( ) A.[-1,1]B. C.[-,]D. 解析 法一 如图,依题意,直线MN与圆O有公共点,即圆心O到直线MN的距离小于等于1,过O作OA⊥MN,垂足为A.在Rt△OMA中,因为∠OMA=45°,故|OA|=|OM|sin45°=|OM|≤1,所以|OM|≤,则≤,解得-1≤x0≤1. 法二 当x0=0时,M=(0,1),N=(-1,0)或N(1,0).当x0≠0时,过点M的切线与圆分别相切于A,B,则∠OMA=∠OMB.又因为∠OMN=45°,所以∠OMA=∠OMB≥45°.因为OA=1,所以AM≤1,故0<x0≤1或-1≤x0<0.综上可知,-1≤x0≤1. 答案 A 12.(2015·四川卷)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 解析 设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x0,y0),则相减得(y1+y2)·(y1-y2)=4(x1-x2), 当l的斜率不存在时,符合条件的直线l必有两条;当直线l的斜率k存在时,如图x1≠x2,则有·=2,即y0·k=2, 由CM⊥AB得,k·=-1,y0·k=5-x0,2=5-x0,x0=3,即M必在直线x=3上,将x=3代入y2=4x,得y2=12,∴-2<y0<2, ∵点M在圆上,∴(x0-5)2+y=r2,r2=y+4<12+4=16, 又y+4>4,∴4<r2<16,∴2<r<4.故选D. 答案 D 13.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 解析 因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时r==.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 答案 (x-1)2+y2=2 14.已知圆O: x2+y2=4和点M(1,a). (1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程. (2)若a=,过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值. 解 (1)由条件知点M在圆O上, 所以1+a2=4,则a=±. 当a=时,点M为(1,),kOM=,k切=-, 此时切线方程为y-=-(x-1). 即x+y-4=0, 当a=-时,点M为(1,-),kOM=-,k切=. 此时切线方程为y+=(x-1). 即x-y-4=0. 所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=0. (2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0), 则d+d=OM2=3. 又有|AC|=2,|BD|=2, 所以|AC|+|BD|=2+2. 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d+4-d+2·) =4×[5+2] =4×(5+2). 因为2d1d2≤d+d=3,所以dd≤, 当且仅当d1=d2=时取等号,所以≤, 所以(|AC|+|BD|)2≤4×=40. 所以|AC|+|BD|≤2,即|AC|+|BD|的最大值为2.
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