导数解答题之极值点偏移问题教师版.docx
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导数解答题之极值点偏移问题教师版
函数与导数解答题之极值点偏移问题
1.(2013湖南文21)已知函数
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)证明:
当时,.
2.(2010天津理21)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,
(Ⅲ)如果且证明
【解析】(Ⅰ)解:
f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表
X
(
)
1
(
)
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f
(1)且f
(1)=
(Ⅱ)证明:
由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。
又F
(1)=F(x)>F
(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明:
(1)
若
(2)若
根据
(1)
(2)得
由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,所以>,即>2.
3.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数的两个零点为,证明:
.
试题分析:
(1)首先求出函数的导函数,然后利用导数研究函数的单调性与最值,进而得出所求的结果;
(2)首先由函数的两个零点为并结合
(1)可得0<x1<a<x2,然后构造函数g(x)=f(x)-f(2a-x),并利用其导函数求出其函数的单调性,进而得出所证的结果.
试题解析:
(Ⅰ)f(x)=-=,(x>0),所以当a≤0时,f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)若函数y=f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),由(Ⅰ)可得0<x1<a<x2.令g(x)=f(x)-f(2a-x),(0<x<a)则g(x)=f(x)+f(2a-x)=(x-a)[-]<0,所以g(x)在(0,a)上单调递减,g(x)>g(a)=0,即f(x)>f(2a-x).令x=x1<a,则f(x1)>f(2a-x1),所以f(x2)=f(x1)>f(2a-x1),由(Ⅰ)可得f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以x2>2a-x1,故x1+x2>2a.
4.(2016福州五校下学期第一次联考)已知函数),其图象与轴交于不同的两点,,且.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:
5.已知函数)在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设两个极值点分别为,证明:
.
解:
(Ⅰ)依题,函数的定义域为,
所以方程在有两个不同根.
即,方程在有两个不同根……………1分
令,从而转化为函数有两个不同零点,
而()………………2分
若,可见在上恒成立,所以在单调增,
此时不可能有两个不同零点.………………3分
若,在时,,在时,,
所以在上单调增,在上单调减,
从而………………4分
又因为在时,,在在时,,于是只须:
,即,所以.………………5分
综上所述,………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知分别是方程的两个根,
即,,
设,作差得,,即.………………7分
原不等式等价于
………………8分
令,则,………………9分[来源:
学&科&网]
设,,
∴函数在上单调递增,………………10分
∴,
即不等式成立,………………11分
故所证不等式成立.………………12分
6.已知函数,.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若直线是函数图象的切线,求的最小值;
(3)当时,若与的图象有两个交点,,求证:
.
【答案】
(1);
(2);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解;
(2)将参数用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值;(3)先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证.
试题解析:
(1),
.
在上单调递增,,恒成立
即,恒成立
令,,,
时,,.
(2)设切点为,则,
又,,
,
令,则
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
当时,取得最小值,为,即的最小值为.
(3)证明:
由题意得
①+②得:
③
①-②得:
,即④
④代入③得:
,
即,
不妨令,记,
令,则,
在上单调递增,则,
,故,
.
又
,即,
令,则时,,
在上单调递增,
又
,
考点:
导数及在研究函数的单调性最值中的应用.
7.(2017届武昌区元月调考理科数学)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明:
当时,;
(3)设是的两个零点,证明:
.
8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)记两个极值点分别为,且.已知,若不等式恒成立,求的范围.
试题解析:
(1)依题,函数的定义域为,所以方程在有两个不同根,即,方程在有两个不同根.
转化为,函数与函数的图像在上有两个不同交点.
又,即时,时,,
所以在上单调增,在上单调减.从而,
又有且只有一个零点是1,且在时,,在时,,所以的草图如下,
可见,要想函数与函数的图像在上有两个不同交点,只须
(2)因为等价于.由
(1)可知分别是方程的两个根,即,
所以原式等价于,因为,
所以原式等价于
又由作差得,,即.
所以原式等价于,
因为,原式恒成立,即恒成立.
令,,
则不等式在上恒成立.
令,
又,
当时,可见时,,所以在上单调增,又,在恒成立,符合题意.
当时,可见时,时,,
所以在时单调增,在时单调减,又,
所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去.
综上所述,若不等式恒成立,只须,又,所以.
9.已知函数,是函数的两个零点,且,
(1)讨论函数的单调性;
(2)求的取值范围;
(3)设是函数的导函数,求证
试题分析:
(1)讨论单调性,先导数,然后解得方程在上的解,通过的正负确定的单调区间;
(2)由
(1)知是的极大值点,因此只要,就能保证有两个零点,注意到,因此可由求得的取值范围,再求得范围;(3)首先由,用表示出,再求得并整理得,此时会发现只要证,此式证明可用换元法,设,再利用函数的性质证明.
试题解析:
(1)
令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减
(2)由于函数存在两个零点,
由
(1)可知,且
由于在为增函数,且,
所以的取值范围是
方法二:
函数有两个零点,即方程有两个实数根,即有两个实数根,设,则,设,且单调递增,
时,,,单调递减
时,,,单调递增
(3)由于是函数的两个零点,且
所以,
两式相减得:
,
要证明,只需证,即只需证
设,构造函数
在单调递增,
,
考点:
导数与函数的单调性,导数的综合应用.
10.(2014襄阳市三月考试)已知函数.
(1)当时,求函数在的最大值;
(2)令,若在区间(0,3)上不是单调函数,求的取值范围;
(3)当时,函数的图象与x轴交于两点,,且,又是的导函数.若正常数满足条件,证明:
.
解:
当a=2时,
函数y=f(x)在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数3分
所以=-14分
(2)解:
∵,∴5分
∵g(x)因为在区间(0,3)上不是单调函数,∴在(0,3)上有实数解,且无重根
由得:
2x2-ax-a=0,有,x∈(0,3)6分
又当a=-8时,有重根x=-2;a=0时,有重根x=07分
综上,a的取值范围是.8分
(3)解:
当a=2时,,
∵h(x)=f(x)-mx的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)
∴f(x)-mx=0有两个实根x1、x2,
∴,两式相减得:
∴9分
于是
10分
∵,
要证:
,只需证:
只需证:
(*)11分
令(0 令,则 ,即12分 ∴13分 ∵u(t)在(0,1)上单调递增,u(t) (1)=0 ∴,即 ∴14分 11.已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调区间; (Ⅱ)当时,设的两个极值点,恰为的零点,求的最小值 试题分析: (Ⅰ)求解,分三种情况分类讨论求解函数的单调区间;(Ⅱ)求出和的导数,运用韦达定理和函数的零点的定义,化简整理,构造新函数,运用导数判断函数的的单调性,即可求解最小值. 试题解析: (Ⅰ),. 当时, 由解得,即当时,,单调递增; 由解得,即当时,,单调递减. 当时,=,即在(0,+∞)上单调递增; 当时,,故,即在(0,+∞)上单调递增. ∴当时,的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞); 当时,的单调递增区间为(0,+∞). (Ⅱ),则, ∴的两根,即为方程的两根. ∵, ∴,,. 又∵,为的零点, ∴,, 两式相减得,得b=, 而, ∴y= =] ==, 令(), 由得, 因为,两边同时除以,得, ∵,故,解得t≤或t≥2,∴0 设G(t)=, ∴=,则y=G(t)在上是减函数, ∴G(t)min=G()=, 即的最小值为. 考点: 函数的导数在函数中的综合应用;函数的零点的应用. 12.已知函数. (1)若,恒有成立,求实数的取值范围; (2)若,求在区间上的最小值; (3)若函数有两个极值点,求证: . (1)由x>0,恒有成立,即对任意x>0成立,………1分 记H(x)=,H/(x)=,………………2分 当H(x)单增;当H(x)单减;H(x)最大值为, 所以……………5分 (2)函数有两个相异的极值点,即有两个不同的实数根. ①当时,单调递增,不可能有两个不同的实根;……………6分 ②当时,设, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; ∴,∴,……………8分 不妨设,∵, ∴ 先证,即证,即证, 令,即证,设,…………9分 则,函数在单调递减,∴,∴,又,∴, ∴……………12分 考点: 导数的几何意义,导数与函数的单调性、最值,导数的综合应用. 13.已知函数 (1)记,求证: 函数在区间内有且仅有一个零点; (2)用表示中的最小值,设函数,若关于的方程(其中为常数)在区间有两个不相等的实根,记在内的零点为,试证明: 14.已知函数,且 (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (2)设有两个零点,且成等差数列,记是的导函数,求证: 15.(2017届武汉二月调考文科21)已知函数恰有两个极值点 (Ⅰ)求实数的取值范围; (Ⅱ)求证: 16.已知函数. (Ⅰ)讨论函数的极值点的个数; (Ⅱ)若有两个极值点,证明: . 解: (Ⅰ)由得, …………………1分 (ⅰ)时,, 所以取得极小值,是的一个极小值点.…………………2分 (ⅱ)时,,令,得 显然,,所以, 在取得极小值,有一个极小值点.…………………4分 (ⅲ)时,时,即在是减函数,无极值点. 当时,,令,得 当和时,时,,所以在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点.…………………6分 综上可知: (ⅰ)时,仅有一个极值点; (ⅱ)当时,无极值点; (ⅲ)当时,有两个极值点.…………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,且 是方程的两根,所以,…………………8分 ,…………………10分 设,, 所以时,是减函数,,则 所以得证.…………………12分
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- 导数 解答 极值 偏移 问题 教师版