中国石油大学随机数据处理方法第三版答案.docx
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中国石油大学随机数据处理方法第三版答案
中国石油大学随机数据处理方法(第三版)答案
第一章随机事件与概率习题参考答案与提示 1.设A、B、C为三个事件,试用 A、B、C表示下列事件,并指出其中哪两个事件是互逆事件:
仅有一个事件发生; 至少有两个事件发生;三个事件都发生; 至多有两个事件发生;三个事件都不发生; 恰好两个事件发生。
分析:
依题意,即利用事件之间的运算关系,将所给事件通过事件 解:
仅有一个事件发生相当于事件 A、B、C表示出来。
有一个发生,即可表示成 ABC、ABC、ABCABC?
ABC?
ABC; 类似地其余事件可分别表为 AB?
BC?
AC或ABC?
ABC?
ABC?
ABC;ABC; ; ABC或 A?
B?
CABC; ABC?
ABC?
ABC或AB?
BC?
AC?
ABC。
上讨论知,与所表示的事件是互逆的。
2.如果x表示一个沿着数轴随机运动的质点位置,试说明下列事件的包含、互不相容等关系:
A?
?
x|x?
20?
B?
?
x|x?
3?
C?
?
x|x?
9?
D?
?
x|x?
?
5?
E?
?
x|x?
9?
解:
包含关系:
D?
C?
A、E?
B。
互不相容关系:
C与E、B与D、E与D。
3.写出下列随机事件的样本空间:
将一枚硬币掷三次,观察出现H和T的情况;连续掷三颗骰子,直到6点出现时停止,记录掷骰子的次数; 连续掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和; 生产产品直到有10件正品时停止,记录生产产品的总数。
解:
?
?
?
?
?
?
HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT?
; ?
?
1,2,?
?
; ?
?
3,4,?
18?
;?
?
10,11,?
?
。
A、B、C有P(A)?
P(B)?
P(C)?
1/4,P(AC)?
1/8, 4.设对于事件 P(AB)?
P(BC)?
0,求A、B、C至少出现一个的概率。
提示:
A、B、C至少出现一个的概率即为求P(A?
B?
C),可应用性质 4及性质5得 P(A?
B?
C)?
5/8 5.设 A、B为随机事件,P(A)?
,P(A?
B)?
,求P(AB)。
提示:
欲求P(AB),概率性质3可先计算P(AB)。
解:
于A?
AB?
(A?
B),且AB?
(A?
B)?
?
,从而 ?
P(AB)?
P(A?
B) 1 P(A) 即 P(AB)概率性质3得 ?
P(A)?
P(A?
B)?
P(AB)?
1?
P(AB)?
1?
?
。
6.已知事件 且P(A)?
1/3,求P(B)。
(ABP)?
(A?
B)A、B满足P 解法一:
性质知 P(B)=P(A?
B)?
P(A)?
P()AB =1 ?
P(A?
B)?
P(A)?
P(AB) =1 ?
P(A?
B)?
P(A)?
P(AB)=1?
PA()=1?
解法二:
于 =PP(ABP)?
(A?
B)(A?
B)?
1?
P(A?
B)12?
33 =1?
从而得 1?
P(B)?
P(AB)32?
P(B)?
0,即32 P(B)?
3 7.一个袋中有5个红球2个白球,从中任取一球,看过颜色后就放回袋中,然后再从袋中任取一球。
求:
第一次和第二次都取到红球的概率; 第一次取到红球,第二次取到白球的概率。
“第一次和第二次都取到红球”;A表示:
B表示:
“第一次取到红球,第二次取到白球“。
于n(A)=5?
5,且n(?
)=7?
7,故 解:
设 P(A)?
n(A)25?
n(?
)49n(B)10?
n(?
)49 于n(B)=5?
2,且n(?
)=7?
7,故 P(B)?
8.一批产品有8个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个。
求:
两次都取到正品的概率; 第一次取到正品,第二次取到次品的概率;第二次取到次品的概率;恰有一次取到次品的概率。
解:
设Ai表示:
“第i次取出的是次品”,则所求概率依次化为P(A1A2)、P(A1A2)、 2 P(A2)?
P(A1A2?
A1A2)、P(A1A2?
A1A2)。
于无放回地从10个产品中任取两次,每次取一个,第一次有10个可取,第二次有9个可取,因此 n(?
)?
10?
9。
于n( A1A2)?
8×7,所以 ?
8?
728?
10?
945 P(A1A2)n( A1A2)?
8×2,所以 P(A1A2)?
或直接用乘法公式 P(A1A2) 于n( P(A2)8?
28?
10?
945828?
?
10945?
P(A1)P(A2|A1)?
A1A2)?
2×1,n(A1A2)?
8×2,且A1A2?
A1A2?
?
,所以 28?
21?
?
。
10?
910?
95?
P(A1A2)?
P(A1A2)?
或直接用乘法公式 P(A2)?
P(A1A2?
A1A2)?
P(A1A2)?
P(A1A2) |A1)?
P(A1)P(A2|A1)?
21821?
?
?
?
1091095 ?
P(A1)P(A2 于A1A2、A1A2互不相容, P(A1A2?
A1A2)?
P(A1A2)?
P(A1A2) P(A1)P(A2|A1)?
P(A1)P(A2|A1) 288216?
?
?
?
。
10910945 ?
?
9.设有80件产品,其中有3件次品,从中任取5件检查。
求所取5件中至少有3件为正品的概率。
解:
设 A:
“所取5件中至少有3件为正品”;则A的对立事件为至多有2件为正品,即:
“恰有2件 为正品”。
因此 23C3n(A)C778215 P(A)?
1?
P(A)?
1?
?
?
5n(?
)8216C80或:
n(A)32415?
C77C3?
C77C3?
C77 P(A)?
32415C77C3?
C77C3?
C775C80?
8215。
82163 10.从5双不同的鞋子中任取4只,求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。
分析:
直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果,这是于所考虑事件比较复杂,解决此类问题的方法通常是利用概率性质3,即先求逆事件的概率。
该题的解法较多,现分述如下:
解:
设事件 A表示:
“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”,则事件A表示:
取出的4只鞋任意两 只均不能配成一双”。
方法一.若取鞋子是一只一只地取,则共有取法10×9×8×7种,而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10×8×6×4种,所以 P(A)?
1?
P(A)?
1?
10?
8?
6?
413?
10?
9?
8?
7214 方法二、从5双不同的鞋子中任取4只,共有C10=210种取法。
取出的4只鞋任意两只均不能配成一双共有C54?
24=80种取法。
所以 P(A)?
1?
P(A)?
1?
8013?
21021k 方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双,故可考虑4只鞋子中取左脚其共 ?
Ck?
04k5?
kC54?
k?
80种取法,故 P(A)?
1?
P(A)?
1?
8013?
21021 方法四、设事件Ai表示:
“取出的4只鞋子恰有i双配对”,则且 A?
A1?
A2, A1?
A2?
?
。
A1包含基本事件数为从5双鞋子中任取一双,同时在另外4双鞋子中任取不能配对的 12两只的不同取法共有CC5(8不同取法共有C5种。
故 21221;A2包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双,?
C4)种 11C5(C82?
C4)C5213 P(A)?
P(A1)?
P(A2)?
?
4?
4C10C1021 11.假设每个人的生日在一年365天都是等可能的,那么随机选取n(?
365)个人,求他们的生日各不相同的概率及这n个人至少有两个人生日在同一天的概率;若n,求上述两个事件的概率。
?
40 分析:
此问题属于占位问题。
解:
设 A表示事件:
“n个人的生日各不相同”;B表示事件:
“这n个人至少有两个人生日在同一天”。
于每个人的生日在一年365天都是等可能的,所以 nA365P(A)?
。
365n 于B事件是A事件的对立事件,所以nA365 P(B)?
1?
P(A)?
1?
365n 若取n?
40,则 n(?
)= n365n,n(A)?
A365,从而 4 40A365?
P(A)?
40365 P(B)?
1?
P(A)?
1?
?
12.某进出口公司外销员与外商约谈,两人相约某天8点到9点在预定地点会面,先到者要等候另一个人20分钟,过时就离去,若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的,求事件会面}的概率。
解:
设x、A={两人能 y分别表示两人到达预定地点 的时刻,那么两人到达时间的可能结果 60 对应边长为60的正方形里所有点, 这个正方形就是样本空间?
,而两人能会面 的充要条件是 x?
y?
20,即x?
y?
且 20所以,事件 x?
y?
?
20, 图1-1 A对应图中阴影 部分里的所有点。
因此,所求概率为 22?
(A)60?
405 P(A)?
?
?
2?
(?
)960 13.设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时被打破的概率为3/10,第二次落下时被打破的概率为1/2,第三次落下时被打破的概率为9/10,试求透镜落下三次未打破的概率。
分析:
解决此问题的关键在于正确理解题意,弄清概率1/2、9/10的具体含义。
依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下,第二次落下时被打破的概率;概率9/10的含义类似。
(i 解:
设Ai表示“第i次落下时未被打破” P(A)?
1,2,3),A表示“落下三次未被打破”,则 A?
A1A2A3, ?
P(A1A2A3)?
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) (1?
3197)?
(1?
)?
(1?
)?
10210200 ?
A)的概率为4/15,刮风 的概率为7/15,刮风又下雨的概率为1/10。
求P(A|B),P(B|A),P(A?
B)。
14.长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件 解:
P(A|B)?
A)?
P(AB)1/103?
?
P(B)7/1514P(AB)1/103?
?
P(A)4/158 P(B|47119?
?
?
.1515103015.设A、B为随机事件,若P(A)?
,P(B)?
,P(B|A)?
,求:
P(A?
B)?
P(A)?
P(B)?
P(AB)?
5
P{X P{X P{X ?
?
P{X ?
?
?
1}?
p?
2}?
p(1?
p) ?
3}?
p(1?
p)2 ?
k}?
p(1?
p)k?
1 所以射击次数X的分布律为 X 1 2 3 ?
?
k ?
?
pk pp(1?
p)p(1?
p)2?
?
p(1?
p)k?
1?
?
2.一批零件中有9个合格品与3个废品,安装时从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回,求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。
分析:
在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量,要求其分布律,只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。
解:
设X表示在取得合格品以前取出的废品数,题意知X的可能取值为0,1,2,3,而 P{X P{X?
0}?
3/4?
1}?
199?
?
411441299?
?
P{X?
2}?
?
41110220 P{X?
3}?
1211?
?
?
1?
41110220所以,随机变量X的分布律为 X 0 1 2 3 pk 3/4 9/44 9/220 1/220 3.设随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 pk 1/5 2/5 3/10 1/10?
2};1?
X?
3}P{求:
X的分布函数F(x);P{X解:
概率分布与分布函数的关系式 F()x?
P{X?
x}?
x?
x
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- 中国 石油大学 随机 数据处理 方法 第三 答案