北京市通州区高考数学一模考试试题文及答案.docx
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北京市通州区高考数学一模考试试题文及答案
通州区2017—2018学年度高三一模考试
数学(文)试卷
2018年4月
本试卷分第一部分和第二部分两部分,共150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集
,集合
,
,那么
等于
A.
B.
C.
D.
2.双曲线
的渐近线方程是
A.
B.
C.
D.
3.已知
,
满足
那么
的最小值是
A.
B.
C.
D.
4.执行如右图所示的程序框图,若输出
的值是
,
则输入
的值可以是
A.
B.
C.
D.
5.已知
,
,
,那么
A.
B.
C.
D.
6.“
,
成立”是“
”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知四棱锥
的底面
是边长为2的正方形,且它的正视图如图所示,
则该四棱锥侧视图的面积是
A.
B.
C.
D.
8.描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲、乙两位工匠要完成
,
,
三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位:
小时)如下:
原料
时间
工序
原料
原料
原料
上漆
9
16
10
描绘花纹
15
8
14
则完成这三件原料的描金工作最少需要
A.
小时B.
小时C.
小时D.
小时
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.某校高三
(1)班有学生40人,高三
(2)班有学生32人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出9人参加某项调查,则高三
(1)班被抽出的人数是_______.
10.已知复数
是纯虚数,那么实数
_______.
11.已知
,
,且
,那么
的最大值是_______.
12.已知抛物线
的准线与圆心为
的圆
交于
,
两点,那么
_______.
13.已知函数
当
时,实数
的取值范围是______;
若函数
恰有一个零点,则实数
的取值范围是_______.
14.在△
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,已知
,
,
下列判断:
①若
,则角
有两个解;
②若
,则
边上的高为
;
③
不可能是
.
其中正确判断的序号是_______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本题满分13分)
已知函数
.
(Ⅰ)求
的最小正周期;
(Ⅱ)求
在区间
上的最大值和最小值.
16.(本题满分13分)
已知数列
是等比数列,前
项和为
,且
,
,
成等差数列.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)设数列
是首项为
,公差为
的等差数列,其前
项和为
,求满足
的最大正整数
.
17.(本题满分13分)
作为北京副中心,通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点,也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任,因此,通州区的发展备受瞩目.2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴(2017)》显示:
2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元,比上年增长17.4%,下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率,如图一.
又
根据通州区统计局2018年1月25日发布:
2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元,比上年增长12.2%.
(Ⅰ)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资(柱状图),标出增长率并补全折线图;
(Ⅱ)从2011-2017这7年中随机选取连续的2年份,求后一年份增长率高于前一年份增长率的概率;
(Ⅲ)设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为
,平均数为
,比较
与
的大小(写出结论即可).
18.(本题满分14分)
如图所示的几何体中,平面
平面
为直角三角形,
,四边形
为直角梯形,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:
平面
;
(Ⅲ)在线段
上是否存在点
,使得
,若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
19.(本题满分13分)
已知椭圆
过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
,直线
交椭圆
于
,
两点,交椭圆
于
,
两点,
为坐标原点.
(i)当直线
经过原点时,求
的值;
(ⅱ)当直线
经过
点时,若
,求直线
的方程.
20.(本题满分14分)
已知函数
,
,
.
(Ⅰ)求
的最小值;
(Ⅱ)若
在
上恒成立,求a的值;
(Ⅲ)求证:
对一切大于2的正整数n都成立.
高三数学(文科)一模考试参考答案
2018.4
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
B
C
B
二、填空题
9.
10.
11.
12.
13.
;
14.②③
三、解答题
15.解:
(Ⅰ)因为
.……………………4分
所以
的最小正周期
……………………6分
(Ⅱ)因为
,所以
.
所以当
,即
时,函数
取得最大值
当
,即
时,函数
取得最小值
所以
在区间
上的最大值和最小值分别为
和
………………13分
16.解:
(Ⅰ)设等比数列
的公比为
因为
,
,
成等差数列,
所以
所以
所以
……………3分
因为等比数列
前
项和
,所以
所以
………6分
所以
……7分
(Ⅱ)因为数列
是首项为
,公差为
的等差数列,又
,
所以
所以
,即
…………11分
所以
所以
因为
为最大正整数,
所以
………………13分
17.解:
(Ⅰ)
……………4分
(Ⅱ)从2011-2017这7年中随机选取连续的2年份,有
,
,
,
,
,
共
组,
……………………6分
设“选取连续的2年,后一年份增长率高于前一年份增长率”为事件
,
则事件
包含有
,
共
组.
所以
…………10分
所以7年中随机选取连续的2年,后一年增长率高于前一年增长率的概率是
(Ⅲ)
.…………………13分
18.解:
(Ⅰ)因为
,
,
所以四边形
是平行四边形.所以
因为
平面
,
平面
,
所以
平面
…………………4分
(Ⅱ)因为平面
平面
,
平面
,
所以
平面
因为
平面
,所以
因为
,
,
平面
,
平面
,
所以
平面
因为
,
所以
平面
……………9分
(Ⅲ)假设存在,过点
作
,交
于
,
由(Ⅱ)可知
平面
,又因为
平面
,
所以
又因为
,
,所以
平面
因为
平面
,
所以
.………………12分
连接
,因为
,
,所以△
的面积是
.
所以
所以
所以
………………14分
19.解:
(Ⅰ)因为椭圆的焦点在
轴上,且过点
,离心率
,
所以
,
所以由
,得
所以椭圆
的标准方程是
………………3分
(Ⅱ)(i)因为直线
经过原点
,
所以由椭圆的对称性,不妨设点
,
在点
的同侧.
设点
,
,
所以
,
因为点
在椭圆
上,
所以
,即
所以
(负值舍去),即
………………7分
(ⅱ)因为直线
经过
点,
①当直线
的斜率不存在时,
,不符合题意.………………8分
②当直线
的斜率存在时,设为
,
所以直线
的方程为
联立方程组
消去
,得
所以
,
所以
……………………10分
联立方程组
消去
,得
所以
,
所以
…………………12分
因为
,
所以
所以
,或
.
所以直线
的方程是
,或
…………………13分
20.解:
(Ⅰ)因为函数
,
,
所以
.
所以当
时,
;当
时,
.
所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以当
时,
取得最小值
.………………3分
(Ⅱ)设
,
所以
.
①当
时,
恒成立,函数
在
上是增函数,且
,
所以当
时,
.所以
不满足条件.
②当
时,令
,即
,解得
;
令
,即
,解得
所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以当
时,
取得最小值,
.
要使
在
上恒成立,则需满足
.
由(Ⅰ)可知当
时,
,
所以
所以
.
所以
.…………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
恒成立,即
.
对任意的正整数n,令
,
,
则
,
所以
,即
,
所以
所以
………………14分
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