高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2.docx
- 文档编号:801059
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:184.02KB
高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2.docx
《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算学案新人教A版选修2
3.1.1 空间向量及其加减运算
学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合律.
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念.
答案 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.
梳理
(1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.
空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量,记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b,作出b+a,b-a.
答案 如图,空间中的两个向量a,b相加时,我们可以先把向量a,b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作=a,=b,则=+=a+b,=-=b-a.
思考2 由上述的运算过程总结一下,如何求空间两个向量的和与差?
下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则?
答案 先将两个向量平移到同一个平面,然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可;图1是三角形法则,图2是平行四边形法则.
梳理
(1)类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算.
=+=a+b,
=-=a-b.
(2)空间向量加法交换律
a+b=b+a,
空间向量加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c).
类型一 有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论:
①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中不正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故①不正确;若空间向量a,b满足|a|=|b|,则不一定能判断出a=b,故②不正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有=成立,故③正确;④显然正确.故选B.
反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.
跟踪训练1
(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:
①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n等于( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 对于①与,③与长度相等,方向相反,互为相反向量;对于②与长度相等,方向不相反;对于④与长度相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.
(2)如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中:
①单位向量共有多少个?
②试写出模为的所有向量.
③试写出与向量相等的所有向量.
④试写出向量的所有相反向量.
解 ①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量,,,,,,,,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为,故模为的向量有,,,,,,,.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及.
④向量的相反向量有,,,.
类型二 空间向量的加减运算
例2 如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
(1)-;
(2)++.
解
(1)-=-=+=.
(2)++=(+)+=+=.向量、如图所示.
引申探究
利用例2题图,化简+++.
解 结合加法运算
+=,+=,+=0.
故+++=0.
反思与感悟
(1)首尾顺次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0.如图,+++++++=0.
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算,即a-b=a+(-b).
(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量,而平面向量满足加法交换律,因此空间向量也满足加法交换律.
(5)空间向量加法结合律的证明:
如图,(a+b)+c=(+)+=+=,a+(b+c)=+(+)=+=,
所以(a+b)+c=a+(b+c).
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中,求证:
++=2.
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,
∴=+,=+,=+,
∴++=(+)+(+)+(+)=2(++).
又∵=,=,
∴++=++=+=.
∴++=2.
1.下列命题中,假命题是( )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
答案 D
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 C
解析 与相等的向量有,,,共3个.
3.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )
A.a=bB.a+b为实数0
C.a与b方向相同D.|a|=3
答案 D
解析 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等、方向相反.故D正确.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知下列各式:
①(+)+;②(+)+;③(+)+;④(+)+.其中运算的结果为的有________个.
答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断:
①(+)+=+=;
②(+)+=+=;
③(+)+=+=;
④(+)+=+=.
所以4个式子的运算结果都是.
5.化简2+2+3+3+=________.
答案 0
解析 2+2+3+3+=2+2+2+2+++=0.
1.一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的.
(2)单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等,不一定是相等向量,反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.
2.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:
向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:
利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
40分钟课时作业
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.零向量是有方向的向量
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
C.四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD的充要条件是=
D.若与是相反向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
答案 A
解析 规定零向量的方向是任意的,故A正确;B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆,故B错误;对于选项C,是必要条件,不是充分条件,因为=时,有可能A,B,C,D四点共线,故C错误;相反向量指的是方向相反,不一定在同一条直线上.
2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则++为( )
A.B.C.D.0
答案 A
解析 ++=+=.
3.如图所示,点D是空间四边形OABC的边BC的中点,=a,=b,=c,则为( )
A.(a+b)-cB.(c+a)-bC.(b+c)-aD.a+(b+c)
答案 C
解析 =+=-+(+)=-a+(b+c).
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式-+化简后的结果是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 如图所示,∵=,-=-=,+=,
∴-+=.
5.在空间平移△ABC到△A′B′C′,连接对应顶点,设=a,=b,=c,M是BC′的中点,N是B′C′的中点,如图所示,用向量a,b,c表示向量等于( )
A.a+b+cB.a+b+cC.a+bD.a
答案 D
解析 ===a.故选D.
6.判断下列各命题的真假:
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;③零向量是没有方向的;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
答案 B
解析 ①假命题,当a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;②真命题;③假命题,零向量也是向量,故也有方向,只是方向不确定;④假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.
二、填空题
7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,++=________;-+=________.
答案
解析 ++=++=.
-+=-(-)=-=.
8.对于空间中的非零向量、、,有下列各式:
①AB+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是____________.(填序号)
答案 ②
解析 根据空间向量的加减法运算,对于①:
+=恒成立;对于③:
当、、方向相同时,有||+||=||;对于④:
当、、在一条直线上且与、方向相反时,有||-||=||.
只有②一定不成立.
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=________.
答案 -a+b-c
解析 如图,=+=+(-)=-+-=-c+b-a.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,-+-=________.
答案 2
解析 -+-=(+)-(+)=-=2.
三、解答题
11.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,化简下列表达式.
(1)+;
(2)++;
(3)++;
(4)+-.
解
(1)+=.
(2)++=+=.
(3)++=++=.
(4)+-=(++)+(++)-=.
12.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;
(2)++;
(3)--.
解
(1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,
所以=.
又=,
所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,如图所示.
13.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,EF,点E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简
(1)++;
(2)++,并标出化简得到的向量.
解
(1)++=+=.
(2)∵点E,F,G分别为BC,CD,DB的中点.
∴=,=.
∴++=++=.
所求向量,如图所示.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第三 空间 向量 立体几何 31 及其 运算 311 加减 新人 选修
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/801059.html