上海高二数学教案直线点法向式方程教案 1500字.docx

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上海高二数学教案直线点法向式方程教案1500字

11．1（２）直线方程一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程ax?

by?

c?

0（a、b不全为零）的形式.

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！

从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；四、教学流程设计

二、讲授新课

（一）点法向式方程1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点p，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点p，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的．2、概念形成

直线的点法向式方程

在平面上过一已知点p，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设p的坐标是

（x0,y0）

?

n，方向用非零向量?

（a,b）表示.

直线的点法向式方程的推导

?

?

?

?

?

?

?

?

?

q?

n.根据pq?

n的设直线l上任意一点q的坐标为（x,y），由直线垂直于非零向量n，故p

充要条件知?

?

0，即：

一解，即

a（x?

x0）?

b（y?

y0）?

0

，记

①；反之，若

（x1,y1）

为方程⑤的任意

，即

a（x1?

x0）?

b（y1?

y0）?

0（x1,y1）

为坐标的点为

q1

，可知

?

?

?

?

?

?

pq1?

n

q1

在直

线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线.我们把方程

a（x?

x0）?

b（y?

y0）?

0

?

ln叫做直线的点法向式方程，非零向量叫做直线l的法

向量.

3、概念深化

从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.若直线的一个方向向量是（u,v），则它的一个法向量是（v,?

u）.4、例题解析

，2?

，b?

3，4?

，求ab的垂直平分线l的点法向式方程.例1已知点a?

?

1

解由中点公式，可以得到ab的中点坐标为?

1,3?

，

?

?

?

ab?

?

4,2?

是直线l的法向量，

所以，ab的垂直平分线l的点法向式方程.4?

x?

1?

?

2?

y?

3?

?

0[说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点a（1,6）,b（?

1,?

2）和点c（6,3）是三角形的三个顶点，求

（1）bc边所在直线方程；

（2）bc边上的高ad所在直线方程.

解

（1）因为bc边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点b（?

1,?

2），所以bc边所在直线的点方向式方程为

x?

1y?

2

?

57

（2）因为bc边上的高ad所在的直线的一个法向量为bc＝（7，5），且该直线经过点a（1,6），

所以高ad所在直线的点法向式方程为

7（x?

1）?

5（y?

6）?

0

５、巩固练习

练习11.1

（2）

（二）一般式方程1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于

x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y

的二元一次方程

ax?

by?

c?

0（a，b不同时为0）是否都表示一条直线呢？

2、概念形成

直线的一般式方程的定义

直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程

ax?

by?

c?

0.

反之，任意二元一次方程ax?

by?

c?

0（a,b不全为0）都是直线方程么？

回答是肯定的.首

c

ax?

b（y?

）?

0

b先，当b?

0时，方程可化为，根据直线点法向式方程可知，这是过点c

（0,?

）

b，以（a,b）为一个法向量的直线；当b?

0时，方程为ax?

c?

0，由于a?

0，方程

x?

?

化为

cc

（?

0）

a，表示过点a且垂直于x轴的直线.

所以二元一次方程ax?

by?

c?

0（a,b不全为0）是直线的方程，叫做直线的一般式方程.３、例题解析

例1?

abc中，已知a（?

1,2）、b（3,4），求ab边的中垂线的一般式方程.

?

?

?

?

?

解直线过ab中点d（1,3），n?

ab?

（4,2），则其点法向式方程为4（x?

1）?

2（y?

3）?

0，

整理为一般式方程2x?

y?

5?

0.[说明]点法向式方程化为一般式方程.例2

（1）求过点a（?

2,5）且平行于直线

（2）求过点b（3,?

4）且垂直于直线解

（1）解一：

l1:

4x?

3y?

9?

0

的直线方程；

l2:

3x?

7y?

6?

0

（3,4

的直线方程.

?

?

?

n?

（4?

3）d,?

，又直线过点a（?

2,5），故直线的方程为

4（x?

2）?

3（y?

5）化简得4x?

3y?

23?

0.

?

解二：

n?

（4,?

3）,又直线过点a（?

2,5），故直线的点法向式方程为4（x?

2）?

3（y?

5）?

0化

简得4x?

3y?

23?

0.解三：

设与

l1:

4x?

3y?

9?

0

平行的直线方程为4x?

3y?

c?

0，又直线过点a（?

2,5）故

4（?

2）?

3?

5?

c?

0，c?

23，所以直线的方程是4x?

3y?

23?

0.

（2）解一：

1的法向量

l

?

?

n1?

（3,7）

为所求直线的方向向量，又直线过点b（3,?

4），故直线的

方程为7（x?

3）?

3（y?

4）化简得7x?

3y?

33?

0.解二：

设与

l2:

3x?

7y?

6?

0

垂直的直线方程为7x?

3y?

c?

0，又直线过点b（3,?

4）故

7?

3?

3?

（?

4）?

c?

0，c?

?

33，所以直线的方程是7x?

3y?

33?

0.

[说明]一般地，与直线ax?

by?

c?

0平行的直线可设为

ax?

by?

c?

?

0（其中c?

?

c）

；而与

?

?

直线ax?

by?

c?

0垂直的直线可设为bx?

ay?

c?

0.

例3能否把直线方程2x?

3y?

5?

0化为点方向式方程？

点法向式方程？

若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？

并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？

x?

1y?

1x?

1y?

1x?

2

?

?

?

?

323?

2?

3解：

、、2（x?

1）?

3（y?

1）?

0、4（x+4）+6（y-1）=0……

能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

y?

2

1

x?

4y?

1

?

?

64……、

所有的方向向量之间存在：

一个非零实数?

，使得易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

d1?

?

d2?

?

?

3,?

2?

；

?

?

所有的法向量之间存在：

一个非零实数?

，使得

n1?

?

n2?

?

?

2,3?

?

?

变式：

直线ax?

by?

c?

0的方向向量可以表示为?

?

b,?

a?

直线ax?

by?

c?

0的法向量可以表示为?

?

a,b?

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习练习11.1（3）补充练习

1、

（1）若直线过两点a（a,0）,b（0,b），则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab?

0时，求直线ab的方程；

（2）若过点p（4,?

3）的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.2、已知直线l过点p（?

2,3）且与x,y轴分别交于a,b两点.

?

?

?

?

（1）若p为ab中点，求直线l的方程；

（2）若p分ab所成的比为?

2，求l的方程.

3、已知直线l的方程为：

（a?

2）x?

（1?

2a）y?

4?

3a?

0（常数a?

r）

（1）求证:

不论a取何值，直线l恒过定点；

（2）记

（1）中的定点为p，若l?

op（o为原点），求实数a的值.

4、?

abcd中，三个顶点坐标依次为a（2,?

3）、b（?

2,4）、c（?

6,?

1），求

（1）直线ad与直线cd的方程；

（2）d点坐标.

5、．过点p（?

5,?

4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.6、已知两直线

a1x?

b1y?

1?

0

和

a2x?

b2y?

1?

0

都通过p（2,3）,求证：

经过两点

q1（a1,b1）

，

q2（a2,b2）

的直线方程是2x?

3y?

1?

0.

四、课堂小结

１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；

２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.３、确定直线方程的几个要素五、课后作业

习题11.1a组5,6,7；b组3，4

习题11.1a组8

补充作业：

直线3x?

y?

2?

0的单位法向量是___________.

直线l的一般式方程为2x?

3y?

7?

0，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.

过p（4,?

3）且垂直y轴的直线方程是_______________.

若直线（2?

m）x?

my?

3?

0的法向量恰为直线x?

my?

3?

0的方向向量，求实数m的值.已知点p（2,?

1）及直线l:

3x?

2y?

5?

0，求：

（1）过点p且与l平行的直线方程；

（2）过点p且与l垂直的直线方程.

正方形abcd的顶点a的坐标为（?

4,0），它的中心m的坐标为（0,3），求正方形两条对角线ac,bd所在的直线方程.

已知a,b,c的坐标分别为（1,3）,（b,0）,（0,c），其中b,c均为正整数，问过这三点的直线l是否存在？

若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

设直线l的方程为（a?

1）x?

y?

2?

a?

0（a?

r）

证明：

直线l过定点；

若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

六、教学设计说明

在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.

通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.