知识梳理与自测人教A版文科数学《96双曲线》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《96双曲线》
§9.6 双曲线
最新考纲
考情考向分析
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体,研究参数a,b,c及与渐近线有关的问题,其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主,难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题,解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法,能灵活应用双曲线的几何性质.
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴 对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?
为什么?
提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?
提示 若A>0,B<0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a>0,b>0,二者没有大小要求,若a>b>0,a=b>0,0 提示 离心率受到影响.∵e==,故当a>b>0时,1 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ ) (5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编 2.[P53T1]若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( ) A.B.5 C.D.2 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±=0,即bx±ay=0, ∴2a==b.又a2+b2=c2,∴5a2=c2. ∴e2==5,∴e=. 3.[P54A组T3]已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 答案 A 解析 椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·=,即a4=4b4,所以a=b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x,即x±y=0. 4.[P54A组T6]经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案 -=1 解析 设双曲线的方程为-=±1(a>0), 把点A(4,1)代入,得a2=15(舍负), 故所求方程为-=1. 题组三 易错自纠 5.(2016·全国Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3)D.(0,) 答案 A 解析 ∵方程-=1表示双曲线, ∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2 由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1, ∴-1 6.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 D 解析 由条件知y=-x过点(3,-4),∴=4, 即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2, ∴25a2=9c2,∴e=.故选D. 7.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________. 答案 -y2=1 解析 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设该双曲线的标准方程为-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1. 题型一 双曲线的定义 例1 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O: x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 答案 B 解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点, 又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2. ∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P, 由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|, ∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2| =2<|F1F2|, ∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线. (2)已知F1,F2为双曲线C: x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________. 答案 解析 ∵由双曲线的定义有 |PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, ∴|PF1|=2|PF2|=4, 则cos∠F1PF2= ==. 引申探究 1.本例 (2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2, 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2==, ∴|PF1|·|PF2|=8, ∴ =|PF1|·|PF2|·sin60°=2. 2.本例 (2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2, ∵·=0,∴⊥, ∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, ∴|PF1|·|PF2|=4, ∴ =|PF1|·|PF2|=2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. 跟踪训练1设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 答案 (2,8) 解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设P在右支上, 设|PF2|=m, 则|PF1|=m+2a=m+2, 由于△PF1F2为锐角三角形, 结合实际意义需满足 解得-1+ ∴2<2m+2<8. 题型二 双曲线的标准方程 例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C1: (x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________. 答案 x2-=1(x≤-1) 解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). (2)根据下列条件,求双曲线的标准方程: ①虚轴长为12,离心率为; ②焦距为26,且经过点M(0,12); ③经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7). 解 ①设双曲线的标准方程为 -=1或-=1(a>0,b>0). 由题意知,2b=12,e==, ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为-=1或-=1. ②∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12. 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. ∴双曲线的标准方程为-=1. ③设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0). ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 思维升华求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 ①当双曲线焦点位置不确定时,设为Ax2+By2=1(AB<0). ②与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0); ③与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2 跟踪训练2 (1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________________. 答案 -=1 解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知,a=4,b=3. 故曲线C2的标准方程为-=1. 即-=1. (2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 B 解析 由y=x,可得=.① 由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0), 可得a2+b2=9.② 由①②可得a2=4,b2=5. 所以C的方程为-=1.故选B. 题型三 双曲线的几何性质 命题点1 与渐近线有关的问题 例3 已知F1,F2是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是( ) A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 答案 A 解析 由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°, 所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos30°,得c=a,所以b==a.所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0. 命题点2 求离心率的值(或范围) 例4已知直线l为双曲线: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线,直线l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>0)相交于A,B两点,若|AB|=a,则双曲线C的离心率为________. 答案 解析 由题意可知双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆(x-c)2+y2=a2的圆心为(c,0),半径为a.因为直线l为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线,与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c>0)相交于A,B两点,且|AB|=a,所以2+2=a2,即4b2=3a2,即4(c2-a2)=3a2,即=,又e=,且e>1,所以e=. 思维升华 (1)求双曲线的渐近线的方法 求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令-=0,得y=±x;或令-=0,得y=±x.反之,已知渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-=λ(a>0,b>0,λ≠0). (2)求双曲线的离心率 ①求双曲线的离心率或其范围的方法 (ⅰ)求a,b,c的值,由==1+直接求e. (ⅱ)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. ②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系: k====. 跟踪训练3(2018·茂名模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A.B.4C.D. 答案 A 解析 因为△ABF2为等边三角形, 所以不妨设|AB|=|BF2|=|AF2|=m, 因为A为双曲线右支上一点, 所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a, 因为B为双曲线左支上一点, 所以|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=4a, 由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°, 在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos120°, 得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e=.故选A. 高考中离心率问题 离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类: 一类是根据一定的条件求离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法. 例1已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l: 3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|+|BF|=4, ∴|AF|+|AF0|=4, ∴a=2. 设M(0,b),则M到直线l的距离d=≥, ∴1≤b<2. 离心率e====∈, 故选A. 例2已知F1,F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为( ) A.B. C.2D.2 答案 B 解析 不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 由已知,取A点坐标为,取B点坐标为,则C点坐标为且F1(-c,0).由AC⊥BF1知·=0,又=,=,可得2c2-=0,又b2=c2-a2,可得3c4-10c2a2+3a4=0,则有3e4-10e2+3=0,可得e2=3或,又e>1, 所以e=.故选B. 1.(2018·云南民族中学月考)已知双曲线-=1(a>0,b>0),点(4,-2)在它的一条渐近线上,则离心率等于( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 渐近线方程为y=-x, 故(4,-2)满足方程-2=-×4,所以=, 所以e====,故选B. 2.(2018·新余摸底)双曲线-=1(a≠0)的渐近线方程为( ) A.y=±2xB.y=±x C.y=±4xD.y=±x 答案 A 解析 根据双曲线的渐近线方程知, y=±x=±2x,故选A. 3.(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为( ) A.-=1B.-y2=1 C.-=1D.x2-=1 答案 D 解析 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为,所以=,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-=1,故选D. 4.(2018·金华模拟)已知F1,F2为双曲线C: x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B 解析 由双曲线的方程,得a=1,c=,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2| =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2| =22+|PF1|·|PF2|= (2)2, 解得|PF1|·|PF2|=4.故选B. 5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则·的值为( ) A.3B.2C.-3D.-2 答案 B 解析 由题意及正弦定理得 ==e=2, ∴|PF1|=2|PF2|, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, 又|F1F2|=4, 由余弦定理可知 cos∠PF2F1= ==, ∴·=||·||·cos∠PF2F1 =2×4×=2.故选B. 6.(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( ) A.4+B.4(1+) C.2(+)D.+3 答案 B 解析 由题意知F(,0),设左焦点为F0,则F0(-,0),由题意可知△APF的周长l为|PA|+|PF|+|AF|,而|PF|=2a+|PF0|,∴l=|PA|+|PF0|+2a+|AF|≥|AF0|+|AF|+2a=++2×2=4+4=4(+1),当且仅当A,F0,P三点共线时取得“=”,故选B. 7.已知离心率为的双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若 =16,则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B 解析 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由 =16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 8.(2018·山东泰安联考)已知双曲线C1: -=1(a>0,b>0),圆C2: x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是( ) A.B. C.(1,2)D.(2,+∞) 答案 A 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆C2: x2+y2-2ax+a2=0可化为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c2>4b2,又知b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c2 9.(2016·北京)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________. 答案 1 2 解析 由2x+y=0,得y=-2x,所以=2. 又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2. 10.(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F1,F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于________. 答案 4 解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2, ∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|, ∴|BA|=|BF1|,∵△BAF1为等腰三角形,∵∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1为等腰直角三角形. ∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2, ∴ =|BA|·|BF1|=×2×2=4. 11.(2018·安阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线+=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________. 答案 (0,2) 解析 对于焦点在x轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),它的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b.双曲线+=1,即-=1,其焦点在x轴上,则解得4 12.(2018·福建六校联考)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,FA为半径的圆交C的右支于P,Q两点,△APQ的一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________. 答案 解析 设左焦点为F1,由于双曲线和圆都关于x轴对称, 又△APQ的一个内角为60°, ∴∠PAF=30°,∠PFA=120°,|AF|=|PF|=c+a, ∴|PF1|=3a+c, 在△PFF1中,由余弦定理得, |PF1|2=|PF|2+|F1F|2-2|PF||F1F|cos∠F1FP, 即3c2-ac-4a2=0,即3e2-e-4=0,∴e=(舍负). 13.(2018·南昌调研)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=x恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 C 解析 如图, 直线PF2的方程为y=-(x-c),设直线PF2与直线y=x的交
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