小学初中数学学习方法.docx
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小学初中数学学习方法
典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题。
(1)平均数问题:
平均数是等分除法的发展。
解题关键:
在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数:
已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少。
数量关系式:
数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数:
已知两个以上若干份的平均数,求总平均数是多少。
数量关系式(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
差额平均数:
是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式:
(大数-小数)÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数
;应用题,叫做和倍问题。
解题关键:
找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。
求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。
根
据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。
解题规律:
和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数
例:
汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
分析:
大货车比小货车的5倍还多7辆,这7辆也在总数115辆内,为了使总数与(5+1)倍对应,总车辆数应(115-7)辆。
列式为(115-7)÷(5+1)=18(辆),18×5+7=97(辆)
(6)差倍问题:
已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
解题规律:
两个数的差÷(倍数-1)=标准数标准数×倍数=另一个数。
(7)行程问题:
关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。
解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方
向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律:
同时同地相背而行:
路程=速度和×时间。
同时相向而行:
相遇时间=速度和×时间
同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):
追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):
路程=速度差×时间。
例甲在乙的后面28千米,两人同时同向而行,甲每小时行16千米,乙每小时行9千米,甲几小时追上乙?
分析:
甲每小时比乙多行(16-9)千米,也就是甲每小时可以追近乙(16-9)千米,这是速度差。
已知甲在乙的后面28千米(追击路程),28千米里包含着几个(16-9)千米,也就是追击所需要的时间。
列式28÷(16-9)=4
(小时)
(8)流水问题:
一般是研究船在“流水”中航行的问题。
它是行程问题中比较特殊的一种类型,它也是一种和差问题。
它的特点主要是考虑水
(9)还原问题:
已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
解题关键:
要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律:
从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。
若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。
例某小学三年级四个班共有学生168人,如果四班调3人到三班,三班调6人到二班,二班调6人到一班,一班调2人到四班,则四个
班的人数相等,四个班原有学生多少人?
分析:
当四个班人数相等时,应为168÷4,以四班为例,它调给三班3人,又从一班调入2人,所以四班原有的人数减去3再加上2
等于平均数。
四班原有人数列式为168÷4-2+3=43(人)
一班原有人数列式为168÷4-6+2=38(人);二班原有人数列式为168÷4-6+6=42(人)三班原有人数列式为168÷4-3+6=45(人
)。
(10)植树问题:
这类应用题是以“植树”为内容。
凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。
解题关键:
解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。
解题规律:
沿线段植树
棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷(棵树-1)总路程=株距×(棵树-1)
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例沿公路一旁埋电线杆301根,每相邻的两根的间距是50米。
后来全部改装,只埋了201根。
求改装后每相邻两根的间距。
分析:
本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。
列式为50×(301-1)÷(201-1)=75(米)
解题关键:
解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数
由两车“在离中点2千米处相遇”可知,甲车比乙车少行:
2×2=4(千米)
所以,乙车行的路程是:
甲车行的路程是:
A、B两站间的距离是:
24+20=44(千米)
答略。
同普通客车相遇。
甲、乙两城间相距多少千米?
(适于六年级程度)
快车从乙城开出,普通客车与快车相对而行。
已知普通客车每小时行60千米,快车每小时行80千米,可以求出两车速度之和。
又已知两车相遇
时间,可以按“速度之和×相遇时间”,求出两车相对而行的总行程。
普通客车已行驶
普通客车与快车速度之和是:
60+80=140(千米/小时)
两车相对而行的总路程是:
140×4=560(千米)
两车所行的总路程占全程的比率是:
甲、乙两城之间相距为:
综合算式:
答略。
2)求各行多少
例1两地相距37.5千米,甲、乙二人同时从两地出发相向而行,甲每小时走3.5千米,乙每小时走4千米。
相遇时甲、乙二人各走了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
到甲、乙二人相遇时所用的时间是:
37.5÷(3.5+4)=5(小时)
甲行的路程是:
3.5×5=17.5(千米)
乙行的路程是:
4×5=20(千米)
答略。
例2甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来,甲每小时走4千米,乙每小时走6千米。
相遇后他们又都走了1小时。
两人各走了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
到甲、乙二人相遇所用的时间是:
40÷(4+6)=4(小时)
由于他们又都走了1小时,因此两人都走了:
4+1=5(小时)
甲走的路程是:
4×5=20(千米)
乙走的路程是:
6×5=30(千米)
答略。
例3两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出,第一列火车每小时行48.65千米,第二列火车每小时行47.35千米。
在相遇时第一列火车比第
二列火车多行了5.2千米。
到相遇时两列火车各行了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两车同时开出,行的路程有一个差,这个差是由于速度不同而形成的。
可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间,然后
再分别求出所行的路程。
从出发到相遇所用时间是:
5.2÷(48.65-47.35)
=5.2÷1.3
=4(小时)
第一列火车行驶的路程是:
48.65×4=194.6(千米)
第二列火车行驶的路程是:
47.35×4=189.4(千米)
答略。
*例4东、西两车站相距564千米,两列火车同时从两站相对开出,经6小时相遇。
第一列火车比第二列火车每小时快2千米。
相遇时这两列火车
各行了多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两列火车的速度和是:
564÷6=94(千米/小时)
第一列火车每小时行:
(94+2)÷2=48(千米)
第二列火车每小时行:
48-2=46(千米)
相遇时,第一列火车行:
48×6=288(千米)
第二列火车行:
46×6=276(千米)
答略。
2.求相遇时间
例1两个城市之间的路程是500千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,客车的平均速度是每小时55千米,货车的平均速度是每小
时45千米。
两车开了几小时以后相遇?
(适于五年级程度)
解:
已知两个城市之间的路程是500千米,又知客车和货车的速度,可求出两车的速度之和。
用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两
车相遇的时间。
500÷(55+45)
=500÷100
=5(小时)
答略。
例2两地之间的路程是420千米,一列客车和一列货车同时从两个城市
答略。
例3在一次战役中,敌我双方原来相距62.75千米。
据侦察员报告,敌人已向我处前进了11千米。
我军随即出发迎击,每小时前进6.5千米,敌
人每小时前进5千米。
我军出发几小时后与敌人相遇?
(适于五年级程度)
解:
此题已给出总距离是62.75千米,由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到(62.75-11)千米。
(62.75-11)÷(6.5+5)
=51.75÷11.5
=4.5(小时)
答:
我军出发4.5小时后与敌人相遇。
例4甲、乙两地相距200千米,一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时;一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。
如果两列火车同时从两地相对
开出,经过几小时可以相遇?
(得数保留一位小数)(适于五年级程度)
解:
此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。
先分别求出速度再求和,根据“时间=路程÷速度”的关系,即可求出相遇时间。
200÷(200÷5+200÷4)
=200÷(40+50)
=200÷90
≈2.2(小时)
答:
两车大约经过2.2小时相遇。
例5在复线铁路上,快车和慢车分别从两个车站开出,相向而行。
快车车身长是180米,速度为每秒钟9米;慢车车身长210米,车速为每秒钟6
米。
从两车头相遇到两车的尾部离开,需要几秒钟?
(适于五年级程度)
解:
因为是以两车离开为准计算时间,所以两车经过的路程是两个车身的总长。
总长除以两车的速度和,就得到两车从相遇到车尾离开所需要
的时间。
(180+210)÷(9+6)
=390÷15
=26(秒)
答略。
3.求速度
例1甲、乙两个车站相距550千米,两列火车同时由两站相向开出,5小时相遇。
快车每小时行60千米。
慢车每小时行多少千米?
(适于五年级
程度)
解:
先求出速度和,再从速度和中减去快车的速度,便得出慢车每小时行:
550÷5-60
=110-60
=50(千米)
答略。
例2A、B两个城市相距380千米。
客车和货车从两个城市同时相对开出,经过4小时相遇。
货车比客车每小时快5千米。
这两列车每小时各行多少
千米?
(适于五年级程度)
解:
客车每小时行:
(380÷4-5)÷2
=(95-5)÷2
=45(千米)
货车每小时行:
45+5=50(千米)
答略。
例3甲、乙两个城市相距980千米,两列火车由两城市同时相对开出,经过10小时相遇。
快车每小时行50千米,比慢车每小时多行多少千米?
(
适于五年级程度)
解:
两城市的距离除以两车相遇的时间,得到两车的速度和。
从两车的速度和中减去快车的速度,得到慢车的速度。
再用快车速度减去慢车的
速度,即得到题中所求。
50-(980÷10-50)
=50-(98-50)
=50-48
=2(千米)
答略。
例4甲、乙两地相距486千米,快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出,经过6小时相遇。
已知快车与慢车的速度比是5∶4。
求快车和慢车每小
时各行多少千米?
(适于六年级程度)
两车的速度和是:
486÷6=81(千米/小时)
快车每小时行:
慢车每小时行:
答略。
例5两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出,4.5小时后两车还相距120千米。
一辆汽车每小时行37千米。
另一辆汽车每小时行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
如果两地间的距离减少120千米,4.5小时两车正好相遇。
也就是两车4.5小时行465-120=345千米,345千米除以4.5小时,可以求出两车速
度之和。
从速度之和减去一辆车的速度,得到另一辆车的速度。
答略。
例6甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。
甲步行,每小时走5千米,先出发0.8小时。
乙骑自行车,骑2小时后,两人在某地相遇。
乙骑自
行车每小时行多少千米?
(适于五年级程度)
解:
两人相遇时,甲共走:
0.8+2=2.8(小时)
甲走的路程是:
5×2.8=14(千米)
乙在2小时内行的路程是:
40-14=26(千米)
所以,乙每小时行:
26÷2=13(千米)
综合算式:
[40-5×(0.8+2)]÷2
=[40-5×2.8]÷2
=[40-14]÷2
=26÷2
=13(千米)
答略。
例7甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。
甲先出发,每小时步行5千米。
1小时后乙骑自行车出发,骑了2小时,两人相距11千米。
乙每小
时行驶多少千米?
(适于五年级程度)
解:
从相距的50千米中,去掉甲在1小时内先走的5千米,又去掉相隔的11千米,便得到:
50-5-11=34(千米)
这时,原题就改变成“两地相隔34千米,甲、乙二人分别从两地同时相对而行。
甲步行,乙骑自行车,甲每小时走5千米。
经过2小时两人相遇
。
乙每小时行多少千米?
”
由此可知,二人的速度和是:
34÷2=17(千米/小时)
乙每小时行驶的路程是:
17-5=12(千米)
综合算式:
(50-5-11)÷2-5
=34÷2-5
=17-5
=12(千米)
答略。
(二)追及问题
追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。
由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,常用下面的公式:
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。
他们同时向同一个方向前进。
甲在前,以每小时5千米的速度步行;乙在后,以每小时10千米的
速度骑自行车追赶甲。
几小时后乙能追上甲?
(适于高年级程度)
解:
求乙几小时追上甲,先求乙每小时能追上甲的路程,是:
10-5=5(千米)
再看,相差的路程9千米中含有多少个5千米,即得到乙几小时追上甲。
9÷5=1.8(小时)
综合算式:
9÷(10-5)
=9÷5
=1.8(小时)
答略。
*例2甲、乙二人在相距6千米的两地,同时同向出发。
乙在前,每小时行5千米;甲在后,每小时的速度是乙的1.2倍。
甲几小时才能追上乙?
(适于高年级程度)
解:
甲每小时行:
5×1.2=6(千米)
甲每小时能追上乙:
6-5=1(千米)
相差的路程6千米中,含有多少个1千米,甲就用几小时追上乙。
6÷1=6(小时)
答:
甲6小时才能追上乙。
*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。
甲每分钟跑350米,乙每分钟跑250米。
二人从起跑线出发,经过多长时间甲能追上乙
?
(适于高年级程度)
解:
此题的运动路线是环形的。
求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者,也就是平时所说的“落一圈”,这一圈相当于在直线上的400米,也
就是追及的路程。
因此,甲追上乙的时间是:
400÷(350-250)
=400÷100
=4(分钟)
答略。
*例4在解放战争的一次战役中,我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地,正以每小时5.5千米的速度向南逃窜,我军立即以每小时8.5千米的
速度追击敌人。
在追上敌人后,只用半小时就全歼敌军。
从开始追击到全歼敌军,共用了多长时间?
(适于高年级程度)
解:
敌我两军行进的速度差是:
8.5-5.5=3(千米/小时)
我军追上敌军用的时间是:
6÷3=2(小时)
从开始追击到全歼敌军,共用的时间是:
2+0.5=2.5(小时)
综合算式:
60÷(8.5-5.5)+0.5
=6÷3+0.5
=2.5(小时)
答略。
*例5一排解放军从驻地出发去执行任务,每小时行5千米。
离开驻地3千米时,排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。
通讯员以每小时10千米
的速度回到驻地,取了地图立即返回。
通讯员从驻地出发,几小时可以追上队伍?
(适于高年级程度)
解:
通讯员离开队伍时,队伍已离开驻地3千米。
通讯员的速度等于队伍的2倍(10÷5=2),通讯员返回到驻地时,队伍又前进了(3÷2)千米
。
这样,通讯员需追及的距离是(3+3÷2)千米,而速度差是(10-5)千米/小时。
根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。
(3+3÷2)÷(10-5)
=4.5÷5
=0.9(小时)
答略。
(三)相离问题
相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题,也叫做相背运动问题。
解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。
例1哥哥由家向东到工厂去上班,每分钟走85米,弟弟同时由家往西到学校去上学,每分钟走75米。
几分钟后二人相距960米?
(适于四年级程
度)
解:
二人同时、同地相背而行,只要求出速度和,由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。
因此,得:
960÷(85+75)
=960÷160
=6(分钟)
答略。
例2甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发,相背而行。
甲每小时行6千米,乙每小时行7千米。
8小时后,甲、乙二人相距多少千米?
(适于四
年级程度)
解:
先求出二人速度之和,再乘以时间就得到二人之间的距离。
(6+7)×8
=13×8
=104(千米)
答略。
*例3东、西两镇相距69千米。
张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行,6小时后二人分别到达东、西两镇。
已知张每小时比王多行1.5千米
。
二人每小时各行多少千米?
出发地距东镇有多少千米?
(适于高年级程度)
解:
由二人6小时共行69千米,可求出他们的速度和是(69÷6)千米/小时。
张每小时比王多行1.5千米,这是他们的速度差。
从而可以分别求
出二人的速度。
张每小时行:
(69÷6+1.5)÷2
=(11.5+1.5)÷2
=13÷2
=6.5(千米)
王每小时行:
6.5-1.5=5(千米)
出发地距东镇的距离是:
6.5×6=39(千米)
答:
张每小时行6.5千米,王每小时行5千米;出发地到东镇的距离是39千米。
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