高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 122 绝对值不等式的解法学案 北师大版选修45.docx
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高中数学第1章不等关系与基本不等式122绝对值不等式的解法学案北师大版选修45
2.2 绝对值不等式的解法
1.理解绝对值的几何意义,掌握去掉绝对值的方法.(重点)
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(c>0)(重点、关键点)
[基础·初探]
教材整理1 含有一个绝对值不等式的解法
阅读教材P8~P9“思考交流”以上部分,完成下列问题.
1.绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a,或x<-a}
{x∈R,且x≠0}
R
2.|ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)|x| (2)不等式|x-2|≥3的解集是(-∞,-1]∪[5,+∞).( ) (3)若|x-a|<2的解集是(-1,3)时,a的值为2.( ) 【解析】 (1)× 当a≤0时,|x| (2)√ 由|x-2|≥3,得x-2≥3或x-2≤-3,即x≥5或x≤-1. (3)× 若|x-a|<2的解集为(-1,3)时,-1和3是|x-a|=2的根, 即 解得 故a=1. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 |x-a|+|x-b|≥c与|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 阅读教材P8~P9“思考交流”以上部分,完成下列问题. 1.利用绝对值不等式的几何意义求解. 2.利用零点分段法求解. 3.构造函数,利用函数的图象求解. 填空: (1)|x-4|+|x-2|>1的解集为________. (2)若f(x)=|x-a|+|x+b|的最小值为3,当a (3)|x-3|>|x+1|的解集为________. 【解析】 (1)∵|x-4|+|x-2|≥|4-2|=2>1, ∴不等式的解集为R. (2)由条件可知,当a (3)由原不等式得(x-3)2>(x+1)2,整理得x<1. 【答案】 (1)R (2)a<3 (3)(-∞,1) [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型] |ax+b|≤c与|ax+b|≥c型不等式的解法 解下列不等式: (1)1<|x-2|≤3; (2)|2x+5|>7+x. 【精彩点拨】 (1)可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b| (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式. 【自主解答】 (1)法一: 原不等式等价于不等式组 即 解得-1≤x<1或3 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3 法二: 原不等式可转化为: ① 或② 由①得3 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3 法三: 原不等式的解集就是1<(x-2)2≤9的解集, 即 解得 所以-1≤x<1或3 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1或3 (2)由不等式|2x+5|>7+x, 可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x), 整理得x>2或x<-4. 所以原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}. 1.形如a<|f(x)|a>0)型不等式的简单解法是利用等价命题法,即a<|f(x)| 2.|f(x)|>g(x)和|f(x)| 3.形如|f(x)| [再练一题] 1.解不等式|x2-x+2|>x2-3x-4. 【导学号: 94910007】 【解】 ∵x2-x+2= 2+ >0, ∴|x2-x+2|=x2-x+2. 原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4, 解得x>-3. ∴原不等式的解集为{x|x>-3}. |x-a|±|x-b|≥c(≤c)型不等式的解法 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 【精彩点拨】 本题考查|x-a|+|x-b|≥c型含两个绝对值的不等式的解法,解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解,也可用零点分区间讨论法求解,或者用图象法,利用图形分析求解. 【自主解答】 法一: 如图所示,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1,到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x. ∴-1-x+1-x=3,得x=- . 同理设B点右侧有一点B1到A,B两点距离和为3,B1对应数轴上的x, ∴x-1+x-(-1)=3. ∴x= . 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是 ∪ . 法二: 当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3, 解得x≤- . 当-1 即2≥3,不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3,所以x≥ . 综上所述,原不等式的解集为 . 法三: 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即y= 作出函数的图象,如图所示: 函数的零点是- , . 从图象可知,当x≤- 或x≥ 时,y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 解得原不等式的解集为 ∪ . 这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法,解法一中关键是找到特殊点,解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,解法三则要准确画出函数图象,并准确找出零点. [再练一题] 2.解不等式|2x-1|<|x|+1. 【解】 ①当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,与x<0矛盾,此时无解; ②当0≤x< 时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得x>0, 又∵0≤x< ,从而有0<x< ; ③当x≥ 时,原不等式化为2x-1<x+1,∴x<2. 因此 ≤x<2. 综合①②③知,原不等式的解集是{x|0<x<2}. [探究共研型] 含参数的不等式 探究1 函数f(x)=|x-a|+|x-b|的最小值是什么? 当|a-b|>c时,不等式|x-a|+|x-b|>c的解集是什么? 【提示】 因为|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|. ∴当|a-b|>c时,不等式|x-a|+|x-b|>c的解集为R. 事实上,对于一切x∈R,有|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>c. 探究2 对于a≥f(x)在R上恒成立求a的取值范围时,如何转化求解? 对于a≤f(x)呢? 对于a>f(x)的解集为∅,求a的取值范围时如何转化求解,对于a 【提示】 a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max. a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min. a>f(x)解集为∅⇔a≤f(x)恒成立 a 探究3 对于a≥f(x)有解求a的范围时,如何转化求解? a≤f(x)有解呢? 【提示】 a≥f(x)有解⇔a≥[f(x)]min. a≤f(x)有解⇔a≤[f(x)]max. 已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (2)在 (1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 【精彩点拨】 (1)解f(x)≤3,由集合相等,求a. (2)求y=f(x)+f(x+5)的最小值,确定m的范围. 【自主解答】 (1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以 解得a=2. (2)法一 由 (1)知a=2,此时f(x)=|x-2|, 设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|, 于是g(x)= 利用g(x)的单调性,易知g(x)的最小值为5. 因此g(x)=f(x)+f(x+5)≥m对x∈R恒成立, 知实数m的取值范围是(-∞,5]. 法二 当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立),得g(x)的最小值为5. 因此,若g(x)=f(x)+f(x+5)≥m恒成立, 应有实数m的取值范围是(-∞,5]. 1.第 (2)问求解的关键是转化为求f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件). 2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动向,解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用. [再练一题] 3.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅,求实数a的取值范围. 【解】 法一: 令y1=|x+2|+|x-1|,y2=a. ∴y1= y1,y2的图象如图所示.由图可知,当a<3时, |x+2|+|x-1|≤a的解集为∅. 法二: |x+2|+|x-1|表示数轴上的点A(x)到B(-2)和C (1)两点的距离之和,而|BC|=3, 所以A到B,C两点的距离之和的最小值为3. 即对一切x∈R,总有|x+2|+|x-1|≥3. 因为|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅, 所以只需a<3即可, 所以a的取值范围是a<3. [构建·体系] 1.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是( ) A. B.(-∞,0)∪ C. D. 【解析】 原不等式等价于 解得x< 且x≠0, 即x∈(-∞,0)∪ . 【答案】 B 2.不等式|x-2|>x-2的解集是( ) A.(-∞,2)B.(-∞,+∞) C.(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞) 【解析】 原不等式同解于x-2<0,即x<2. 【答案】 A 3.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________. 【解析】 A={x∈R||x-1|<2}={x∈R|-1 【答案】 3 4.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为________. 【导学号: 94910008】 【解析】 由于||x-2|-1|≤1,即-1≤|x-2|-1≤1, 即|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,所以0≤x≤4. 【答案】 [0,4] 5.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 【解】 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}. (2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0. 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为a>0,所以不等式组的解集为 . 由题设可得- =-1,故a=2. 我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2) 学业分层测评(三) (建议用时: 45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.不等式1≤|x-3|≤6的解集是( ) A.{x|-3≤x≤2或4≤x≤9} B.{x|-3≤x≤9} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|4≤x≤9} 【解析】 化为1≤x-3≤6或-6≤x-3≤-1, 即4≤x≤9或-3≤x≤2,故选A. 【答案】 A 2.不等式 > 的解集是( ) A.{x|0 C.{x|x<0}D.{x|x>2} 【解析】 原不等式可化为 <0,即x(x-2)>0, ∴x>2或x<0,解集为{x|x>2或x<0}. 【答案】 B 3.不等式1<|x+1|<3的解集为( ) 【导学号: 94910009】 A.(0,2)B.(-2,0)∪(2,4) C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2) 【解析】 由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1, ∴0<x<2或-4<x<-2. ∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 【答案】 D 4.设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1B.2,-2 C.1,-2D.2,-1 【解析】 |x|+|y|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示. 设z=x+2y,作l0: x+2y=0,把l0向右上和左下平移,易知: 当l过点(0,1)时,z有最大值zmax=0+2×1=2; 当l过点(0,-1)时,z有最小值zmin=0+2×(-1)=-2. 【答案】 B 5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( ) A.0B.1 C.-1D.2 【解析】 由于|x-2|+|x-a|≥|a-2|, ∴等价于|a-2|≥a,即a≤1. 故实数a的最大值为1. 【答案】 B 二、填空题 6.不等式|2x-1|≤3的解集为________. 【解析】 由|2x-1|≤3,得-3≤2x-1≤3, 解得-1≤x≤2,即解集为[-1,2]. 【答案】 [-1,2] 7.不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是________. 【解析】 法一: 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|, 两边平方得(x+1)2≥(x-3)2,解得x≥1, 故不等式的解集为[1,+∞). 法二: 不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点-1的距离大于等于到点3的距离,到两点距离相等时x=1,故不等式的解集为[1,+∞). 【答案】 [1,+∞) 8.若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3| 【解析】 ∵|x-5|+|x+3| =|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8,
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