版数学浙江省学业水平考试专题复习选修212.docx
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版数学浙江省学业水平考试专题复习选修212
知识点一 曲线与方程
1.曲线与方程的概念
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
知识点二 椭圆的概念
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a 知识点三 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1) a,b,c的关系 c2=a2-b2 知识点四 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤: (1)联立直线方程与椭圆方程; (2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程; (3)当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离. 2.弦长公式(设P1(x1,y1),P2(x2,y2),直线斜率为k,交椭圆于P1,P2两点) |P1P2|=或 |P1P2|=. 题型一 曲线与方程 例1 (1)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( ) A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2 (2)如图所示,圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,折叠纸片使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由题意知,P点到圆心(1,0)的距离为, ∴P点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2. (2)由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆. 感悟与点拨 (1)求曲线的方程的方法有①直接法;②坐标转移法;③待定系数法. (2)判断轨迹的形状,可以利用定义,也可以求出方程,再根据方程进行判断. 跟踪训练1 (1)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 (2)(2016年10月学考)在平面直角坐标系xOy中,动点P的坐标满足方程(x-1)2+(y-3)2=4,则点P的轨迹经过( ) A.第一、二象限B.第二、三象限 C.第三、四象限D.第一、四象限 (3)已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2-6,则点P的轨迹方程是__________. 答案 (1)D (2)A (3)y2=x 解析 (1)由题意知,M为PQ的中点,设Q(x,y), 则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0, 得2x-y+5=0. (2)由题意,点P在圆(x-1)2+(y-3)2=4上, 如图,点P的轨迹经过第一、二象限. (3)∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y), ∴·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+y2=x2-6,∴y2=x. 题型二 求椭圆的标准方程 例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的标准方程为________. (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的标准方程为________. 答案 (1)+y2=1或+=1 (2)+=1 解析 (1)设椭圆方程为+=1或+=1, 则或 ∴或 ∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. (2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n), ∴∴ ∴椭圆的标准方程为+=1. 感悟与点拨 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式. 跟踪训练2 (1)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的标准方程为( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 (2)已知椭圆经过点和点,则椭圆的标准方程为____________. 答案 (1)D (2)x2+=1 解析 (1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1,消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a=3,所以椭圆E的标准方程为+=1.故选D. (2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 因为点和点都在椭圆上, 所以 即解得 所以椭圆的标准方程为x2+=1. 题型三 椭圆的性质 例3 (1)设椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( ) A.B. C.D. (2)(2018年4月学考)如图,F为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F作x轴的垂线交椭圆于点P,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,O为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF面积的倍,则该椭圆的离心率是( ) A.或B.或 C.或D.或 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, 所以|PF2|=2c·tan30°=c,|PF1|=c. 又|PF1|+|PF2|=c=2a, 所以==, 即椭圆C的离心率为. (2)由通径公式知P, ∵S△OAB=ab,S△OPF=c·, ∴ab=·,即a2=bc, 又a2=b2+c2,∴bc=b2+c2, ∴+=,∴=2或, ∴e===或. 感悟与点拨 (1)求椭圆的离心率的方法 ①直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组,解出a,c的值. ②构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解. ③通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0 跟踪训练3 (1)(2017年11月学考)设A,B为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,P为椭圆上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若k1·k2=-,则该椭圆的离心率为( ) A.B.C.D. (2)已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l: 3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是________. 答案 (1)C (2) 解析 (1)设P(x0,y0),则 得∴=, ∴e====. (2)如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1. 由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形, ∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF| =2a=4.∴a=2. 不妨设M(0,b),则≥,∴b≥1, ∴e==≤=. 又0 题型四 直线与椭圆 例4 (2016年10月学考)设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,动点P的坐标为(-1,m),过点F2的直线与椭圆交于A,B两点. (1)求F1,F2的坐标; (2)若直线PA,PF2,PB的斜率之和为0,求m的所有整数值. 解 (1)F1(-1,0),F2(1,0). (2)①当直线AB的斜率不存在时,由对称性可知,m=0. ②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为k, A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得x1≠-1,x2≠-1,直线AB的方程为y=kx-k. 直线PA的斜率为=; 直线PF2的斜率为-; 直线PB的斜率为=, 由题意得++=0. 化简整理得(4k-m)x1x2-3m(x1+x2)-(4k+5m)=0.(*) 将直线AB的方程y=k(x-1)代入椭圆方程,化简整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=. 代入(*)式并化简整理得16k2m+20k+m=0. 从而m=-. 当k=0时,m=0; 当k≠0时,|m|=≤=. 故m的所有整数值是-2,-1,0,1,2. 感悟与点拨 直线与椭圆位置关系的问题,通常用设而不求的方法来处理,即设出交点坐标,联立直线方程与椭圆方程,用根与系数的关系,建立未知量之间的关系,从而将问题转化成方程或函数来解决. 跟踪训练4 已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM,BM相交于点M,且kMA·kMB=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点, 且|PQ|=,求直线PQ的方程. 解 (1)设M(x,y), 则kMA=,kMB=(x≠±1), ∴·=-2, ∴x2+=1(x≠±1). (2)当直线PQ的斜率不存在,即PQ是椭圆的长轴时,其长为2,显然不合题意,即直线PQ的斜率存在. 设直线PQ的方程是y=kx+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1-y2=k(x1-x2), 联立消去y,得(k2+2)x2+2kx-1=0, ∵Δ=4k2+4(k2+2)=8(k2+1)>0,∴k∈R, x1+x2=-,x1x2=-, ∴|PQ|= ==2·, ∴|PQ|==2·, 即k2=2,k=±, ∴直线PQ的方程是y=±x+1. 一、选择题 1.方程(x2-4)(y2-4)=0表示的图形是( ) A.两条直线B.四条直线 C.两个点D.四个点 答案 B 解析 由(x2-4)(y2-4)=0,得(x+2)(x-2)(y+2)(y-2)=0, 所以x+2=0或x-2=0或y+2=0或y-2=0,表示四条直线. 2.已知两点M(-2
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