学年人教B版高中数学必修3教学案第二章变量间的相关关系两个变量的线性相关 Word.docx
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学年人教B版高中数学必修3教学案第二章变量间的相关关系两个变量的线性相关Word
2.3.1&2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
习课本P73~78,思考并完成以下问题预
(1)相关关系是函数关系吗?
(2)什么是正相关、负相关?
与散点图有什么关系?
(3)回归直线方程是什么?
如何求回归系数?
(4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系?
1.两个变量的关系
分类
函数关系
相关关系
特征
两变量关系确定
两变量关系带有随机性
2.散点图
将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的图形.
3.正相关与负相关
(1)正相关:
如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.
(2)负相关:
如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.
4.最小二乘法
设x,Y的一组观察值为(xi,yi),i=1,2,…,n,且回归直线方程为
=a+bx,当x取值xi(i=1,2,…,n)时,Y的观察值为yi,差yi-
i(i=1,2,…,n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的平方和,即Q=
(yi-a-bxi)2作为总离差,并使之达到最小.这样,回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法.
5.回归直线方程的系数计算公式
回归直线方程
回归系数
系数
的
计算公式
方程或
公式
=
+
x
=
=
-
上方加
记号“^”
的意义
区分y的估计值
与实际值y
a,b上方加“^”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值
1.下列命题正确的是( )
①任何两个变量都具有相关关系;
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系;
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系;
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性问题转化为确定性问题进行研究.
A.①③④ B.②③④
C.③④⑤D.②④⑤
解析:
选C ①显然不对,②是函数关系,③④⑤正确.
2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析:
选C 由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关,u与v正相关.
3.若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为
=5x+250,当施肥量为80kg时,预计水稻产量约为________kg.
解析:
把x=80代入回归方程可得其预测值
=5×80+250=650(kg).
答案:
650
4.对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表所示.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5,这条回归直线的方程为______________________.
解析:
由题意可知
=
=5,
=
=50.
即样本中心为(5,50).
设回归直线方程为
=6.5x+
,
∵回归直线过样本中心(
,
),
∴50=6.5×5+
,即
=17.5,
∴回归直线方程为
=6.5x+17.5
答案:
=6.5x+17.5
相关关系的判断
[典例]
(1)下列关系中,属于相关关系的是________(填序号).
①正方形的边长与面积之间的关系;
②农作物的产量与施肥量之间的关系;
③人的身高与年龄之间的关系;
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x(岁)
1
2
3
4
5
6
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120
①画出散点图;
②判断y与x是否具有线性相关关系.
[解析]
(1)在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在②中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;在③中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具有相关关系;在④中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.
答案:
②④
(2)解:
①散点图如图所示.
②由图知,所有数据点接近一条直线排列,因此,认为y与x具有线性相关关系.
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验:
借助积累的经验进行分析判断.
(2)利用散点图:
通过散点图,观察它们的分布是否存在一定的规律,直观地进行判断.
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号).
解析:
①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条曲线周围;③中的点大都分布在一条直线周围;④中点的分布没有任何规律可言,x,y不具有相关关系.
答案:
①④
求回归方程
[典例]
(1)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数
=3,
=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.
=0.4x+2.3 B.
=2x-2.4
C.
=-2x+9.5D.
=-0.3x+4.4
(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化,下表为抽样试验的结果:
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
①画出散点图;
②如果y对x有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系;
③在实际生产中,若它们的近似方程为y=
x-
,允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?
[解析]
(1)依题意知,相应的回归直线的斜率应为正,排除C、D.且直线必过点(3,3.5),代入A、B得A正确.
答案:
A
(2)解:
①散点图如图所示:
②近似直线如图所示:
③由y≤10得
x-
≤10,解得x≤14.9,所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.
求回归直线方程的步骤
(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).
(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.
(3)把数据制成表格xi,yi,x
,xiyi.
(4)计算
,
,
,
iyi.
(5)代入公式计算
,
,公式为
(6)写出回归直线方程
=
x+
.
[活学活用]
已知变量x,y有如下对应数据:
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图;
(2)用最小二乘法求关于x,y的回归直线方程.
解:
(1)散点图如图所示.
(2)
=
=
,
=
=
,
iyi=1+6+12+20=39.
=1+4+9+16=30,
=
=
,
=
-
×
=0,
所以
=
x为所求的回归直线方程.
利用线性回归方程对总体进行估计
[典例] 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的回归直线方程
=
x+
;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据
(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?
[解]
(1)散点图如图:
(2)
=
=4.5,
=
=3.5,
iyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
=32+42+52+62=86,
所以
=
=
=0.7,
=
-
=3.5-0.7×4.5=0.35.
所以所求的线性回归方程为
=0.7x+0.35.
(3)当x=100时,
=0.7×100+0.35=70.35(吨标准煤),
90-70.35=19.65(吨标准煤).即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤.
只有当两个变量之间存在线性相关关系时,才能用回归直线方程对总体进行估计和预测.否则,如果两个变量之间不存在线性相关关系,即使由样本数据求出回归直线方程,用其估计和预测结果也是不可信的.
[活学活用]
(重庆高考)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程
=
t+
;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
解:
(1)列表计算如下:
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n=5,
=
i=
=3,
=
i=
=7.2.
又
-n
2=55-5×32=10,
iyi-n
=120-5×3×7.2=12,
从而
=
=1.2,
=
-
=7.2-1.2×3=3.6,
故所求回归方程为
=1.2t+3.6.
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
[层级一 学业水平达标]
1.下列变量具有相关关系的是( )
A.人的体重与视力
B.圆心角的大小与所对的圆弧长
C.收入水平与购买能力
D.人的年龄与体重
解析:
选C B为确定性关系;A,D不具有相关关系,故选C.
2.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回归方程可能为
A.
=1.5x+2
B.
=-1.5x+2
C.
=1.5x-2
D.
=-1.5x-2
解析:
选B 设回归方程为
=
x+
,由散点图可知变量x,y之间负相关,回归直线在y轴上的截距为正数,所以
<0,
>0,因此方程可能为
=-1.5x+2.
3.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示,则以下结论正确的是( )
A.直线l过点(
,
)
B.回归直线必通过散点图中的多个点
C.直线l的斜率必在(0,1)
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析:
选A
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