新教材苏教版高中数学必修第二册教学备课资料平面的基本性质.docx
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新教材苏教版高中数学必修第二册教学备课资料平面的基本性质
13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
学习目标
核心素养
1.借助实例,直观了解平面的概念、画法,会用图形与字母表示平面.(重点)
2.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系.(易错点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(重点、难点)
1.通过对空间点、线、面位置关系的学习,培养学生直观想象素养.
2.借助于三个基本事实与推论的应用,培养学生逻辑推理素养.
一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象,它们的共同特征主要有哪些?
你能想象数学中“平面”的描述吗?
生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,为什么?
木匠师傅将一把直尺置于桌面上,通过检查桌面是否平整,你能从数学的角度加以解释么?
1.平面的概念及表示
(1)平面的概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念.它没有厚薄,是无限延展的.
(2)平面的表示方法
①图形表示
平面通常用平行四边形来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示).
②字母表示
平面通常用希腊字母α,β,γ,…表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面α、平面AC等.
(3)点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C∉AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB⊂平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1⊄平面AC
2.平面的基本性质
(1)平面的基本性质
①基本事实1:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
基本事实1也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.
②基本事实2:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
用符号表示为:
⇒AB⊂α.
③基本事实3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用符号表示为:
⇒α∩β=l且P∈l.
(2)基本事实的推论
①推论1:
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
②推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
③推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么下列说法正确的是( )
A.l⊂α B.l⊄α
C.l∩α=MD.l∩α=N
A [∵M∈a,N∈b,a⊂α,b⊂α,∴M∈α,N∈α.而M,N确定直线l,根据基本事实2可知l⊂α.故选A.]
2.下列说法正确的是( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
D [A错误,不共线的三点可以确定一个平面.
B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.
C错误,四边形不一定是平面图形.
D正确,两条相交直线可以确定一个平面.]
3.如图所示,用符号可表达为________.
α∩β=m,n⊂α且m∩n=A [由题图可知平面α与平面β相交于直线m,且直线n在平面α内,且与直线m相交于点A,故用符号可表示为:
α∩β=m,n⊂α且m∩n=A.]
三种语言的转换
【例1】
(1)如图所示,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
① ②
(2)用符号语言表示语句:
“平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC”,并画出图形.
[思路点拨] 根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化.
[解]
(1)①α∩β=l,m⊂α,n⊂β,l∩n=P,l∥m.
②α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,a∩b∩c=O,a∩γ=O.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,
平面ABC∩平面ADC=AC.
图形表示如图.
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.
3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
[跟进训练]
1.根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.
(1)
(2)
图
(1)可以用几何符号表示为________________.
图
(2)可以用几何符号表示为________________.
[答案]
(1)α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB,a∥b
(2)α∩β=l,m∩α=A,m∩β=B,A∉l,B∉l
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:
这四条直线共面.
[思路点拨] 法一:
→
→
→
法二:
→
→
[证明] 如图.
法一:
∵a∥b,∴a,b确定平面α.
又∵l∩a=A,l∩b=B,
∴l上有两点A,B在α内,即直线l⊂α.
∴a,b,l共面.
同理,a,c,l共面,即c也在a,l确定的平面内.
故a,b,c,l共面.
法二:
∵a∥b,
∴过a,b确定平面α,又∵A∈a,B∈b,
∴AB⊂α,即l⊂α.
又∵b∥c,∴过b,c确定平面β,
而B∈b,C∈c,∴BC⊂β,即l⊂β.
∴b,l⊂α,b,l⊂β,而b∩l=B,
∴α与β重合,故a,b,c,l共面.
在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明:
(1)纳入法:
先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
确定一个平面的方法有:
①直线和直线外一点确定一个平面;
②两条平行线确定一个平面;
③两条相交直线确定一个平面.
(2)重合法:
先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
[跟进训练]
2.证明:
两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
[解] 已知:
如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
法一:
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二:
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2∈β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
共线,共点问题
[探究问题]
1.把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点?
为什么?
[提示] 由图可知它们不是相交于一点,而是相交于一条直线.
2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.试问CE,D1F,DA三线是否交于一点?
为什么?
[提示] 交于一点.
证明:
如图所示,连接EF,D1C,A1B.
∵E为AB的中点,F为AA1的中点,
∴EF
A1B.
又∵A1B∥D1C,∴EF∥D1C,
∴E,F,D1,C四点共面,
且EF=
D1C,
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F⊂平面A1D1DA,
CE⊂平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
根据基本事实,可得P∈DA,
即CE,D1F,DA相交于一点.
【例3】 如图所示,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:
EF,GH,BD交于一点.
[思路点拨] 先证明GH和EF共面且交于一点O,然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点,而平面ABD和平面BCD相交于直线BD,根据基本事实3,两平面相交,有且只有一条交线.因此点O在交线上,即点O在直线BD上.从而证明了直线EF,GH,BD都过点O.
[证明] ∵E,G分别为BC,AB的中点,
∴GE∥AC,GE=
AC.
又DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
∴FH∥AC,FH=
AC.
∴FH∥GE,FH≠GE.
∴四边形EFHG是一个梯形,GH和EF交于一点O.
∵O在平面ABD内,又在平面BCD内,
∴O在这两平面的交线上.
而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,
∴点O在直线BD上.
∴EF,GH,BD交于一点.
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后,证明点在相交平面的交线上,即由基本事实3完成证明,即先说明两直线共面交于一点,然后说明该点在两个平面内,从而该点又在这两个平面的交线上.
[跟进训练]
3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上,且DP,RQ相交于点O.求证:
O,B,C三点共线.
[证明] 如图,可知平面AC∩平面BC1=BC.
⇒O为平面BC1与平面AC的公共点.
又∵平面AC∩平面BC1=BC,∴O∈BC,
即O,B,C三点共线.
1.本节课的重点是理解平面的概念,会画一个平面并会表示平面,会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系.难点是掌握三个基本事实并会简单应用.
2.本节课要重点掌握的规律方法
(1)理解平面的概念及空间图形画法要求;
(2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法;
(3)证明点、线共面的方法;
(4)证明点共线、线共面的方法.
3.本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件.
1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述不正确的个数( )
①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;
③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.
A.1 B.2 C.3 D.4
D [①不正确,如a∩α=A;②不正确,“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A∉a,a⊂α,但A∈α;④不正确,“A⊂α”表述错误.]
2.(多选题)下列命题正确的是( )
A.梯形一定是平面图形
B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行
C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
AC [对于A,由于两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,故A正确;对于B,两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行或异面或相交,故B错误;对于C,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,故C正确;对于D,若两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故D错误.故选AC.]
3.空间三条直线a,b,c,若它们两两平行,则最多能确定平面的个数为________.
3 [当三条直线不共面时确定平面个数最多,为3个.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,画出平面ACD1与平面BDC1的交线,并说明理由.
[解] 设AC∩BD=M,C1D∩CD1=N,连接MN,则平面ACD1∩平面BDC1=MN,如图.
理由如下:
∵点M∈平面ACD1,
点N⊂平面ACD1,
所以MN⊂平面ACD1.
同理,MN⊂平面BDC1,
∴平面ACD1∩平面BDC1=MN,即MN是平面ACD1与平面BDC1的交线.
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