圆锥曲线大题综合测试含详细答案.docx
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圆锥曲线大题综合测试含详细答案
圆锥曲线
OF}=2F\A(英中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程:
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:
x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为
直径的两个端点),求血.两的最大值.
2.已知椭圆E:
+•+詁=1(">〃>0)的一个焦点为济(—更0),而且过点
(I)求椭圆E的方程:
(II)设椭圆E的上下顶点分别为P是椭圆上异于人,A的任一点,直线P\,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为7\证明:
线段OT的长为泄值,并求出该左值.
3、已知圆0:
/+〉,2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为逻的椭圆,其左焦
2
点为F,若P是圆0上一点,连结PF,过原点0作宜线PF的垂线交直线x=-2于点Q.
(I)求椭圆C的标准方程;(II)若点P的坐标为(1,1),求证:
直线PQ与圆0相切;
(III)试探究:
当点P在圆0上运动时(不与A.B重合),
直线PQ与圆0是否保持相切的位宜关系?
若是,请证明:
若不是,请说明理由.
4设人(“」),3%宀)是椭圆2_+1_=>/7>o)上的两点,满足
,,/T
(乞,丄)•(乜,21)=0,椭圆的离心率,短轴长为2,0为坐标原点.
(1)求椭圆的方程:
baba2
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;(3)试问:
△AOB的面积是否为左值?
如果是,请给予证明:
如果不是,请说明理由.
5、直线人y=mx+L双曲线C:
3x2-y2=1,问是否存在m的值,使/与C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点
6已知双曲线C:
〜一二=1(“>0">0)的两个焦点为F,(-2,0),F:
(2>0),点P(3,J7)crlr
在曲线C上。
(1)求双曲线C的坐标;
(2)记0为坐标原点,过点Q(0,2)的直线/与双曲线C
相交于不同两点E,F,若AOEF的面积为2迈,求直线/的方程。
7.已知椭圆(7:
二+二=1(">〃>0)经过点A(2,1),离心率为至,过点B(3,0)的直线/与cr/r2
椭圆C交于不同的两点M、N.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为忍^和&训,求证:
kAM+kAN为左值.
8.已知椭圆€\:
罕+気=1(“>〃>0)的离心率为学,直线/:
j=x+2V2与以原点为圆
aD2
心、以椭圆C|的短半轴长为半径的圆相切。
(【)求椭圆C]的方程:
(II)设椭圆C]的左焦点为F],右焦点为円,直线/]过点Fl,且垂直于椭圆的长轴,动直线厶垂直厶于点P,线段PF2的垂直平分线交厶于点何,求点M的轨迹C2的方程:
(【II)若AC、BD为椭圆C】的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
13
9设尸是椭圆G4+4=1(</>/^>0)的左焦点,直线』为其左准线,直线』与x轴交于点只crlr
线段MV•为椭圆的长轴,已知IMNI=&且IPMI=2IMFI・
⑴求椭圆Q的标准方程:
(2)若过点尸的直线与椭圆相交于不同两点儿万求证:
ZAFM二ZBFN;
(2)求三角形曲尸而积的最大值.
10如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在兀轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,l),平行于OM的直线/在y轴上的截距为〃2(〃?
=0),/交椭圆于A、8两个不同点
(1)求椭圆的方
程;
(2)求川的取值范围;(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
11已知椭圆C:
丄v+二=l(a>b>0),左、右两个焦点分别为F-上顶点A(O^),cr/r
AAF,F2为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率:
(2)O为坐标原点,P是直线F(A±的一个动点,求\PF2\+\PO\的最小值,并求岀此时
点P的坐标.
12如图,设P是圆x2+y2=2±的动点,PD丄x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且
IPDI=>/2IMDL点A、F]的坐标分别为(0,>/2),(~b0)。
(1)求点M的轨迹方程:
(2)求IMAI+IMF)啲最大值,并求此时点M的坐标。
儿k
Ap
13.如图,在平面直角坐标系xOy中。
椭圆C:
—+/=1的右焦点为F,右准线为/°2
(1)求到点F和直线/的距离相等的点G的轨迹方程。
(2)过点F作直线交椭圆C于点人3,又直线Q4交/于点T,
若OT=2OA.求线段AB的长;
(3)已知点M的坐标为(心儿),无工0,直线OM交直线^+yoy=\于点N,且和椭圆C的一个交点为点P,是否存在
2
实数八使得O卢若存在,求出实数加若不存在,请说明理由。
圆锥曲线答案
62
(2)方法1:
设圆N:
x2+(y—2)'=1的圆心为N,
则陀•污=(证一丽)•(丽一丽)…6分=(一丽一丽)•(丽一W)…7分
=~NP-NF=NP……*分
从而求陀.两的最大值转化为求丽$的最大值.9分
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0)»10分
22
所以牛+号=1,即%2=6—3y°2.11分
因为点"(0,2),所以NP=^02+(y0-2)2=-2(y0+l)2+12-12分
—完整版学习资料分享一一
因为儿w[—所以当)b=j时,丽'取得最大值12.13分
14分
X
所以万E・历?
的最大值为11・
2由(I)可知4(0,1)4(0,-1),设P(3o),
直线PA:
y_l=g_・令y=0,得心=二^
兀儿一1
宜线P人:
),+1=土乜小令y=0,得%=』-
「兀*儿+1
则IOMI・IONI=二L・_^
儿一1儿+1
2
而普+儿2=1,即卅=4(1一衣),.••IOMI・IONI=4取线段MN的中点Q,连接GQ.GM.GO,r=1GA7IOT2=OG2-GM2=(OQ2+QG2)-(MQ2+QG2)
=OQ2-HQ,=(lOQ+MQ1)(1(9(2I-1MQI)=IOMI・IO7VI=4
/.IOT1=2.即线段OT的长为定值2.14分
37.(14分)解:
(I)因为“=逅卫=浮,所以c=l,则b=l,
所以椭圆C的标准方程为兰+y2=]5分
2
(II)•••P(1,1),・••kpF=[,・•・kOQ=-2,・•・直线0Q的方程为y=-2x,点Q(-2,4)-7分2
•••kPQ=-1,又k°p=\、•••k°p丄kpQ=-1,即OP丄PQ,故直线PQ与圆0相切……10分
(III)当点P在圆0上运动时■直线PQ与圆0保持相切11分
证明:
设pg,儿)(无工士血),则X=2—6所以丘刖=亠山,%=-HL,
xo+1y()
所以直线0Q的方程为y=-^L±Lx所以点Q(-2,3)+2)12分
九y()
y一2a~u+2t
所以5_”“_•'叮一(2"+2)_—兀「一2“__兀,又気=如-131
"x0+2(x0+2)y0(x0+2)y0y0xo
所以k“丄kPQ=-I,即OP丄PQ,故直线PQ始终与圆0相切.14分
49解:
(1)2b=2.b=\,e=—=————=二二=>“=2.e=椭圆的方程为
aa2
务宀…七分)
(2)设AB的方程为y=kx+yf3
\y=kx+43问
v2=>伙'+4)x2+2y[3kx-1=Ox.+x.=:
j•严=———(4分)
2_+x2=i-k2+4■,+4
4
由
0普呼=杯+扌(納+V3XU+丽(1+卄2+%+七)+扌
中-召+学譜+冷得“2
(7分)
(8分)
(3)当A为顶点时,B必为顶点・Smm=1-
当A,B不为顶点时,设AB的方程为y=k.x+h
y=kx+h
—+x2=1「L+4 4 2b~+k2=4…(11分) (12分) 所以三角形的面积为泄值••… 97 6・解: (1)依题意c=2,•••=—==1且c2=a2+b\解得: /=2,戻=2,crlr 所以双曲线方程为 (2)依题意可知,直线/的斜率存在 设直线/的方程为y二kx+2,E(几”),F(兀“儿), 由y=kx+2及 二_2_=]得(1_£2)疋_4匕_6=0, 22 •••有两个交点,•••1一宀0,XA=162+24(1-/)>o, 21 TO点到直线的距离必吞’又「\EF\R •••直线/的方程为y=y/2x+2或y=—屈+212分 7・解: (1)由题意得< 41一 crlr a~-lr+c2,解得a=>/6,b=JJ.c_y/2 a2 故椭圆C的方程啤+牛】. (2)由题意显然直线/的斜率存在,设直线/方程为y=R(x-3), y=心_3), x2y2得(1+2疋)疋一12/兀+18/-6=0・ —=1, 163 因为直线/与椭圆C交于不同的两点M,N、 所以A=144"—4(1+2疋)(1洙2—6)=24(1—疋)>0,解得一lvkvl. 设M,N的坐标分别为(召({,儿), 则召+心=芸卩,"內二譽爭,)'产"丫厂3),y2=k(x2-3).…仝分 ・•・口+5=斗兰 X,-2x2-2 10分 —3k—1)(a*22)+(上Y? —3k—l)(x)—2) (Xj-2)(x2-2) 2kx}x2-(5k+1)(斗+“2)+12k+4 x}x2一2(Xj+x2)+4 2饥18/—6)-(5R+1)・12疋+(12R+4)(1+2k2)-4k2+4小 —;=_2 2疋一2 18疋一6-24,+4(1+2疋) 所以+kAN为崖值一2・ 14分 86.解: (I)e=E.•宀二=匚工丄血=2; 2/o ・•.一=b.: .b=2.b2=4,/.a2=8 2crcr2 •・•直线/: x-y+2=0与圆x2+y2=庆相切 22 •••椭圆Cl的方程是—+—=1. 84 (II)TMP=MF2…••动点M到定直线Z1: x=-2的距离等于它到定点F2(2,0)的距离, 动点M的轨迹C是以厶为准线,H为焦点的抛物线 ・•・点M的轨迹C2的方程为y2=8x6分 (III)当直线AC的斜率存在且不为零时,设直线AC的斜率为k,A(xl,yl\C(x2,y2)»则直线AC的方程为y=k(x-2). 22 联立丄+丄=1及),=心-2)得(1+2疋)疋一8啓+加一&=0. 84 •…9分 IAC1=J(1+F)3—V)2=J(1+疋)[(召+兀)2—4X內]= 由于直线BD的斜率为-丄,用—丄代换上式中的k可得IBD1=产'_勺 kkL+2 VAC丄3D, 由(1+2/)(疋+2)<|-1+2A")~(A,'+2-]2=|3(A"~1-|222 64 所以sn—,当1+2/=疋+2»土即比=±1时取等号・13分 9 易知,当直线AC的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD的而积5=8 9解: (1)VIMNI=8•••a二4 又•••PM=2肪得 —-=2G/-c)即2^—3幺+1=0=£=丄或w=l(舍去) 32 •c=2b2=n2-c2=12 ・・・椭圆的标准方程为4+4=1 1612 (2)当丽的斜率为0时,显然ZAFM=ZBFN=0.满足题意 当月万的斜率不为0时,设A(xpy,).B(x2,y2),月万方程为x=-& 代入椭圆方程整理得(3亦+4)b-48砒+144=0则 △=(48/«)2-4xl44C3w2+4),儿+儿=;挥"-;儿-儿=;螟〒 3nr+43〃广+4 A|+2x2+2wn*j_6my2_6(my{_6)(my2_6) ・••kA,+"•=0,从而ZAFM=乙BFN・ 综上可知: 恒有ZAFM=ZBFN 72 MS皿扣F—十需=72松刁=72<72=3品 3(齐一4)+163>/^r^4+-U^=~7 W-4 当且仅当3,/^777_J6即加2=空(此时适合△>()的条件)取得等号. \lm2-43 •••三角形ABF而积的最大值是3^3】。 【解析】: ⑴设椭圆方程为尹斧如方>0) d宀&22 则{41解得〈、所以椭圆方程—+—=1 1// (2)因为直线/平行于OM,且在y轴上的截距为川 沖斤以/的方程为: 由 1 =—x+m 2 82 =>x2+2mx+2nr-4=0 因为直线/与椭圆交于人3两个不同点, /.A=(2m)2一4(2〃『一4)>0,所以m的取值范围是[mI-2 (3)设直线MA.MB的斜率分别为gk-只要证明/+£=0即可 设A(xry}YB(x^y.)t则«=丄一^,&=丄丄 召_2■x2-2 由x2+2mx+2m2-4=0可得x}+x2=一2〃人x{x2=2nr一4 而宀=峯+勇丿踏T (春+川_1)也_2)+(卜2+加_1)3—2)_牡+W+2)3+勺)一4(加_1)-3_2)(勺_2)(x,-2)(x2-2) _2m2—4+(m+2)(-2/n)—4(/n-1) (X]-2)(*2-2) /.kl+k2=O故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。 -完整版学习资料分享-- 11解: (I)解: 由题设得< ••…WORD格式••可编辑••专业资料a=2c a+a+2c=6 cr=lr+c 解得: a=2、b=yf3,c=13分 22t 故C的方程为—+—=1.……5分离心率e=- 432 (2)直线F/的方程为y=V3(x+l)> 设点O关于宜线F"对称的点为M(Xo』o),则 QFl 所以点M的坐标为(--4) 3 ;(联立方程正确,可得分至8分)儿=T •••\PO\=\PM\,\PF2\+\PO\=\pf2\+\PMI>\MF2\, 10分 \PF2\+\po\的最小值为Imf21=J(一扌一1)2+(¥-0)2=J7 11分 旦。 直线的方程为y=点一(%-1) ---1 2 即y=_二(—1) J 12分 y=-—(x-Y)_ > y=V3(x+1) 2 x=一一 3 73 y=T 9行 所以此时点P的坐标为(-字? ) 14分 就⑴燙恋M鮭攝帥5y〉;P飽壘廉摄 •••PD-J鼬垂足为6 畑蘇的”值为2趣7・咖M的坐杠(呼•总尹虹 y 斤O •••自条件褂力・J2y.: 3分 •••jftP衣輿i+;・2上. .7 ••&+(屁*=2・ 於理纽手一/=! •6分 ⑵由C{的轨蓬方礙廉H・科是左個底•段右血点为幵皿标为0.0〉D : .|MA1+IMF)|-*2/? +[Af/\—|MF*102诲+\AFt|・1贞+73.9分 鱼A.H.M三点共&•且M花AFxJK长虬tth骸邹兮•1】分 锻“的我为”沪】.•代人弓+『=1(具中IV工vvN. 12
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