江苏省七市南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁届高三第二次调研联考二模数学试题及答案.docx
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江苏省七市南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁届高三第二次调研联考二模数学试题及答案
绝密★启用前
江苏省七市(南通泰州扬州徐州淮安连云港宿迁)
2020届高三毕业班第二次教学质量调研联考(二模)
数学试题
2020年4月
(满分160分,考试时间120分钟)
参考公式:
柱体的体积公式:
V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积,h为高.
锥体的体积公式:
V锥体=
Sh,其中S为锥体的底面积,h为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={1,4},B={a-5,7}.若A∩B={4},则实数a的值是________.
2.若复数z满足
=2+i,其中i是虚数单位,则z的模是________.
(第4题)
3.在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:
吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则该农作物的年平均产量是________吨.
4.如图是一个算法流程图,则输出S的值是________.
5.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:
在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头,甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是________.
6.在△ABC中,已知B=2A,AC=
BC,则A的值是________.
7.在等差数列{an}(n∈N*)中,若a1=a2+a4,a8=-3,则a20的值是________.
(第8题)
8.如图,在体积为V的圆柱O1O2中,以线段O1O2上的点O为顶点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1,V2,则
的值是________.
9.在平面直角坐标系xOy中,双曲线
-
=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若△APQ为直角三角形,则该双曲线的离心率是________.
10.在平面直角坐标系xOy中,点P在直线y=2x上,过点P作圆C:
(x-4)2+y2=8的一条切线,切点为T.若PT=PO,则PC的长是________.
11.若x>1,则2x+
+
的最小值是________.
12.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=ex在点P(x0,ex0)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点B(x0,0),△PAB的面积为3,则x0的值是________.
13.如图
(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图
(2)),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则
·
的值是________.
14.设函数f(x)=
若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(cosα,sinα),b=(cos(α+
),sin(α+
)),其中0<α<
.
(1)求(b-a)·a的值;
(2)若c=(1,1),且(b+c)∥a,求α的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,点P,Q分别为AB1,CC1的中点.求证:
(1)PQ∥平面ABC;
(2)PQ⊥平面ABB1A1.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
(x-3)2+y2=1,椭圆E:
+
=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上,右准线与圆C相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M,与椭圆E相交于另一点N.当AN=
AM时,求直线l的方程.
18.(本小题满分16分)
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:
先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D,E分别在边AB,AC上);再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设AD=x,DE=y1,AM=y2(单位:
百米).
(1)分别求y1,y2关于x的函数关系式;
(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.
19.(本小题满分16分)
若函数f(x)在x0处有极值,且f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的“F点”.
(1)设函数f(x)=kx2-2lnx(k∈R).
①当k=1时,求函数f(x)的极值;
②若函数f(x)存在“F点”,求k的值;
(2)已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0)存在两个不相等的“F点”x1,x2,且|g(x1)-g(x2)|≥1,求a的取值范围.
20.(本小题满分16分)
在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=
.设数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=-1,an+bn=-
Sn-1(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
数列
是等差数列;
(3)是否存在等差数列{cn},使得对任意n∈N*,都有Sn≤cn≤an?
若存在,求出所有符合题意的等差数列{cn};若不存在,请说明理由.
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2020届高三毕业班第二次教学质量调研联考(二模)
数学附加题
2020年4月
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修42:
矩阵与变换)
已知矩阵A=
的逆矩阵A-1=
.若曲线C1:
+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2,求曲线C2的方程.
B.(选修44:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,已知曲线C的方程为ρ=r(r>0),直线l的方程为ρcos(θ+
)=
.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=2
求r的值.
C.(选修45:
不等式选讲)
已知实数x,y,z满足
+
+
=2,求证:
+
+
≤
.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是
且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺维持营业,否则该店就停业.
(1)求发生调剂现象的概率;
(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.
23.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,
为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1},i=1,2,…,n.记范数为奇数的n维向量a的个数为An,这An个向量的范数之和为Bn.
(1)求A2和B2的值;
(2)当n为偶数时,求An,Bn(用n表示).
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2020届高三毕业班第二次教学质量调研联考(二模)
数学试题参考答案
2020年4月
1.9 2.
3.10 4.
5.
6.
7.-15 8.
9.2 10.
11.8 12.ln613.
14.(-∞,1)
15.解:
(1)因为向量a=(cosα,sinα),b=(cos(α+
),sin(α+
)),
所以(b-a)·a=a·b-a2(2分)
=cosαcos(α+
)+sinαsin(α+
)-(cos2α+sin2α)(4分)
=cos(-
)-1=
-1.(6分)
(2)因为c=(1,1),所以b+c=(cos(α+
)+1,sin(α+
)+1).
因为(b+c)∥a,所以[cos(α+
)+1]sinα-[sin(α+
)+1]cosα=0.(9分)
于是sinα-cosα=sin(α+
)cosα-cos(α+
)sinα,
从而
sin(α-
)=sin
即sin(α-
)=
.(12分)
因为0<α<
所以-
<α-
<
于是α-
=
即α=
.(14分)
16.证明:
(1)取AB的中点D,连结PD,CD.
在△ABB1中,因为点P,D分别为AB1,AB中点,
所以PD∥BB1,且PD=
BB1.
在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1∥BB1,CC1=BB1.
因为点Q为棱CC1的中点,所以CQ∥BB1,且CQ=
BB1.(3分)
于是PD∥CQ,PD=CQ.
所以四边形PDCQ为平行四边形,从而PQ∥CD.(5分)
因为CD⊂平面ABC,PQ⊄平面ABC,所以PQ∥平面ABC.(7分)
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC.
又CD⊂平面ABC,所以BB1⊥CD.
因为CA=CB,点D为AB中点,所以CD⊥AB.(10分)
由
(1)知CD∥PQ,所以BB1⊥PQ,AB⊥PQ.(12分)
因为AB∩BB1=B,AB⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,
所以PQ⊥平面ABB1A1.(14分)
17.解:
(1)记椭圆E的焦距为2c(c>0).
因为右顶点A(a,0)在圆C上,右准线x=
与圆C:
(x-3)2+y2=1相切,
所以
解得
于是b2=a2-c2=3,
所以椭圆E的方程为
+
=1.(4分)
(2)(解法1)设N(xN,yN),M(xM,yM),
显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).
由方程组
消去y,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
所以xN·2=
解得xN=
.(6分)
由方程组
消去y,得(k2+1)x2-(4k2+6)x+4k2+8=0,
所以xM·2=
解得xM=
.(8分)
因为AN=
AM,所以2-xN=
(xM-2),(10分)
即
=
·
解得k=±1.(12分)
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)
(解法2)设N(xN,yN),M(xM,yM),当直线l与x轴重合时,不符题意.
设直线l的方程为x=ty+2(t≠0).
由方程组
消去x,得(3t2+4)y2+12ty=0,所以yN=
.(6分)
由方程组
消去x,得(t2+1)y2-2ty=0,所以yM=
.(8分)
因为AN=
AM,所以yN=-
yM.(10分)
即
=-
·
,解得t=±1.(12分)
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)
18.解:
(1)因为S△ADE=
S△ABC,△ABC是边长为3的等边三角形,又AD=x,
所以
AD·AE·sin
=
(
×32×sin
),所以AE=
.(2分)
由
得2≤x≤3.
(解法1)在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cos
=x2+
-6.
所以,直道DE的长度y1关于x的函数关系式为y1=
,x∈[2,3].(6分)
在△ADM和△AEM中,由余弦定理得AD2=DM2+AM2-2DM·AM·cos∠AMD ①,
AE2=EM2+AM2-2EM·AM·cos(π-∠AM
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