八年级数学竞赛例题专题讲解21梯形.docx
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八年级数学竞赛例题专题讲解21梯形
专题21梯形
阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形,梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是:
通过适当添加辅助线,把梯形转化为三角形或平行四边形,常见的辅助线的方法有:
(1)过一个顶点作一腰的平行线(平移腰);
(2)过一个顶点作一条对角线的平行线(平移对角线);
(3)过较短底的一个顶点作另一底的垂线;
(4)延长两腰,使它们的延长线交于一点,将梯形还原为三角形.
如图所示:
例题与求解
【例1】如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,AD和CD的长度分别为
,
,那么AB的长是___________.(荆州市竞赛试题)
解题思路:
平移一腰,构造平行四边形、特殊三角形.
【例2】如图1,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形.
(1)求四边形ABCD四个内角的度数;
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系,并说明理由;
(3)现有图1中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?
若能,请你画出大致的示意图.
(山东省中考试题)
解题思路:
对于
(1)、
(2),在观察的基础上易得出结论,探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系,从作出梯形的常见辅助线入手;对于(3),在
(2)的基础上,展开想象的翅膀,就可设计出若干种图形.
【例3】如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,且AC⊥BD,AF是梯形的高,梯形的面积是49cm2,求梯形的高.
(内蒙古自治区东四盟中考试题)
解题思路:
由于题目条件中涉及对角线位置关系,不妨从平移对角线入手.
【例4】如图,在等腰梯形ABCD中,AB//DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,问:
满足条件∠BPC=900的点P有多少个?
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:
根据AB+DC=AD这一关系,可以在AD上取点构造等腰三角形.
【例5】如图,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=600,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点.
(1)求证:
△PQS是等边三角形;
(2)若AB=5,CD=3,求△PQS的面积;
(3)若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7:
8,求梯形上、下两底的比CD:
AB.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:
多个中点给人以广泛的联想:
等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
【例6】如图,分别以△ABC的边AC和BC为一边,在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:
点P到边AB的距离是AB的一半.
(山东省竞赛试题)
解题思路:
本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质.关键是要构造能运用条件EP=PF的图形.
能力训练
A级
1.等腰梯形中,上底:
腰:
下底=1:
2:
3,则下底角的度数是__________.
(天津市中考试题)
2.如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE,连接AE,则△ADE的面积为______________.(宁波市中考试题)
3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,∠A=
,∠1=∠2,且梯形的周长为30cm,则这个等腰梯形的腰长为______________.
4.如图,梯形ABCD中,AD//BC,EF是中位线,G是BC边上任一点,如果
,那么梯形ABCD的面积为__________.(成都市中考试题)
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直,则梯形的高
和中位线的长
之间的关系是()
A.
>
B.
=
C.
<
D.无法确定
6.梯形ABCD中,AB//DC,AB=5,BC=
,∠BCD=
,∠CDA=
,则DC的长度是()
A.
B.8C.
D.
E.
(美国高中考试题)
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AC=BC+AD,则∠DBC的度数是()
A.300B.450C.600D.900
(陕西省中考试
8.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为()
A.
B.
C.
D.3
(鄂州市中考试题)
9.如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,点P为BC边上一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E,F,G.求证:
PE+PF=BG.
(哈尔滨市中考试题)
10.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E,F分别为AB,AC中点,BD与EF相交于G.
求证:
.
11.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,CE⊥BF于点O.
求证:
(1)四边形EBCF是等腰梯形;
(2)
.(深圳市中考试题)
12.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=
.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=
.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由.
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的
的值;若不存在,请说明理由.(江西省中考试题)
B级
1.如图,在梯形ABCD中,AB//DC,AD=BC,AB=10,CD=4,延长BD到E,使DE=DB,作
EF⊥AB交BA的延长线于点F,则AF=__________.
(山东省竞赛试题)
2.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=10cm,AC与BD相交于G,且∠AGD=
,设E为CG中点,F是AB中点,则EF长为_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
3.用四条线段:
作为四条边,构成一个梯形,则在所构成的梯形中,中位线的长的最大值为_________.(湖北赛区选拔赛试题)
4.如图,梯形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O点,且AO:
CO=3:
2,则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为
_________.(安徽省中考试题)
第4题图第5题图第6题图
5.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,若△DEC的面积为S,则四边形ABCD的面积为()
A.
B.2SC.
D.
(重庆市竞赛试题)
6.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=
,∠C=
,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,
DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF的值为()
A.4B.
C.5D.6
(全国初中数学联赛试题)
7.如图,梯形ABCD中,AB//DC,E是AD的中点,有以下四个命题:
①若AB+DC=BC,则∠BEC=
;②若∠BEC=
,则AB+DC=BC;③若BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=
;
④若AB+DC=BC,则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(重庆市竞赛试题)
8.如图,四边形ABCD是一梯形,AB//CD,∠ABC=
,AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M是AD的中点,从M作AD的垂线交BC于N,则BN的长等于()
A.1cmB.1.5cmC.2cmD.2.5cm
(“希望杯”邀请赛试题)
9.如图,在梯形ABCD中,AB//DC,M是腰BC的中点,MN⊥AD.求证:
(山东省竞赛试题)
10.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,分别以两腰AB,CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF,设线段AD的垂直平分线
交线段EF于点M.求证:
点M为EF的中点.
(全国初中数学联赛试题)
11.已知一个直角梯形的上底是3,下底是7,且两条对角线的长都是整数,求此直角梯形的面积.
(“东方航空杯”上海市竞赛试题)
12.如图1,平面直角坐标系中,反比例函数
的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点(
)交AB于E,AB=12,四边形OEBF的面积为16.
(1)求
值.
(2)已知
,点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动,点Q从C同时出发,以1.5cm/s的速度沿CO,OA,AB向B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,经过多少时间,四边形PQCB为等腰梯形(如图2).
(3)在
(2)条件下,在梯形PQCB内是否有一点M,使过M且与PB,CQ分别交于S,T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分,若存在,请写出点M的坐标及CM的长度;若不存在,请说明理由.
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- 八年 级数 竞赛 例题 专题 讲解 21 梯形