高考冲刺 集合与逻辑.docx

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高考冲刺集合与逻辑

高考冲刺集合与逻辑

【高考展望】

集合与常用逻辑用语是高考的必考内容，多为选择题或填空题，难度不大.集合命题以集合的基本运算，尤其是交集与补集的运算为主；常用逻辑用语多与函数、三角、数列、不等式等知识综合进行命题，难度不大，命题比较分散，命题的四种形式、充要条件的判断、含有逻辑联结词的命题的判断以及含量词的命题等考点均有涉及.

【知识升华】

一、集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{（1,2）}与{1,2}；

②AB时，A有两种情况：

A＝φ与A≠φ。

③若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1,所有非空真子集的个数是

④区分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

、和的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。

二、常用逻辑用语

1．命题

命题：

可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：

“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：

不含逻辑联结词的命题。

复合命题：

由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：

p或q；p且q；非p。

2．复合命题的真值

“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

非p

真

假

假

真

“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

q

p且q

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

q

P或q

真

真

真

真

假

真

假

真

真

假

假

假

注：

1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：

“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

3．四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

4．充要条件

一般地，如果已知p⇒q，那么就说：

p是q的充分条件；q是p的必要条件。

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：

pq.“”叫做等价符号。

pq表示p⇒q且q⇒p。

这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

5．全称命题与特称命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

【典型例题】

类型一、集合概念

例1.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）

A．P　　B．QC．　D．不知道

【思路点拨】类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．

【答案】B

【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．

例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={（x，y）|y=x2,x∈R}，则必有（）

A．P∩Q=　B．PQC．P=QD．PQ

【思路点拨】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．

【答案】A

【解析】正确解法应为：

P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．

举一反三：

【变式】若，则=（）

A．{3}B．{1}C．D．{－1}

【答案】D．

【解析】

类型二、集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例3.已知集合A={,＋b,＋2b}，B={,c,c2}．若A=B，则c的值是______．

【思路点拨】要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

【解析】分两种情况进行讨论．

（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：

＋c2－2c=0，

=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．

∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：

2c2－c－=0，

∵≠0，∴2c2－c－1=0，即（c－1）（2c＋1）=0，又c≠1，故c=－．

【总结升华】解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．

举一反三：

【变式】已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．

【思路点拨】由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．

【解析】∵A∪B=A，

∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．

若B=，则令△<0得∈；

若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；

若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．

综上的值为2或3．

【总结升华】本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

类型三、集合的关系与运算

例4.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．

【思路点拨】

【解析】任设∈A，则=3n＋2=3（n＋1）－1（n∈Z），

∴n∈Z,∴n＋1∈Z.∴∈B,故．　　　①

又任设b∈B，则b=3k－1=3（k－1）＋2（k∈Z）,

∵k∈Z,∴k－1∈Z.∴b∈A，故　　　②

由①、②知A=B．

【总结升华】这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．

举一反三：

【变式】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．

（）若，求；

（）若，求正数的取值范围．

【思路点拨】先解不等式求得集合和．

【解析】（）由，得．

（）．

由，得，又，所以，

即的取值范围是．

例5.设集合,则满足的集合B的个数是（）

A.1B.3C.4D.8

【解析】，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.

【总结升华】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.

例6.设全集U={x|0

【思路点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

【解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

【总结升华】类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．

类型四、空集的特殊性

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例7.已知集合A={x|x2＋（m＋2）x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．

【思路点拨】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋（m＋2）x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．

【解析】由A∩=又方程x2＋（m＋2）x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，

或△=（m＋2）2－4<0．解得m≥0或－4－4．

【总结升华】此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．

例8.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．

【解析】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．

欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3．

上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．

应有：

①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．

由BA得：

－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴2≤p≤3.

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．

由①、②得：

p≤3．

点评：

从以上解答应看到：

解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

类型五、集合的新定义问题

例9.已知函数的定义域为实数集,满足（是的非空真子集）,在上有两个非空真子集,且,则的值域为（）

A．B．C．D．

【思路点拨】首先根据定义准确理解“”，根据集合所满足的条件分析元素与各个集合之间的关系，然后根据定义分别求出、以及的值，然后代入的表达式中求值.

【答案】B

【解析】因为，，实数与集合、、的关系共有三种：

（1），则必有，又因为，故，根据定义得；

（2