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随机过程B卷及答案
河北科技大学2012——2013学年第一学期
《应用随机过程》试卷(B)
学院理学院班级姓名学号
题号
一
二
总分
得分
得分
一.概念简答题(每题5分,共40分)
1.设随机变量相互独立且服从同一正态分布,试求的分布。
2.设更新过程的更新时间距的概率密度函数为
求证:
均值函数,并求其更新强度。
3.简述Poisson过程的随机分流定理
4.简述Markov链与Markov性质的概念
5.简述Markov状态分解定理
6.简述HMM要解决的三个主要问题
7.已知随机过程,其中为随机变量,服从正态分布。
(1)按物理结构分,属哪一类随机过程;
(2)按概率结构分,又属哪一类随机过程。
8.什么是时齐的独立增量过程?
得分
二.综合题(每题10分,共60分)
1.设随机过程,其中是服从区间上均匀分布随机变量,试证:
(1)当时,为平稳序列。
(2)当时,不是平稳过程。
2.已知随机变量Y的密度函数为而且,在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为试求随机变量X和Y的联合分布密度函数.
3.二阶矩过程的相关函数为
此过程是否均方连续、均方可微,若可微,则求和。
4.如果是取整数值且相互独立的随机序列。
(1)试证是马尔可夫链,在什么条件下是其次的?
(2)设,试证是齐次马尔可夫链,指出其状态空间,并求其一步转移概率。
5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重量为5000kg的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障部超载的概率大于0.9772.
6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵P=,试画出状态传递图,对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。
河北科技大学2012——2013学年第一学期
《应用随机过程》试卷(B)答案
一.概念简答题(每题5分,共40分)
1.设随机变量相互独立且服从同一正态分布,试求的分布。
答:
由可知
由于相互独立,根据特征函数的性质可得,的特征函数为
上式即为正态分布的特征函数,所以有唯一性可知
2.设更新过程的更新时间距的概率密度函数为
求证:
均值函数,并求其更新强度。
答:
因为更新间距,故更新时刻,其概率密度函数与分布函数分别为
注:
3简述Poisson过程的随机分流定理
答:
设为强度为的poisson过程,如果把其相应的指数流看成顾客流,用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客,归入第一类,而以概率1-p把他归入第二类。
对i=1,2,记为t前到达的第i类顾客数,那么分别为强度为p与(1-p)的poisson过程,而且这两个过程相互独立。
4简述Markov链与Markov性质的概念
答:
如果随机变量是离散的,而且对于及任意状态
,该随机序列为Markov链,该对应的性质为Markov性质。
5.简述Markov状态分解定理
答:
(1)Markov链的状态空间S可惟一分解为,其中T为暂态的全体,而为等价常返类。
(2)若Markov链的初分布集中在某个常返类上,则此Markov链概率为1地永远在此常返类中,也就是说,它也可以看成状态空间为的不可约Markov链。
6.简述HMM要解决的三个主要问题
答:
(1)从一段观测序列及已知的模型出发,估计的最佳值,称为解码问题。
这是状态估计的问题。
(2)从一段观测序列出发,估计模型参数组,称为学习问题。
这是参数估计问题。
(3)对于一个特定的观测链,已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测,要决定此观测究竟是得自于哪一个模型,这称为识别问题,就是分类问题。
7.已知随机过程,其中为随机变量,服从正态分布。
(1)按物理结构分,属哪一类随机过程;
(2)按概率结构分,又属哪一类随机过程。
答:
(1)因为随机过程的参数空间为连续集合,而服从正态分布,亦在上取值,即的状态空间为连续集合,故此随机过程属于参数空间为连续集,状态空间为连续集的随机过程。
(2)因为,所以为二阶矩过程。
由于服从正态分布,中任意多个随机变量的线性组合服从正态分布,故服从维正态分布,所以还是正态随机过程。
8.什么是时齐的独立增量过程?
答:
称随机过程{:
t0}为独立增量过程,如果对于起始随机变量及其后的增量是相互独立的随机变量组;如果的分布不依赖于s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
二.综合题(每题10分,共60分)
1.设随机过程,其中是服从区间上均匀分布随机变量,试证:
(1)当时,为平稳序列。
(2)当时,不是平稳过程。
证:
(1)当参数空间为时
(1分)
当时,
当与不全为零时,有
即只与有关。
(2分)
,即
故当时,为平稳序列。
(2分)
(2)当参数空间为时,由于
(5分)
为的函数,不是常数,故当时,不是平稳过程。
2.已知随机变量Y的密度函数为而且,在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为试求随机变量X和Y的联合分布密度函数.
答:
=(5分)
=(5分)
3.二阶矩过程的相关函数为
此过程是否均方连续、均方可微,若可微,则求和。
答:
由对称性知,存在且等于,显然在任意点上连续,故广义二阶可微,即是均方可微的随机过程,从而均方连续。
(5分)
(5分)
4.如果是取整数值且相互独立的随机序列。
(1)试证是马尔可夫链,在什么条件下是其次的?
(2)设,试证是齐次马尔可夫链,指出其状态空间,并求其一步转移概率。
答:
(1)是独立随机变量序列,故为马尔可夫过程,其状态集
,所以是马尔可夫链。
其一步转移转移概率
与有关,所以一般情况下是非齐次马尔科夫链,仅当与绝对时刻无关,即同分布时,为齐次马尔可夫链。
(5分)
(2)为独立增量的随机过程,状态集,故为马尔科夫链,一步转移概率
与绝对时间无关,故是齐次马尔科夫链。
(5分)
5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重量为5000kg的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障部超载的概率大于0.9772.
答:
记表示第箱的重量,则独立同分布,且
设汽车可装箱符合要求,即
而
根据列维中心极限定理可知
(5分)于是
,而,故
所以
解得
(5分)
即每辆车最多可装98箱。
6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵P=,试画出状态传递图,对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。
答:
因为对一切从而知道状态4是非常返态。
(1分)
从而知道状态3也是非常返态。
(1分)
而(2分)
(2分)
所以状态1和状态2都是常返态。
又由于
(2分)
而其周期均为1,故状态1与状态2是正常返态,且为遍历态。
(2分)
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