中小学资料七年级数学下册 94 乘法公式同步练习4 新版苏科版.docx
- 文档编号:7976148
- 上传时间:2023-01-27
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:121.31KB
中小学资料七年级数学下册 94 乘法公式同步练习4 新版苏科版.docx
《中小学资料七年级数学下册 94 乘法公式同步练习4 新版苏科版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中小学资料七年级数学下册 94 乘法公式同步练习4 新版苏科版.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中小学资料七年级数学下册94乘法公式同步练习4新版苏科版
9.4乘法公式
一.选择题
1.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
2.若x2+4x﹣4=0,则3(x﹣2)2﹣6(x+1)(x﹣1)的值为( )
A.﹣6B.6C.18D.30
3.若x2+
mx+k是一个完全平方式,则k等于( )
A.m2B.
m2C.
m2D.
m2
4.下列运算正确的是( )
A.a2+3a2=4a4B.3a2•a=3a3C.(3a3)2=9a5D.(2a+1)2=4a2+1
5.计算(2x+1)(x﹣1)﹣(x2+x﹣2)的结果,与下列哪一个式子相同?
( )
A.x2﹣2x+1B.x2﹣2x﹣3C.x2+x﹣3D.x2﹣3
6.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )
A.x2+9B.x2﹣6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9
7.下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3abB.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
8.下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.(x﹣y)2=x2﹣2xy﹣y2
C.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1D.(x﹣1)2=x2﹣1
二.填空题
9.若a+b=3,ab=2,则(a﹣b)2= .
10.已知a+b=8,a2b2=4,则
﹣ab= .
11.如果x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是 .
12.观察下列各式的规律:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
…
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)= .
13.观察下列等式:
1+2+3+4+…+n=
n(n+1);
1+3+6+10+…+
n(n+1)=
n(n+1)(n+2);
1+4+10+20+…+
n(n+1)(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3);
则有:
1+5+15+35+…
n(n+1)(n+2)(n+3)= .
14.已知x2+x﹣5=0,则代数式(x﹣1)2﹣x(x﹣3)+(x+2)(x﹣2)的值为 .
15.若(7x﹣a)2=49x2﹣bx+9,则|a+b|= .
16.已知(a+b)2=7,(a﹣b)2=4,则ab的值为 .
17.已知2a2+2b2=10,a+b=3,则ab= .
18.若(m﹣2)2=3,则m2﹣4m+6的值为 .
19.观察下列各式及其展开式:
(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
(a﹣b)3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3
(a﹣b)4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4
(a﹣b)5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…
请你猜想(a﹣b)10的展开式第三项的系数是 .
20.图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是 .
21.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的交点上,若灰色三角形面积为
,则方格纸的面积为 .
22.仔细观察杨辉三角系数表,按规律写出(a+b)4展开式所缺的系数:
(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+ a2b2+4ab3+b4.
23.已知(2017﹣a)2+(2016﹣a)2=1,则(2017﹣a)(2016﹣a)= .
24.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;系数和为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;
(a+b)3=a3+3a2b+2ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;…,
则(a+b)n的展开式共有 项,系数和为 .
25.请看杨辉三角
(1),并观察下列等式
(2):
根据前面各式的规律,则(a+b)6的第三项的系数为 .
26.我们已经学过用面积来说明公式,如(x+y)2=x2+2xy+y2就可以用如图甲中的面积来说明,请写出图乙的面积所说明的公式:
(p+x)(q+x)= .
27.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则拼得的长方形的周长为 cm.(用含a的代数式表示)
三.解答题
28.在一次数学课上,李老师对大家说:
“你任意想一个非零数,然后按下列步骤操作,我会直接说出你运算的最后结果.”
操作步骤如下:
第一步:
计算这个数与1的和的平方,减去这个数与1的差的平方;
第二步:
把第一步得到的数乘以25;
第三步:
把第二步得到的数除以你想的这个数.
(1)若小明同学心里想的是数9.请帮他计算出最后结果.
[(9+1)2﹣(9﹣1)2]×25÷9
(2)老师说:
“同学们,无论你们心里想的是什么非零数,按照以上步骤进行操作,得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论,于是,设心里想的数是a(a≠0).请你帮小明完成这个验证过程.
29.已知4x=3y,求代数式(x﹣2y)2﹣(x﹣y)(x+y)﹣2y2的值.
30.阅读与观察:
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,如图1的“杨辉三角”就是其中的一例.杨辉,字谦光,南宋时期杭州人,在他所著的《详解九章算法》艺术中,揖录了如图1所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,经观察研究发现,在两腰上的数位1的前提下,杨辉三角有许多重要的特点,例如:
每个数都等于它上方两数之和等等.
如图2,某同学发现杨辉三角给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等.
(1)通过观察,请你写出杨辉三角具有的任意两个特点;(阅读材料中的特点除外)
(2)计算:
993+3×992+3×99+1;
(3)请你直接写出(a+b)4的展开式.
参考答案与试题解析
一.选择题
1.(2016•威海)下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
【分析】A、原式不能合并,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断;
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
A、原式不能合并,错误;
B、原式=a7,错误;
C、原式=x6÷x5=x,错误;
D、原式=﹣xy,正确.
故选D.
【点评】此题考查了整数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(2016•临夏州)若x2+4x﹣4=0,则3(x﹣2)2﹣6(x+1)(x﹣1)的值为( )
A.﹣6B.6C.18D.30
【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式化简,去括号整理后,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:
∵x2+4x﹣4=0,即x2+4x=4,
∴原式=3(x2﹣4x+4)﹣6(x2﹣1)=3x2﹣12x+12﹣6x2+6=﹣3x2﹣12x+18=﹣3(x2+4x)+18=﹣12+18=6.
故选B
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.若x2+
mx+k是一个完全平方式,则k等于( )
A.m2B.
m2C.
m2D.
m2
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值.
【解答】解:
∵x2+
mx+k是一个完全平方式,
∴k=
m2,
故选D
【点评】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
4.下列运算正确的是( )
A.a2+3a2=4a4B.3a2•a=3a3C.(3a3)2=9a5D.(2a+1)2=4a2+1
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法法则,积的乘方的性质,完全平方公式,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、错误,应等于4a2;
B、3a2.a=3a3,正确;
C、错误,应等于9a6;
D、错误,应等于4a2+4a+1.
故选B.
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法,积的乘方的性质,完全平方公式,熟练掌握法则、性质和公式并灵活运用是解题的关键.
5.(2016•台湾)计算(2x+1)(x﹣1)﹣(x2+x﹣2)的结果,与下列哪一个式子相同?
( )
A.x2﹣2x+1B.x2﹣2x﹣3C.x2+x﹣3D.x2﹣3
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,即可作出判断.
【解答】解:
(2x+1)(x﹣1)﹣(x2+x﹣2)
=(2x2﹣2x+x﹣1)﹣(x2+x﹣2)
=2x2﹣x﹣1﹣x2﹣x+2
=x2﹣2x+1,
故选A
【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
6.(2016•武汉)运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )
A.x2+9B.x2﹣6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9
【分析】根据完全平方公式,即可解答.
【解答】解:
(x+3)2=x2+6x+9,
故选:
C.
【点评】本题考查了完全平方公式,解决本题的关键是熟记完全平方公式.
7.(2016•苏州)下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3abB.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.
【解答】解:
A、a+2b,无法计算,故此选项错误;
B、3a2﹣2a2=a2,故此选项错误;
C、a2•a4=a6,故此选项错误;
D、(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b,故此选项正确;
故选:
D.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识,正确把握相关定义是解题关键.
8.(2016•怀化)下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.(x﹣y)2=x2﹣2xy﹣y2
C.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1D.(x﹣1)2=x2﹣1
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案.
【解答】解:
A、(x+y)2=x2+y2+2xy,故此选项错误;
B、(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,故此选项错误;
C、(x+1)(x﹣1)=x2﹣1,正确;
D、(x﹣1)2=x2﹣2x+1,故此选项错误;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式,正确应用乘法公式是解题关键.
二.填空题
9.(2016•巴中)若a+b=3,ab=2,则(a﹣b)2= 1 .
【分析】将a+b=3两边平方,利用完全平方公式化简,将ab的值代入求出a2+b2的值,所求式子利用完全平方公式展开,将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解:
将a+b=3平方得:
(a+b)2=a2+2ab+b2=9,
把ab=2代入得:
a2+b2=5,
则(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=5﹣4=1.
故答案为:
1
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
10.(2016•雅安)已知a+b=8,a2b2=4,则
﹣ab= 28或36 .
【分析】根据条件求出ab,然后化简
﹣ab=
﹣2ab,最后代值即可.
【解答】解:
﹣ab=
﹣ab=
﹣ab﹣ab=
﹣2ab
∵a2b2=4,
∴ab=±2,
①当a+b=8,ab=2时,
﹣ab=
﹣2ab=
﹣2×2=28,
②当a+b=8,ab=﹣2时,
﹣ab=
﹣2ab=
﹣2×(﹣2)=36,
故答案为28或36.
【点评】此题是完全平方公式,主要考查了完全平方公式的计算,平方根的意义,解本题的关键是化简原式,难点是求出ab.
11.(2016•南充)如果x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是 1 .
【分析】先根据两平方项确定出这两个数,即可确定n的值.
【解答】解:
∵x2+mx+1=(x±1)2=(x+n)2,
∴m=±2,n=±1,
∵m>0,
∴m=2,
∴n=1,
故答案为:
1.
【点评】本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式对解题非常重要.
12.(2016•百色)观察下列各式的规律:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4
…
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)= a2017﹣b2017 .
【分析】根据已知等式,归纳总结得到一般性规律,写出所求式子结果即可.
【解答】解:
(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;
(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3;
(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4;
…
可得到(a﹣b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)=a2017﹣b2017,
故答案为:
a2017﹣b2017
【点评】此题考查了平方差公式,以及多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.
13.(2016•恩施州)观察下列等式:
1+2+3+4+…+n=
n(n+1);
1+3+6+10+…+
n(n+1)=
n(n+1)(n+2);
1+4+10+20+…+
n(n+1)(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3);
则有:
1+5+15+35+…
n(n+1)(n+2)(n+3)=
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) .
【分析】根据已知等式发现分母依次乘以2、乘以3、乘以4,据此作答即可.
【解答】解:
∵1+2+3+4+…+n=
n(n+1)=
n(n+1);
1+3+6+10+…+
n(n+1)=
n(n+1)(n+2)=
n(n+1)(n+2);
1+4+10+20+…+
n(n+1)(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3)=
n(n+1)(n+2)(n+3),
∴1+5+15+35+…
n(n+1)(n+2)(n+3)=
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),
故答案为:
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).
【点评】本题主要考查数字的变化规律,由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键.
14.(2016•西宁)已知x2+x﹣5=0,则代数式(x﹣1)2﹣x(x﹣3)+(x+2)(x﹣2)的值为 2 .
【分析】先利用乘法公式展开,再合并得到原式=x2+x﹣3,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:
原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
=x2+x﹣3,
因为x2+x﹣5=0,
所以x2+x=5,
所以原式=5﹣3=2.
故答案为2.
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值:
先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
15.若(7x﹣a)2=49x2﹣bx+9,则|a+b|= 45 .
【分析】先将原式化为49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9,再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组,求出a、b的值代入即可.
【解答】解:
∵(7x﹣a)2=49x2﹣bx+9,
∴49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9,
∴﹣14a=﹣b,a2=9,
解得a=3,b=42或a=﹣3,b=﹣42.
当a=3,b=42时,|a+b|=|3+42|=45;
当a=﹣3,b=﹣42时,|a+b|=|﹣3﹣42|=45.
故答案为45.
【点评】本题是一个基础题,考查了完全平方公式以及代数式的求值,要熟练进行计算是解此题的关键.
16.已知(a+b)2=7,(a﹣b)2=4,则ab的值为
.
【分析】分别展开两个式子,然后相减,即可求出ab的值.
【解答】解:
(a+b)2=a2+2ab+b2=7,(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=4,
则(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab=3,
ab=
.
故答案为:
.
【点评】本题主要考查完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.
17.已知2a2+2b2=10,a+b=3,则ab= 2 .
【分析】根据完全平方公式,即可解答.
【解答】解:
∵2a2+2b2=10,
∴a2+b2=5,
∵a+b=3,
∴(a+b)2=9,
∴a2+2ab+b2=9,
∴5+2ab=9,
∴2ab=4,
∴ab=2,
故答案为:
2.
【点评】本题考查了完全平方公式,解决本题的关键是熟记完全平方公式.
18.若(m﹣2)2=3,则m2﹣4m+6的值为 5 .
【分析】原式配方变形后,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:
∵(m﹣2)2=3,
∴原式=m2﹣4m+4+2=(m﹣2)2+2=3+2=5,
故答案为:
5
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
19.观察下列各式及其展开式:
(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
(a﹣b)3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3
(a﹣b)4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4
(a﹣b)5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…
请你猜想(a﹣b)10的展开式第三项的系数是 45 .
【分析】根据各式与展开式系数规律,确定出所求展开式第三项系数即可.
【解答】解:
根据题意得:
第五个式子系数为1,6,15,20,15,6,1,
第六个式子系数为1,7,21,35,35,21,7,1,
第七个式子系数为1,8,28,56,70,56,28,8,1,
第八个式子系数为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,
第九个式子系数为1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,
则(a﹣b)10的展开式第三项的系数是45,
故答案为:
45.
【点评】此题考查了完全平方公式,弄清题中的规律是解本题的关键.
20.图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是 (a﹣b)2 .
【分析】先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案.
【解答】解:
∵图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,
∴正方形的边长为:
a+b,
∵由题意可得,正方形的边长为(a+b),
∴正方形的面积为(a+b)2,
∵原矩形的面积为4ab,
∴中间空的部分的面积=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2.
故答案为(a﹣b)2.
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景,求出正方形的边长是解答本题的关键.
21.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的交点上,若灰色三角形面积为
,则方格纸的面积为 12 .
【分析】设每个方格的边长为x,根据题意表示出灰色三角形面积,将已知面积代入求出x的值,即可确定出方格纸面积.
【解答】解:
可设每个方格的边长为x,
根据题意得:
(4x)2﹣
•2x•3x﹣
•x•4x﹣
•2x•4x=
,
整理得:
x2=
,
则方格纸的面积为
×16=12.
故答案为:
12.
【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.仔细观察杨辉三角系数表,按规律写出(a+b)4展开式所缺的系数:
(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+ 6 a2b2+4ab3+b4.
【分析】根据杨辉三角,下一行的系数是上一行相邻两系数的和,然后写出各项的系数即可.
【解答】解:
∵(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
∴(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
故答案为:
6.
【点评】本题考查了完全平方公式,能发现(a+b)n展开后,各项是按a的降幂排列的,系数依次是从左到右(a+b)n﹣1系数之和.它的两端都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.
23.(2016秋•大石桥市校级期末)已知(2017﹣a)2+(2016﹣a)2=1,则(2017﹣a)(2016﹣a)= 0 .
【分析】将已知等式根据x2+y2=(x﹣y)2+2xy变形可得.
【解答】解:
∵(2017﹣a)2+(2016﹣a)2=1,
∴[(2017﹣a)﹣(2016﹣a)]2+2(2017﹣a)(2016﹣a)=1,
即1+2(2017﹣a)(2016﹣a)=1,
∴2(2017﹣a)(2016﹣a)=0,
∴(2017﹣a)(2016﹣a)=0,
故答案为:
0.
【点评】本题主要考查完全平方公式,熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键.
24.(2016春•怀柔区期末)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;系数和为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;
(a+b)3=a3+3a2b+2ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;…,
则(a+b)n的展开式共有 n+1 项,系数和为 2n .
【分析】本题通过阅读理解寻找规律,观察可得(a+b)n(n为非负整数)展开式的各项系数的规律:
首尾两项系数都是1,中间各项系数等于(a+b)n﹣1相邻两项的系数和.
【解答】解:
展开式共有n+1项,系数和为2n.
故答案为:
n+1,2n.
【点评】本题考查了完全平方公式,关键在于观察、分析已知数据,寻找它们之
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中小学资料七年级数学下册 94 乘法公式同步练习4 新版苏科版 中小学 资料 七年 级数 下册 乘法 公式 同步 练习 新版 苏科版