11全国大学生数学建模竞赛C1223.docx
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11全国大学生数学建模竞赛C1223
C题之二(全国二等奖)
雨量预报方法的评价
参赛学校:
广西大学梧州分校参赛学生:
易英群、林月华、黄俊巍
指导老师:
数模组
摘要
本文主要研究的是在已知雨量预报数值和实测数值的情况下,如何建立一个数学模型来评价这两种雨量预报方法的准确性的问题。
通过建立两种不同的模型:
用散乱数据插值法从91个实测的数据中,拟合出等距网格点的实际拟合值,建立模型一;用实测的加权平均值法建立模型二。
通过MATLAB软件编程运算,可得出:
两种预测效果都比较准确,但第一种的预报方法较第二种更为准确。
对于在评价方法中考虑公众的感受,我们对雨量进行划分级别分析,可得知影响公众感受的最大因素是雨量预报值与实测值的级差(抱怨度),即级差越大,则公众对此次预报的抱怨度越大;反之,级差越小,则公众对此次预报的抱怨度越小;若级差为零,则预测准确,公众没有抱怨。
关键词:
降雨量散乱数据插值加权平均值拟合均差抱怨度
一问题重述:
雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用,但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题,广受世界各国关注。
我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法,即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段(21点至次日3点,次日3点至9点,9点至15点,15点至21点)在某些位置的雨量,这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。
同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量,由于各种条件的限制,站点的设置是不均匀的。
气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。
气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。
预报数据在文件夹FORECAST中,实测数据在文件夹MEASURING中,其中的文件都可以用Windows系统的“写字板”程序打开阅读。
FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分别包含网格点的经纬度,其余文件名为
MEASURING中包含了41个名为<日期>.SIX的文件,如020618.SIX表示2002年6月18日晚上21点开始的连续4个时段各站点的实测数据(雨量),这些文件的数据格式是:
站号纬度经度第1段第2段第3段第4段
5813832.9833118.51670.00000.200010.10003.1000
5813933.3000118.85000.00000.00004.60007.4000
5814133.6667119.26670.00000.00001.10001.4000
5814333.8000119.80000.00000.00000.00001.8000
5814633.4833119.81670.00000.00001.50001.9000
……
雨量用毫米做单位,小于0.1毫米视为无雨。
(1)请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性;
(2)气象部门将6小时降雨量分为6等:
0.1-2.5毫米为小雨,(3)2.6-6毫米为中雨,(4)6.1-12毫米为大雨,(5)12.1-25毫米为暴雨,(6)25.1-60毫米为大暴雨,(7)大于60.1毫米为特大暴雨。
若按此分级向公众预报,(8)如何在评价方法中考虑公众的感受?
二问题分析:
问题一:
评价雨量预报方法的准确与否,关键要看雨量的预测值和实测值的接近程度。
把网格点
和91个观测站点的位置分布做一图形,得知观测站点的位置相对
等距网格点相对集中,基于这样的特点,我们尽可能选取包围所有观察点(91个)的网格(预测点)作为研究对象,而不考虑与观察点相对较远的地域。
然后采用散乱数据插值法从91个实测的数据中,拟合出等距网格点的实际拟合值;另外还运用了加权平均值法,拟合出观测站点降雨量的预测值。
通过它们的均差来衡量雨量预报方法的准确性。
问题二:
根据气象部门将6小时降雨量分为6等级,我们运用分级评价来讨论公众的感受。
关键是看预报值与实测值的差距(级差),级差越大,则公众对此预报的抱怨度大;级差越小,则公众对此的满意度越大;级差为零时,公众没有抱怨。
三模型假设:
1.观测站点没有异常情况的影响。
2.观测站点所得的实测值的误差很小。
3.观测人员每次预测的时间间隔一致。
四参数说明:
………………第k个观测站点的经度,k=1,2,…,91
……………….第k个观测站点的纬度,k=1,2,…,91
…………………点
处的降雨量,k=1,2,…,91
………………….第
个点的经度,i=1,2,…
………………….第
个点的纬度,i=1,2,…
…………………(
)处的降雨量,i=1,2,…
……………………………….观测站的降雨量,k=1,2,…,91
……………………………根据加权法得到的第i个观测站点的降雨量的预测值,n为预测的方法,i=1,2,…91
F……………………………观测站的拟合值与实测值的均差
五模型建立与求解:
模型一:
由MATLAB编程可得,网格点
和91个观测站点的位置分布图:
图1
注:
图1中红点表示观测站点,蓝点表示网格点。
观察图1,可知观测站点的位置相对
等距网格点相对集中。
基于这样的特点,我们选取尽可能包含所有观测站点的等距网格点作为研究对象,而不考虑与观测站点距离相对较远的网格点。
具体的选取如下图2表示:
图2
图2中井字中间蓝色的点就是要考察的点。
我们用一个二元函数图象(曲面)来拟合91个点(实际观测值),由此二元函数计算出所考察的等距网格点的实际拟合值。
用该拟合值与所对应的同一位置同一时段的预报值进行均差计算,其均差作为评价预报方法的好坏。
均差值越小,说明预报的值越接近实际值,其预报的方法也越好。
我们用散乱数据插值法
进行拟合。
在位于东经120度、北纬32度附近的地区上,散乱分布着91个点(观测站)
处有数据
,要求寻找这个地区上的二元函数
,使:
(k=1,2,3,……91)……
(1)
我们用“反距离加权平均法”(又称为Shepard方法)寻找这个二元函数
。
其基本思想是,在非给定数据的点处,定义其函数值有已知数据按与该点距离的远近做加权平均决定,记
……………
(2)
则二元函数(曲面)定义为:
………………(3)
其中
函数中(x,y)为考察点的经纬度。
在得出此二元函数后,用F(x,y)与预报的值进行均差计算。
通过编程(程序见附件1),我们计算出6月18日至28日十天的均差的结果
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
第1时段
第1时段
第2时段
第2时段
第3时段
第3时段
第4时段
第4时段
6月18日
0.0037
0.0040
0.6853
0.7233
2.2917
2.4014
1.1139
1.1955
6月19日
1.1955
1.2580
1.6865
1.7580
1.8818
1.9621
2.1144
2.2114
6月20日
2.8279
2.8976
4.1120
4.3633
3.5964
3.8783
0.2028
0.2169
6月21日
0.1168
0.0301
0.0067
0.0070
0.0277
0.0278
0.0267
0.0286
6月22日
0.0044
0.0045
0.8105
5.1966
0.2223
0.2439
0.4490
0.5021
6月23日
1.1966
1.2405
0.9164
0.9933
0.8140
0.8811
0.4436
0.4855
6月24日
0.0485
0.0534
0.2128
0.2387
0.1174
0.1268
2.7062e-004
2.9612e-004
6月25日
0.0013
0.0014
0.0038
0.0042
6.6592e-004
7.6211e-004
2.6951e-004
2.8123e-004
6月
26日
0.0110
0.0108
2.9626e-004
2.9798e-004
0.0109
0.0116
1.9694
2.1790
6月27日
2.5605
2.7495
2.8400
2.9513
1.4990
1.543
0.4190
0.4449
6月28日
0.2287
0.2525
0.6279
0.2230
0.0649
0.0687
0.0273
0.0287
表1
我们通过观察以上四十组数据及这十天的观测站观测得到的实际降雨量,得到以下几点结论:
1.将两种预报方法的同日期同时段的均差值进行比较,我们发现,除6月22日的第二时段外,其均差值之差均小于0.2mm,说明其预测效果接近。
2.由两种预报方法,其均差值大部分小于1mm,由此说明这两种预报方法都较为准确。
3.通过6月19、20和27日的均差值及观测站观测得到的实际降雨量可知,降雨量越大,预报的结果与实际的结果相差越大。
4.由这四十组数据在同一天的同一时刻的比较得出,预报法1比预报法2的大多数均差值要小,即预报法1的预报准确性要高一些。
模型二:
在网格点上,我们以观察点
(
=1,2,3……91)为圆心,以
为半径作一个圆,则在圆内和圆上散落着
个网格点。
如下图所示:
图3
假设这些网格点到圆心的距离为
(
=1,2,……
),根据加权法得到的
第i个观测站点的降雨量的预测值:
…………(4)
则观测站的拟合值与实测值的均差为:
(
=91)………(5)
通过编程(程序见附件2),我们计算出6月18日至28日十天的均差的结果
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
预报法1
预报法2
第1时段
第1时段
第2时段
第2时段
第3时段
第3时段
第4时段
第4时段
6月18日
0.0155
0.0153
1.4631
1.5161
4.1698
4.0995
1.5382
1.5482
6月19日
2.4733
2.4625
5.3672
5.3961
3.4909
3.5004
3.9178
3.9504
6月20日
8.9510
9.0026
10.0685
10.1975
6.8284
6.9042
0.4447
0.4544
6月21日
0.1126
0.2193
0.0445
0.0448
0.1403
0.1406
0.1414
0.1413
6月22日
0.0140
0.0134
1.8641
4.8112
0.5512
0.5684
1.0341
1.0362
6月23日
2.3186
2.4072
1.6770
1.6090
1.5541
1.5479
0.7774
0.7768
6月24日
0.1221
0.1267
0.2998
0.3115
0.1871
0.1917
7.5748e-004
7.5422e-004
6月25日
0.0041
0.0039
0.0270
0.0270
0.0072
0.0072
0.0050
0.0050
6月
26日
0.0416
0.0416
0.0010
0.0010
0.0388
0.0398
3.1962
3.3259
6月27日
3.5791
3.6512
5.7362
5.7501
2.5439
2.5449
0.7484
0.7700
6月28日
0.4738
0.4774
0.9614
0.4562
0.1352
0.1323
0.0711
0.0713
表2
我们通过观察以上四十组数据、这十天的观测站观测得到的实际降雨量及表1的结论,得到以下几点结论:
1.模型1得到的均差比模型2得到的均差较为理想,从模型2的均差值不易判断出两个预报方法的优劣。
2.6月19、20和27日的均差值与表1的结论3相吻合,可以证明表1的结论3的正确。
我们还得到同一天内每个时段,91个观测站的拟合降雨量与实际降雨量的图。
图1、2、3、4为6月18日的四个时段91个观测站的拟合降雨量与实际降雨量的曲线图。
蓝色的线为实际降雨量的曲线,红色为用预报法1得的拟合值,绿色为用预报法2得的拟合值。
从图中可以直接的观察到,在降雨量较小时,预报的准确性较高,在降雨量较大是,预报的降雨量明显小于实际的降雨量。
还可以在图4中看出,当同一天同一时刻不同地点的降雨量差别较大时,拟合的值与实际的值偏差也较大。
图4
图5
图6
图7
问题
(二):
根据单位时间内降雨的多少,我们将6小时降雨划分成六级,用区间表示分别是:
I级
[0.12.5],II级
[2.66],III级
[6.112],IV级
[12.125],V级
[25.1,60],VI级
(60.1,+
),单位(mm),如下图所示:
图8
不在级内的降雨量归到低级中,如:
2.56mm归入I级,25.05归到IV级中。
假设
是同一位置、同一时段的预测与实测降雨量,并且
定义:
公众的抱怨度
(即级差)………(6)
若S值(即级差)越大,则公众对此次预报的抱怨度越大;若S值越小,则公众对此次预报的抱怨度越小;若S=0即j=i,则预测准确,公众没有抱怨。
若需求某日4时段或n天的抱怨度的值,可取其级差的均值。
六模型评价:
两个模型分别从两个相反的角度对问题进行解答。
模型1从实际测量得到的值拟合出考察点的降雨量,其得到的均值能较好的反映出预报的准确性。
模型2从预报的预报值拟合出观测站点的降雨量,因为预报值本身就是一个不太准确的值,所以得到的拟合误差就较大,因而不比模型1的能反映预报的准确性。
但模型2可对模型1的结论有证明作用。
两个模型都是用观测站点附近的网格点进行拟合,其结果准确性较高。
两个模型的拟合函数都较为简单,用MATLAB编程后,计算简单明了。
七模型改进
两个模型都是用拟合函数后计算个点均值来对雨量预报进行评价,得到的两种预报方法的均值较为接近,较难对两种预报方法的优劣性进行更好的评价。
如果用函数拟合后的两种预报方法的拟合值作为两种总体,实际测量值做为样体。
用距离判别法
判断样体属于哪个总体,得到样体属于的那个总体就是比较优的一种预报方法。
八参考文献
[1]赵静但琦数学建模与数学实验北京高等教育出版社2003
[2]孙文爽陈兰祥多元统计分析北京高等教育出版社1994
评委简评
该论文符合数学建模要求,特别是对问题的分析、建模、解答和结论,条理性较强,格式规范。
对模型中的观测点的情况、实测值以及预测时间间隔作了比较合理的假设。
对问题一建立了两种数学模型,模型一:
用散乱数据插值法进行拟合;模型二:
采用的是实测加权平均值法,两种建模的思路都是可取的,方法恰当有创造性,并且两种模型都采用了图文并茂,容易理解。
对问题二,将雨量划分级别进行分析的思路正确。
论文所得结果与参考答案的结果一致,结果正确。
论文中的文字叙述比较清晰。
不足之处是有的文字叙述不够简练。
(王远清)
九附件
1.用于计算6月18日F(x,y)与预报值的均差的主程序如下:
clc
clear
loadri;
loadff618;
loadzz618;
[m,n]=size(x);
M=m*n;
t1=1;
fori=1:
1:
m
t2=1;
uu=0;
forj=1:
1:
n;
if(x(i,j)>29&x(i,j)<34)&(y(i,j)>118&y(i,j)<122.5)
mx(t1,t2)=x(i,j);
my(t1,t2)=y(i,j);
MF11(t1,t2)=FF11(i,j);
MF12(t1,t2)=FF12(i,j);
MF13(t1,t2)=FF13(i,j);
MF14(t1,t2)=FF14(i,j);
MF21(t1,t2)=FF21(i,j);
MF22(t1,t2)=FF22(i,j);
MF23(t1,t2)=FF23(i,j);
MF24(t1,t2)=FF24(i,j);
uu=1;
t2=t2+1;
end
end
ifuu==1;
t1=t1+1;
end
end
k=0;
H=0;
KK=0;
[m,n]=size(mx);
M=m*n;
foru=1:
1:
4
z=zz(:
u+3);
fori=1:
1:
m;
forj=1:
1:
n;
fort=1:
1:
91;
r(t)=sqrt((mx(i,j)-xk(t,1))^2+(my(i,j)-yk(t,1))^2);
ifr(t)==0;
k=1;
tt=t;
KK=KK+1;
end
end
ifk==1
MF(i,j)=z(t);
H=H+1;
k=0;
else
R=0;
fort=1:
1:
91;
Ri=1/(r(t)*r(t));
R=Ri+R;
end
fort=1:
1:
91
w(t)=(1/r(t)^2)/R;
end
fi=0;
fort=1:
1:
91
fi=fi+w(t)*z(t);
end
MF(i,j)=fi;
end
end
end
ifu==1
SF11=sum(sum(sqrt((MF-MF11).*(MF-MF11))))/M
SF21=sum(sum(sqrt((MF-MF21).*(MF-MF21))))/M
end
ifu==2
SF12=sum(sum(sqrt((MF-MF12).*(MF-MF12))))/M
SF22=sum(sum(sqrt((MF-MF22).*(MF-MF22))))/M
end
ifu==3
SF13=sum(sum(sqrt((MF-MF13).*(MF-MF13))))/M
SF23=sum(sum(sqrt((MF-MF23).*(MF-MF23))))/M
end
ifu==4
SF14=sum(sum(sqrt((MF-MF14).*(MF-MF14))))/M
SF24=sum(sum(sqrt((MF-MF24).*(MF-MF24))))/M
end
end
2.用于计算6月18日观测站的拟合值与实测值的均差的主程序如下:
:
clc
clear
loadri;
loadff618;
loadzz618;
[m,n]=size(x);
M=m*n;
t1=1;
fori=1:
1:
m
t2=1;
uu=0;
forj=1:
1:
n;
if(x(i,j)>29&x(i,j)<34)&(y(i,j)>118&y(i,j)<122.5)
mx(t1,t2)=x(i,j);
my(t1,t2)=y(i,j);
MF11(t1,t2)=FF11(i,j);
MF12(t1,t2)=FF12(i,j);
MF13(t1,t2)=FF13(i,j);
MF14(t1,t2)=FF14(i,j);
MF21(t1,t2)=FF21(i,j);
MF22(t1,t2)=FF22(i,j);
MF23(t1,t2)=FF23(i,j);
MF24(t1,t2)=FF24(i,j);
uu=1;
t2=t2+1;
end
end
ifuu==1;
t1=t1+1;
end
end
k=0;
H=0;
KK=0;
[m,n]=size(mx);
M=m*n;
foru=1:
1:
4
z=zz(:
u+3);
fori=1:
1:
m;
forj=1:
1:
n;
fort=1:
1:
91;
r(t)=sqrt((mx(i,j)-xk(t,1))^2+(my(i,j)-yk(t,1))^2);
ifr(t)==0;
k=1;
tt=t;
KK=KK+1;
end
end
ifk==1
MF(i,j)=z(t);
H=H+1;
k=0;
else
R=0;
fort=1:
1:
91;
Ri=1/(r(t)*r(t));
R=Ri+R;
end
fort=1:
1:
91
w(t)=(1/r(t)^2)/R;
end
fi=0;
fort=1:
1:
91
fi=fi+w(t)*z(t);
end
MF(i,j)=fi;
end
end
end
ifu==1
SF11=sum(sum(sqrt((MF-MF11).*(MF-MF11))))/M
SF21=sum(sum(sqrt((MF-MF21).*(MF-MF21))))/M
end
ifu==2
SF12=sum(sum(sqrt((MF-MF12).*(MF-MF12))))/M
SF22=sum(sum(sqrt((MF-MF22).*(MF-MF22))))/M
end
ifu==3
SF13=sum(sum(sqrt((MF-MF13).*(MF-MF13))))/M
SF23=sum(sum(sqrt((MF-MF23).*(MF-MF23))))/M
end
ifu==4
SF14=sum(sum(sqrt((MF-MF14).*(MF-MF14))))/M
SF24=sum(sum(sqrt((MF-MF24).*(MF-MF24))))/M
end
end
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