141 整式的乘法讲义 学生版.docx
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141整式的乘法讲义学生版
14.1整式的乘除
教学目标:
整式的乘除是建立在有理数的运算、运算律以及整式加减法的基础上,通过引入同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则给出整式的乘除运算。
教学重难点:
教学重点:
多项式的乘除法和乘法公式
教学难点:
多项式的乘除法以及有关“数”的表示形式的教学。
学习多项式的乘除法要归结为学好单项式的乘除,而单项式的运算又要以幂的运算为基础,所以幂的运算时本章的教学关键。
知识点一:
同底数幂的乘法(重点)
(1)同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
am•an=am+n(m,n是正整数)
(2)推广:
am•an•ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:
①底数必须相同,如23与25,(a2b2)²与
(a2b2)³,(x-y)2与(x-y)3等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.
(3)概括整合:
同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂.
【例题】计算(x﹣y)3•(y﹣x)=( )
A.(x﹣y)4B.(y﹣x)4C.﹣(x﹣y)4D.(x+y)4
【变式1】5x=8,5y=6,则5x+y= .
【变式2】阅读理解:
乘方的定义可知:
an=a×a×a×…×a(n个a相乘).观察下列算式回答问题:
32×35=(3×3)×(3×3×3×3×3)=3×3×…×3=37(7个3相乘)
42×45=(4×4)×(4×4×4×4×4)=4×4×…×4=47(7个4相乘)
52×55=(5×5)×(5×5×5×5×5)=5×5×…×5=57(7个5相乘)
(1)20172×20175= ;
(2)m2×m5= ;
(3)计算:
(﹣2)2016×(﹣2)2017.
知识点二:
幂的乘方(重点)
幂的乘方法则:
底数不变,指数相乘.
(am)n=amn(m,n是正整数)
注意:
①幂的乘方的底数指的是幂的底数;②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘,这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别。
【例题】下列计算正确的是( )
A.a+a=a2B.a•a=a2C.(a3)2=a5D.a2•a3=a6
【变式1】已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3,其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式2】下列运算结果是a6的式子是( )
A.a2•a3B.(﹣a)6C.(a3)3D.a12﹣a6
知识点三:
积的乘方(重点)
积的乘方法则:
把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
(ab)n=anbn(n是正整数)
注意:
①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果.
【例题】计算(﹣a2b)3的结果是( )
A.﹣a6b3B.a6bC.3a6b3D.﹣3a6b3
【变式1】化简(2x)2的结果是( )
A.x4B.2x2C.4x2D.4x
【变式2】计算结果不可能m8的是( )
A.m4•m4B.(m4)2C.(m2)4D.m4+m4
知识点四:
单项式乘单项式(重点)
运算性质:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
注意:
①在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积;②注意按顺序运算;③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式;④此性质对于多个单项式相乘仍然成立.
【例题】3x2可以表示为( )
A.x2+x2+x2B.x2•x2•x2C.3x•3xD.9x
【变式1】下列运算正确的是( )
A.x2•x3=x6B.2a+3b=5ab
C.(﹣2x)2=﹣4x2D.(﹣2x2)(﹣3x3)=6x5
【变式2】计算(﹣
x)•(﹣2x2)(﹣4x4)的结果为( )
A.﹣4x6B.﹣4x7C.4x8D.﹣4x8
知识点五:
单项式乘多项式(重点)
(1)单项式与多项式相乘的运算法则:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
(2)单项式与多项式相乘时,应注意以下几个问题:
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式;②用单项式去乘多项式中的每一项时,不能漏乘;③注意确定积的符号.
【例题】一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4,2a,a,它的体积等于( )
A.3a3﹣4a2B.a2C.6a3﹣8a2D.6a2﹣8a
【变式1】化简x(2x﹣1)﹣x2(2﹣x)的结果是( )
A.﹣x3﹣xB.x3﹣xC.﹣x2﹣1D.x3﹣1
【变式2】要使(x2+ax+5)(﹣6x3)的展开式中不含x4项,则a应等于( )
A.1B.﹣1C.
D.0
知识点六:
多项式乘多项式(重点)
(1)多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(2)运用法则时应注意以下两点:
①相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
【例题】使(x2+px+8)(x2﹣3x+q)乘积中不含x2与x3项的p、q的值是( )
A.p=0,q=0B.p=3,q=1C.p=﹣3,q=﹣9D.p=﹣3,q=1
【变式1】下列计算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(a+b)(a﹣2b)=a2﹣2b2
C.(ab3)2=a2b6D.5a﹣2a=3
【变式2】若x+y=3且xy=1,则代数式(1+x)(1+y)的值等于( )
A.5B.﹣5C.3D.﹣3
知识点七:
同底数幂的除法(重点)
同底数幂的除法法则:
底数不变,指数相减.
am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n)
①底数a≠0,因为0不能做除数;
②单独的一个字母,其指数是1,而不是0;
③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式,也可以是多项式,但必须明确底数是什么,指数是什么.
【例题】若3x=15,3y=5,则3x﹣y等于( )
A.5B.3C.15D.10
【变式1】下列计算正确的是( )
A.a2•a4=a8B.a3÷a2=a
C.2x2+x2=2x4D.(﹣2a2b)3=﹣6a5b3
【变式2】若4m×8÷2m的值为16,则m= .
知识点八:
零指数幂的性质(难点)
零指数幂:
a0=1(a≠0)
由am÷am=1,am÷am=am-m=a0可推出a0=1(a≠0)
注意:
00≠1
【例题】计算:
﹣12014﹣(﹣1)0的结果正确的是( )
A.0B.1C.﹣2D.﹣1
【变式1】若(n+3)2n的值为1,则n的值为 .
【变式2】如果等式(2a﹣1)a+2=1成立,则a的值为 .
知识点九:
单项式除以单项式(重点)
单项式除以单项式,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式.
注意:
从法则可以看出,单项式除以单项式分为三个步骤:
①系数相除;②同底数幂相除;③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式.
【例题】下列运算正确的是( )
A.(2a2)2=2a4B.6a8÷3a2=2a4C.2a2•a=2a3D.3a2﹣2a2=1
【变式1】计算:
6a2b÷2a= .
【变式2】自编一个两个单项式相除的式子,使结果为2a2,你所编的式子为 .
知识点十:
多项式除以单项式(重点)
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.
说明:
多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是一个多项式.
【例题】计算(25x2+15x3y﹣5x)÷5x( )
A.5x+3x2yB..5x+3x2y+1C.5x+3x2y﹣1D.5x+3x2﹣1
【变式1】若矩形的面积为a2+ab,宽为a,则长为 .
【变式2】如果一长方形的面积为2x2+x,它的一条边长为x,则它的周长为( )
A.2x+1B.3x+1C.6x+1D.6x+2
拓展点一:
整式的混合运算
(1)有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
(2)“整体”思想在整式运算中较为常见,适时采用整体思想可使问题简单化,并且迅速地解决相关问题,此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.
【例题】计算:
(﹣2)2+(
﹣1)0﹣
tan30°﹣(
)﹣1;
【变式1】已知被除式是x3+2x2﹣1,商式是x,余式是﹣1,则除式是( )
A.x2+3x﹣1B.x2+2xC.x2﹣1D.x2﹣3x+1
【变式2】观察下列关于自然数的等式:
(1)32﹣4×12=5
(1)
(2)52﹣4×22=9
(2)
(3)72﹣4×32=13 (3)
…
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第五个等式:
112﹣4× = ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
拓展点二:
整式乘法的应用
【例题】定义
为二阶行列式.规定它的运算法则为
=ad﹣bc.那么当x=1时,二阶行列式
的值为 .
【变式1】四边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b,连接BD,BF和DF后得到三角形BDF,请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF的面积可表示为( )
A.abB.
abC.
b2D.
a2
【变式2】探究应用:
(1)计算:
(x+1)(x2﹣x+1)= ;(2x+y)(4x2﹣2xy+y2)= .
(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?
用含a、b的字母表示该公式为:
.
(3)下列各式能用第
(2)题的公式计算的是 .
A.(m+2)(m2+2m+4)B.(m+2n)(m2﹣2mn+2n2)
C.(3+n)(9﹣3n+n2)D.(m+n)(m2﹣2mn+n2)
拓展点三:
有关指数方程问题
【例题】
(1)解方程:
3x2﹣27=0
(2)已知22x+1+4x=48,求x的值.
【变式1】已知:
x2a+b•x3a﹣b•xa=x12,求﹣a100+2101的值.
【变式2】已知(x+a)(x2﹣x+c)的积中不含x2项和x项,求(x+a)(x2﹣x+c)的值是多少?
拓展点四:
逆用幂的运算法则解题
【例题】已知am=8,an=32,求am+n的值.
【变式1】已知常数a、b满足3a×32b=27,且(5a)2×(52b)2÷(53a)b=1,求a2+4b2的值.
【变式2】图中是小明完成的一道作业题,请你参考小明答方法解答下面的问题:
(1)计算:
①82008×(﹣0.125)2008;
②(
)11×(﹣
)13×(
)¹²
(2)若2•4n•16n=219,求n的值.
拓展点五:
整式除法的应用
【例题】一位同学在研究多项式除法时,把被除式的二次项系数写成a,而把结果的一次项系数又写成了﹣b,等式如下:
(x3+ax2+1)÷(x+1)=x2﹣bx+1,现请你帮他求出a,b的值.
【变式1】观察下列各式:
(x﹣1)÷(x﹣1)=1;
(x2﹣1)÷(x﹣1)=x+1;
(x3﹣1)÷(x﹣1)=x2+x+1;
(x4﹣1)÷(x﹣1)=x3+x2+x+1;
(1)根据上面各式的规律可得(xn+1﹣1)÷(x﹣1)= ;
(2)利用
(1)的结论求22015+22014+…+2+1的值;
(3)若1+x+x2+…+x2015=0,求x2016的值.
【变式2】地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg,地球的表面积大约是5×108km2,地球的质量约为6×1024kg.
(1)地球表面全部空气的质量约为多少kg?
(2)地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍?
(结果用科学记数法表示)
拓展点六:
零指数问题
【例题】计算:
(π﹣3.14)0+(﹣0.125)2008×82008的结果是( )
A.π﹣3.14B.0C.1D.2
【变式1】已知(3x﹣2)0有意义,则x应满足的条件是 .
【变式2】课堂上老师出了这么一道题:
(2x﹣3)x+3﹣1=0,求x的值.
小明同学解答如下:
∵(2x﹣3)x+3﹣1=0,
∴(2x﹣3)x+3=1
∵(2x﹣3)0=1
∴x+3=0
∴x=﹣3
请问小明的解答过程正确吗?
如果不正确,请求出正确的值.
易错点一:
符号错误
【例题】下列各式中,计算结果为x2﹣1的是( )
A.(x+1)2B.(x+1)(x﹣1)C.(﹣x+1)(x﹣1)D.(x﹣1)(x+2)
【变式1】运算结果是x4y2﹣2x2y+1的是( )
A.(﹣1+x2y2)2B.(1+x2y2)2C.(﹣1+x2y)2D.(﹣1﹣x2y)2
【变式2】下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A.(﹣a+b)(a﹣b)B.(x+2)(2+x)
C.(
+y)(y﹣
)D.(x﹣2)(x+1)
易错点二:
漏乘错误
【例题】(x﹣y)(x2+xy+y2)
【变式1】计算:
x(x2+x﹣1)﹣(2x2﹣1)(x﹣4).
【变式2】已知代数式(ax﹣3)(2x+4)﹣x2﹣b化简后,不含x2项和常数项.求a,b的值
易错点三:
运算结果不是最简形式
【例题】计算:
(1)(﹣ab2)2﹣5ab•ab3
(2)(x+3)(3x﹣2)
【变式1】计算:
(1)(﹣x6)•(﹣x3)•(﹣x2)•(﹣x5)
(2)(xm﹣2yn)(3xm+yn)
【变式2】已知x+5与x﹣k的乘积中不含x项,求k的值.
易错点四:
顺序混乱
【例题】解方程:
(1)(3x﹣2)(4x+3)=(2x+1)(6x﹣5)+9
(2)(2x+3)(2x﹣3)﹣x(4x+3)=0.
【变式1】若y=kx使得代数式(x﹣y)(4x﹣y)+3x(4x﹣y)的值为0.请求出k的值.
【变式2】计算:
(5x﹣
y)(25x2+
xy+
y2).
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