5年高考3年模拟A版高考数学第三章导数及其应用1导数的概念及运算试题文docx.docx
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第三章 导数及其应用
【真题典例】
§3.1 导数的概念及运算
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测
热度
考题示例
考向
关联考点
导数的概
念与几
何意义
①了解导数概念的实际背景;
②理解导数的几何意义
2018课标全国Ⅰ,6,5分
曲线的切线方程
直线方程的求解
★★★
2018课标全国Ⅱ,13,5分
曲线的切线方程
直线方程的求解
2017课标全国Ⅰ,14,5分
曲线的切线方程
函数的奇偶性
2016课标全国Ⅲ,16,5分
曲线的切线方程
函数的奇偶性
2015课标Ⅰ,14,5分
由切线方程求参数
直线的斜率
导数的
运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数;
②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
2016天津,10,5分
导数的运算
求导公式及求导法则的运用
★☆☆
2015天津,11,5分
导数的运算
求导公式及求导法则的运用
2018天津,10,5分
导数的运算
求导公式及求导法则的运用
分析解读 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.
1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.
2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合出题考查.
3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.
破考点
【考点集训】
考点一 导数的概念与几何意义
1.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为 .
答案 2x-y-2=0
2.(2017湖南衡阳八中期中,14)曲线f(x)=xex在点(1,f
(1))处的切线的斜率是 .
答案 2e
考点二 导数的运算
1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'
(1)+ln,则f
(1)=( )
A.-eB.2C.-2D.e
答案 B
2.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3cosxB.f(x)=x3+x2
C.f(x)=1+sin2xD.f(x)=ex+x
答案 C
3.(2019届陕西延安模拟,7)已知函数f(x)=+sinx,其中f'(x)为函数f(x)的导数,则f(2018)+f(-2018)+f'(2019)-f'(-2019)=( )
A.2B.2019C.2018D.0
答案 A
4.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,10)设函数f(0)(x)=sinx,定义f
(1)(x)=f'[f(0)(x)],f
(2)(x)=f'[f
(1)(x)],……,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则f
(1)(15°)+f
(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2017)(15°)的值是( )
A.B.C.0D.1
答案 A
炼技法
【方法集训】
方法1 求函数的导数的方法
1.(2018湖南邵阳三模,4)已知函数f(x)=f'(-2)ex-x2,则f'(-2)=( )
A.B.C.D.
答案 D
2.(2019届福建福州模拟,4)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=x+2,则f
(1)+f'
(1)的值等于( )
A.1B.C.3D.0
答案 C
方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程
1.(2019届黑龙江东安模拟,5)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A.B.∪
C.D.
答案 B
2.(2017山西孝义模拟,14)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是 .
答案 y=0或4x+y+4=0
3.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值是 .
答案 3
过专题
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
答案 D
2.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .
答案 x-y+1=0
3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
答案 y=2x
4.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线过点(2,7),则a= .
答案 1
5.(2018课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;
(2)证明:
当a≥1时,f(x)+e≥0.
解析 本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.
(1)f'(x)=,f'(0)=2.
因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.
(2)当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.
令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.
当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)≥g(-1)=0.
因此f(x)+e≥0.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 导数的概念与几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3
答案 A
2.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f
(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
答案 1
3.(2014江西,11,5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .
答案 (e,e)
考点二 导数的运算
1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'
(1)的值为 .
答案 e
2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为 .
答案 3
3.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'
(1)=3,则a的值为 .
答案 3
C组 教师专用题组
1.(2010课标全国,4,5分)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2
答案 A
2.(2012课标全国,13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
答案 y=4x-3
3.(2013江西,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .
答案 2
4.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
答案
5.(2011课标,21,12分)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)证明:
当x>0,且x≠1时,f(x)>.
解析
(1)f'(x)=-.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),
故即
解得a=1,b=1.
(2)证明:
由
(1)知f(x)=+,
所以f(x)-=.
考虑函数h(x)=2lnx-(x>0),
则h'(x)=-
=-.
所以当x≠1时,h'(x)<0.
而h
(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,
可得h(x)>0.
从而当x>0,且x≠1时,f(x)->0,即f(x)>.
6.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与直线2x-y=0平行.
(1)求a的值;
(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?
如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;
(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.
解析
(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为2,
所以f'
(1)=2,
又f'(x)=lnx++1,
所以a=1.
(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.
设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-,
当x∈(0,1]时,h(x)<0.
又h
(2)=3ln2-=ln8->1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),
使得h(x0)=0.
因为h'(x)=lnx++1+,
所以当x∈(1,2)时,h'(x)>1->0,
当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,
所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.
所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.
(3)由
(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,
且x∈(0,x0)时,f(x) x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x), 所以m(x)= 当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0; 若x∈(1,x0),由m'(x)=lnx++1>0, 可知0 故m(x)≤m(x0). 当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=, 可得x∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增; x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减, 可知m(x)≤m (2)=,且m(x0) (2). 综上可得函数m(x)的最大值为. 【三年模拟】 时间: 50分钟 分值: 70分 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(2018广东佛山一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)ex的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=
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