关于自然数的运算中使用了哪些模型.docx
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关于自然数的运算中使用了哪些模型
关于自然数的运算中使用了哪些模型,并说清每种模型的价值。
(一)数概念模型
每一个数概念就是一个数学模型。
自然数、分数、小数都是现实模型的抽象。
1.整数的直观模型
教材中提供多种模型帮助学生经历、感受建模过程,体会模型思想。
(1)有结构的实物(十个是一捆,十个一捆是一大捆,如此等等)
(2)数位筒
(3)计数器(算盘),在这一阶段孩子对于数位的理解已经有抽象的成分在里面,并含有一定的位值思想。
(4)数位表:
在数位表上摆珠子,孩子理解数位表上的珠子的意义比上一个层次更加抽象。
(5)半形象、半抽象的“数尺”、数轴、百数表。
2.分数的直观模型
小学数学教材中,分数有多种直观模型:
(1)实物模型,例如半杯牛奶、半个苹果……
分数概念的引入是通过“平均分”某个实物取其中的一份或几份认识分数的,这些直观模型即为分数的“实物模型”。
(2)面积模型:
用面积的“部分—整体”表示分数。
通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”,取其中的一份或几份(涂上“阴影”)认识分数的,这些直观模型即为分数的“面积模型”。
学生在三年级主要是借助面积模型初步认识分数。
(3)集合模型:
用集合的“子集—全集”来表示分数。
例如,在下图中,“蓝色长条”占全部“长条”的3/5。
分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力,其核心是把“多个”看作“整体1”,所以是五年级学习分数的意义的重点,也是与三年级认识分数最大的不同。
(4)分数的“数线模型”:
(数轴上表示的线段长度、点)
分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数。
它把分数化归为抽象的数,而不是具体的事物。
分数的“数线模型”与分数的“面积模型”有着密切的联系:
一个分数可以表示“单位面积”的“一部分”,也可表示“单位长度”的“一部分”,前者是2维的,后者是线性的,是1维的。
“数线模型”是“数轴”的前身,是数轴的“局部放大”和“特殊化”,是用“点”来刻画“分数”。
如图:
分数的数线模型相对于面积模型和集合模型来说有一定的难度,所以教材中并没有出现用数线上的点表示分数,但是在学习了真分数和假分数后出现了在数轴上表示真分数和假分数。
(在学生理解了分数的意义基础上,逐渐抽象出数线模型)如:
三年级认识分数时出现是多为用分数表示段的长度:
如:
五年级认识分数意义时多用分数表示点(数轴),更抽象。
学生理解比较难。
3.作业一:
梳理小数的直观模型
(二)、运算模型
加法、减法、乘法、除法的运算也是数学模型。
1.表内乘法中的计算模型:
国内教材:
※实物:
具体情境中的事例
※矩阵:
实物摆成的矩阵
实物摆成的方格矩阵
※数线:
只有人教版在8和9的口诀学习中使用了数线模型
国外教材:
※实物
※矩阵:
实物摆成的矩阵(方块、点子图)
方格摆成的矩阵
※百数表(乘法表)
※数线
一位数乘法模型
按照这样的思路,在一位数乘法中,教师们借助直观教具帮助学生理解算理
模型对比
两位数乘法模型
1.不具有十进关系的面积模型
如点子图,不具有十进关系的方格模型,这样的模型有利于学生理解乘法的意义,引导学生将其分成不同的部分,从而产生多种方法,所以,在鼓励学生算法多样化时是一个有价值的模型。
当然,利用此模型,不是所有的学生都能自然的将乘数“拆成10和几”,这需要教师进行引导。
2.“具有十进关系”的面积模型
这样的模型也有利于学生理解乘法的意义。
虽然由于其十进关系明显,从而不易引发学生的多种方法,但对于引导学生将乘数“拆成10和几”是很有帮助的。
相类似的还有小棒模型,表示的是12?
4,从图中学生很容易分成两部分14个10和14个2,但小棒对于三位数就不好使用了。
计数器模型
表示12?
,这个模型十进关系明确,它与十进关系明显的方格模型相比,显然抽象一些,另外,也不适合两位数乘法的使用。
数直线模型
国内教材在整数乘法的学习中很少使用数直线模型(即数轴的雏形),这也许与此模型对于多位数乘法很难体现优越性有关。
但数直线有其自身的价值,体现在如下几个方面:
(1)数直线上的点与数可以建立对应关系
(2)数直线可以很好地体现出数序,可以帮助学生直观比较数的大小(在规定了右边为正方向后,右边的数比左边的大)
(3)它是数的模型,在数线上可以顺数(加法),可以倒数(减法),可以几个几个地顺数(乘法),可以几个几个地倒数(除法)
(4)对于乘法运算的学习来说,它对学生理解倍的意义是有一定帮助的。
总之,直观模型对于学生理解算理是非常重要的,而我们的教材和教学中对此体现的并不充分,需要教师意识到他的重要性,并且挖掘相应的素材。
从模型的角度来认识运算,具有深刻的教学价值:
1.可以更加深刻的理解乘法的意义而非仅仅会计算;
2.更重要的是逐步学会从多个角度来认识和学习某个数学概念,“数学学习就是将一种表达形式转化为另一种表达形式,其本质保持不变”,感悟并掌握数学学习的方法;
3.培养学生的抽象概括能力,逐步学会将纷繁复杂的现实事物抽象概括为同一“数学结构”,即逐步体验并掌握“数学建模”的思想。
作业2:
梳理除法模型
(三)方程模型
方程是建模思想的重要体现——现实模型——静态模型、动态模型
北师大版教材的呈现三个现实模型,对应三种数量关系,两个静态模型一个动态模型。
苏教版呈现了5个现实模型,对应相同的天平模型,而且都是静态模型。
人教版中呈现了5个现实模型,都是天平模型,整个过程展现了天平称重的过程,是一个由静态到动态再到静态的过程,同时把静态模型与动态模型之间的关系展现得较为清晰。
方程是从现实生活到数学的一个提炼过程,一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。
每一个方程就是一类生活原型抽象而来的。
从现实情景到用自然语言等价地表达出来,这是一次重要的抽象,是方程建模的关键。
然后才是用数学符号等价地表达出用自然语言表达出来,继而同一方程举出正确的生活原型。
(四)几何图形是模型
每一种图形本身就是一种数学模型。
点、线、面、基本的平面图形、立体图形的定义就是生活中几何模型向抽象的数学模型的构建过程。
平面图形、立体图形的周长、面积、体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。
例如:
把立体图形的面画在纸上,这就是把生活中的现实模型抽象成数学研究的数学模型的过程。
对这些数学模型进行分类,找出他们之间的联系和区别。
从而抽象出三边形、四边形、五边形等图形的定义。
在分类中进一步建立数学模型。
再针对四边形进行二次分类,让学生认识特殊的四边形(平行四边形、长方形、正方形、梯形)和一般的四边形。
计算公式是模型、模式与函数是模型、搭配、运算律、数学公式、“份总”关系、统筹问题、鸡兔同笼问题、植树问题、商不变的性质、工程问题、行程问题(行走中的数学、相遇问题)、烙饼问题、田忌赛马等等都是模型,模型无处不在。
从模型和模型化思想的角度来进行教学研究,要求我们在平**的教学中
(1)要更加关注学生学习的过程。
(2)要重视解读课本中呈现的数学模型,知道从模型描述的是对象的哪些特征,反映的是什么样的关系,与其它知识之间的联系是什么,这个知识的背景、发展历史,应用在哪儿等几个方面来解读模型。
(3)理解课标倡导的“情境——建模——应用、反思拓展”的意思,并研究实践这样的教学模式,获得宝贵的实践经验。
(4)重视建模需要的思维方法的训练
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