高一数学必修4综合能力测试.docx
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高一数学必修4综合能力测试
本册综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若α=-3,则α是第( )象限角.( )
A.一 B.二
C.三 D.四
[答案] C
[解析] ∵-π<-3<-,∴-3为第三象限角.
2.已知扇形的周长为8cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为( )
A.4cm2B.6cm2
C.8cm2D.16cm2
[答案] A
[解析] 由题意得解得
所以S=lr=4(cm2).
3.有三个命题:
①向量与是共线向量,则A、B、C、D必在同一条直线上;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③单位向量都相等,其中真命题有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[答案] A
4.已知sinθ<0,tanθ>0,则化简的结果为( )
A.cosθB.-cosθ
C.±cosθD.以上都不对
[答案] B
[解析] ∵sinθ<0,tanθ>0,故θ为第三象限角,∴cosθ<0.
∴==|cosθ|=-cosθ.
5.tan(-1560°)的值为( )
A.-B.-
C.D.
[答案] D
[解析] tan(-1560°)=-tan1560°=-tan(4×360°+120°)=-tan120°=-tan(180°-60°)=tan60°=.
6.已知α是锐角,a=(,sinα),b=(cosα,),且a∥b,则α为( )
A.15°B.45°
C.75°D.15°或75°
[答案] D
[解析] ∵a∥b,∴sinα·cosα=×,即sin2α=
又∵α为锐角,∴0°<2α<180°.
∴2α=30°或2α=150°
即α=15°或α=75°.
7.已知sinα>sinβ,那么下列命题中成立的是( )
A.若α,β是第一象限角,则cosα>cosβ
B.若α,β是第二象限角,则tanα>tanβ
C.若α,β是第三象限角,则cosα>cosβ
D.若α,β是第四象限角,则tanα>tanβ
[答案] D
[解析] 可以结合单位圆进行判断.
8.函数y=sinx(≤x≤)的值域是( )
A.[-1,1]B.[,1]
C.[,]D.[,1]
[答案] B
[解析] 可以借助单位圆或函数的图象求解.
9.要得到函数y=3sin(2x+)的图象,只需将函数y=3sin2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
[答案] C
10.已知a=(1,-1),b=(x+1,x),且a与b的夹角为45°,则x的值为( )
A.0B.-1
C.0或-1D.-1或1
[答案] C
[解析] 由夹角公式:
cos45°==,即x2+x=0,解得x=0或x=-1.
11.(2012·全国高考江西卷)若=,则tan2α=( )
A.-B.
C.-D.
[答案] B
[解析] 主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cosα可得tanα=-3,带入所求式可得结果.
12.设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos213°-1,c=,则有( )
A.c C.a [答案] A [解析] a=sin62°,b=cos26°=sin64°,c==sin60°,∴b>a>c. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.若tanα=3,则sinαcosα的值等于________. [答案] [解析] sinαcosα====. 14.已知: |a|=2,|b|=,a与b的夹角为,要λb-a与a垂直,则λ为________. [答案] 2 [解析] 由题意a·(λb-a)=0,即λa·b-|a|2=0,∴λ·2××-4=0,即λ=2. 15.函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是________. [答案] π [解析] y=sincos2x-cossin2x+sin2x=cos2x+sin2x=cos(2x-),故T==π. 16.已知三个向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A、B、C三点共线,则k=________. [答案] -2或11 [解析] 由A、B、C三点共线,可得=λ,即(4-k,-7)=λ(6,k-5),于是有方程组解得,或 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)已知tanα=,求 的值. [解析] 原式= = === 又∵tanα=,∴原式==-3. 18.(本题满分12分)已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. [解析] (1)f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x ∴函数f(x)的最小正周期T==π. (2)由-≤x≤,知-≤2x≤π ∴-≤sin2x≤1 ∴f(x)在区间[-,]上的最大值为1,最小值为-. 19.(本题满分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1),求: (1)a·b;|a+b|; (2)a与b的夹角的余弦值. [解析] (1)a=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2), b=4(1,0)+(0,1)=(4,1), a·b=3×4+(-2)×1=10. ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+20+|b|2 =13+20+17=50, ∴|a+b|=5. (2)cos===. 20.(本题满分12分)(2011~2012浙江调研)设向量α=(sin2x,sinx+cosx),β=(1,sinx-cosx),其中x∈R,函数f(x)=α·β. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(θ)=,其中0<θ<,求cos(θ+)的值. [解析] (1)由题意得f(x)=sin2x+(sinx+cosx)·(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=2sin(2x-), 故f(x)的最小正周期T==π.(5分) (2)由 (1)知,f(θ)=2sin(2θ-),若f(θ)=, 则sin(2θ-)=. 又因为0<θ<,所以-<2θ-<,则2θ-=或2θ-=,故θ=或θ=.(9分) 当θ=时,cos(θ+)=cos(+)=coscos-sinsin=.(12分) 当θ=时,cos(θ+)=cos(+)=cos(π-)=-cos=-cos(+)=-.(15分) 21.(本题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,最小值为-,周期为π,且图象过(0,-). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. [解析] (1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的最大值为2,最小值为-. ∴A=,B=. 又∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的周期为π, ∴φ==π,即ω=2. ∴f(x)=sin(2x+φ)+ 又∵函数f(x)过(0,-),∴-=sinφ+,即sinφ=-. 又∵|φ|<, ∴φ=-, ∴f(x)=sin(2x-)+. (2)令t=2x-,则y=sint+,其增区间为: [2kπ-,2kπ+],k∈Z. 即2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z. 解得kπ-≤x≤kπ+.(k∈Z) 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. 22.(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m=(sinx,1),n=(Acosx,cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6. (Ⅰ)求A; (Ⅱ)将函数y=f(x)的图象像左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域。 [解析] (Ⅰ)f(x)=m·n=Acosxsinx+cos2x=Asin2x+cos2x=Asin,则A=6; (Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数y=6sin的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+). 当x∈时,4x+∈,sin(4x+)∈,g(x)∈[-3,6] 故函数g(x)在上的值域为[-3,6].
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