(类比探究)
(2)如图3所示,若旋转角a=75°时,
(1)中的结论是否还成立?
此时连接MN,请直接写出MN的长度为;
(拓展延伸)(3)在图3的基础上将△GCF向左平移至△G”厂的位置,若DH=k・BH,猜想线段HN与HM的数量关系.
23.已知抛物线y=aF+A+c与x轴交于。
、8两点,其顶点A坐标为(1,1),点C为抛物线在第四象限内的一点,其坐标为(3,-3).
(1)求抛物线解析式;
(2)点。
为抛物线在第三象限内的一点,过点。
向x轴作垂线段,垂足为“,是否存在点。
使得与△AOC相似,如果存在,请求出点。
坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)点E、尸分别为抛物线以及抛物线对称轴上的两动点,请问是否存在以8。
为边,B、0、E、尸为顶点的平行四边形,如果存在请直接写出点E坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.B
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数,可得负数的绝对值,根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
【详解】
解:
|-4|=4,4的相反数是-4,
故选:
B.
【点睛】
本题考查了绝对值和相反数的性质,熟练掌握相关的性质是解题的关键
2.B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为axld的形式,其中lS|a|V10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值VI时,n是负数.
【详解】
将2135亿=213500000000用科学记数法表示为:
2.135x10”.
故选B.
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax]。
。
的形式,其中lS|a|V10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.A
【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【详解】
解:
从几何体的左面看,轮廓为正方形,其中被切割的部分应该画为虚线,故选项A符合题意.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图,属于基础题,关键掌握左视图是从前左向右看得到的视图.
4.C
【分析】
分别根据合并同类项法则,同底数累的乘法法则,鬲的乘方运算法则以及同底数昂的除法法则逐一判断即可.
【详解】
解:
A.a5+a5=2a5,故本选项不符合题意;
B.a--a3=a5,故本选项不符合题意;
C.(a3)3=a9,符合题意;
D.a^=a4(a^O),故本选项不符合题意.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了合并同类项,同底数基的乘法,幕的乘方运算以及同底数幕的除法,熟练掌握法则是解题的关键.
5.D
【分析】
先将数据从小到大排列,再根据众数和中位数的概念求解可得.
【详解】
解:
将这6个数据重新排列为:
40、65、70、80、80、90,
所以众数为80,中位数为&1包=乃,
2
故选:
D.
【点睛】
本题考查了众数和中位数的定义,熟练掌握相关的概念是解题的关健
6.A
【分析】
设有鸡x只,兔y只,根据鸡和兔共45只且鸡和兔共有160只脚,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
【详解】
解:
设鸡x只,兔子y只,共有头45个,
故选:
A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
7.B
【分析】
根据根的判别式即可求出答案.
【详解】
解:
A、△=!
-4x1x2=-7<0,故方程没有实数根.
B、A=4-4xlxl=0,故方程有两个相等的实数根.
C、原方程化为(x-1)2=-3,故方程没有实数根.
D、△=1-4x1x4=-15<0,故方程没有实数根.
故选:
B.
【点睛】
本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程a£+bx+c=0(axO)的根的判别式△fLlac与方程解的关系是解答此题的关键.
8.B
【分析】
直接利用已知得出紫色部分扇形的圆心角度数,再利用概率公式计算得出答案.
【详解】
解:
•・•红、绿两个扇形的圆心角度数分别为150。
,90。
.
・•・紫色部分扇形的圆心角度数为:
360。
-1500-90°=120°,
故指针停止后落在紫色区域的概率是:
鸟=2.
3603
故选:
B.
【点睛】
本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,用到的知识点为:
概率=相应的面积与总面枳之比.
9.B
【分析】
由正方形的性质得出OA=OB=BC=4,进而求得NDOB=60。
,BE=BC=4,根据平行线的性质得出NEBF=NDOB=60。
,解直角三角形求得BF=2,EF=2j§\即可求得E的坐标.
【详解】
解:
边长为4的正方形AOBC中,OA=OB=BC=4,,/ZAOD=30°,
AZDOB=60°,BE=BC=4,
VOD/7BE,
・•・ZEBF=ZDOB=60°,
.*.BF=-BF=2,EF=^BF=2,
22
/.OF=4+2=6,
AE(6,2G).
故选:
B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、平行线的性质、解直角三角形,熟练掌握相关知识是解题得关键10.B
【分析】
连接AC与BD交于点O,作MH_LBD,垂足为H,根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO=JJcm,进而得出BD=2jTcm,根据题意可知AM=tcm,BN=2tcm,根据题意得出t的取值范闱,再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项.
【详解】
解:
如图,连接AC与BD交于点O,作垂足为H,
「ABCD是菱形,ZBAD=120°,
AZBAC=60°,ZABO=30°,
.*.BO=AB-cos30°=2x—=y/3(cm),
ABD=25/3(cm),
根据s=vt可知,AM=t(cm),BN=2t(cm),
V0•・•在ABMH中,BN=2t,MH=BM*sin3O°=-(2-O,
2
°BNMHcl_111L
♦•SWN=—--=2r—(2-f)x-=--(r-1)+-(ow《6),乙乙乙乙乙
此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分,且图象两个端点的横坐标分别为0,.
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象,利用图形的关系求函数的解析式,注意数形结合是解
决本题的关键.
11.6.
【分析】
首先计算乘方、开方,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可.
【详解】
解:
|-2|-^27+(兀-2)0
=2-(-3)+1=6
故答案为:
6.
【点睛】本题考查了实数得运算,涉及到乘方、开方,零指数幕等知识,熟练掌握相关的法则是解题的关健
12.23°.
【分析】
根据平行线的性质求出NFAC=ND,根据三角形外角的性质可得NACB,再根据角平分线定义即可求解.
【详解】
解:
・・・DE〃BF,ZD=53°,
:
.ZFAC=ZD=53°,
ZB=30°,
ZACB=23°,
〈DC平分NBCE,
ZDCE=23°.
故答案为:
23°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、角平分线定义,熟练掌握相关知识是解题得关犍
13.-1<%^4
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【详解】
解不等式3x+l>-2,得:
解不等式12-3x20,得:
xW4,
则不等式组的解集为-1VxW4,
故答案为:
-1VxW4.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;
同小取小:
大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
14.3小-+兀3
【解析】
【分析】
作OH_LAB于H,DE交半圆于M,连接OM,作ONJ_DM于N,如图,利用切线的性质得CD=2OH=4,再根据折叠的性质得DE=DC=4,则根据正弦的定义得到NAED=30。
AE=J?
.AD=2JJ,接着求出NDOM=120。
,然后根据三角形面枳公式、扇形的面积公式,利用图中阴影部分的面积=Saa°e-S弓号/)“"=5g/加-(S墩彩/)aw-Sa/w)进行计算.
【详解】
解:
作O”J_AB于H,0E交半圆于M,连接。
M,作。
MLOM于N,如图,
•・•矩形的另外三边分别与半圆相切,
・・・。
”为半圆的半径,
CD=2OH=2AD=4,
•・・。
(7丫30尸折叠至110日,
DE=DC=4,
在RtaADE中,*/sinZAED==—=—,
DE42
ZAED=30°,
.\AE=乖力£>=2",
,:
CD〃AB,
:
.ZCDE=ZAEB=30°,
•:
OD=OM,
:
ZODM=ZOMD=3Q0,
ZDOM=120°,
,图中阴影部分的面积=SaADE-S弓影DHAf=SaADE-(Stii^DOM-S^DOM)=
▲x2x2"-(U叱Z-L2Gxi)=3痒。
236023
故答案为3&-[知.
本题考查了切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了折叠的性质和扇形的面枳公式.
-3-9
15.——或.——・
24
【分析】
分两种情况探讨:
①点B落在矩形对角线BD上,②点B落在矩形对角线AC上,由三角形相似得出比例式,即可得出结果.
【详解】
①点A落在矩形对角线BD上,如图1所示.
•••矩形ABCD中,AB=4,BC=3
/.ZABC=90°,AC=BD,
/.AC=BD="2+32=5.
根据折叠的性质得:
PC±BB;
/.NPBD=NBCP,
AABCP^AABD,
.BPBCnnBP4—6P8—BP
即——=
ADAB3510
9解得:
BP=-.
②点A落在矩形对角线AC上,如图2所示.
根据折叠的性质得:
BP=BP,NB=NPB,C=90。
/.ZAB/A=90°,,△APB"ZiACB,
.BPAPnnBP4—BP.■=,,
BCAC35
3
解得:
BP=—.
2
39
故答案为二或二.
24
【点睛】
本题考查了折叠问题、勾股定理,矩形的性质以及三角形相似的判定与性质;熟练掌握矩形
的性质,由三角形相似得出比例式是解决问题的关键.
加+13+2道
16.,•
W7-13
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到
最简结果,把m的值代入计算即可求出值.
【详解】
mm+1
x
w-1m
m+lm-1
Vm=2sin60°+l=2x乎+1=有+l,
・回y_m+1_yf^+1+1—yfi+2—3+2-^3
..原式==—==—产—=.
w-1V3+1-1V33
【点睛】
本题考查了分式的化简求值以及分母有理化、特殊角的三角函数值,掌握运算法则是解题的关健
2
17.
(1)80;
(2)25,54,图详见解析;(3)1000;(4)
3
【分析】
(1)从两个统计图可得,“电竞''的有40人,占调查人数的50%,可求出调查人数;
(2)求出“音乐”20人所占的百分比,即可求出n的值,求出“动漫”12人所占的百分比,即可求出“动漫”所在的圆心角的度数,确定m的值;求出“舞蹈”的人数,即可补全条形统计图:
(3)样本估计总体,样本中“电竞”占50%,估计总体2000人的50%是报“电竞”的人数.
(4)用列表法列举出所有可能出现的结果,从中找出“一男一女”的结果数,即可求出相应的概率.
【详解】
解:
(1)40-50%=80(人),
故答案为:
80:
12
(2)20+80=25%,m=360°x一=54°,
80
80xl0%=8(人),补全条形统计图如图所示:
故答案为:
25,54;
(3)2000x50%=1000(人)
故答案为:
1000;
(4)用列表法表示所有可能出现的结果如卜.:
勇1
男2
女1
即
里2里1
女期
男2
期里2
女男2
女
男1女
男2女
共有6种结果,其中一男一女的有4种,
42
・•・两名学生恰为一男一女的概率为7=§.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法:
利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.
24c
18.
(1)y=—;
(2)D(6,8).x
【分析】
(1)作CM_Ly轴于M,如图,利用直线解析式确定A(0,2),B(-2,0),再根据平行线分线段成比例定理求出MC=4,AM=4,则C(4,6),然后把C点坐标代入y=七中求X
出k得到反比例函数解析式;
(2)MC交直线DE于N,如图,证明ACND为等腰直角三角形得到CN=DN,再利用CD
=CE得到CN=NE=DN,设CN=t,则N(4+t,6),D(4+t,6+t),E(4+t,6-t),然
24
后把E(4+t,6-t)代入y=—得(4+t)(6-t)=24,最后解方程求出t得到D点坐标.X
【详解】
解:
(1)作CM_Ly轴于M,如图,当x=0时,y=x+2=2,则A(0,2),当y=0时,x+2=0,解得x=-2,则B(-2,0),VMC//OB,
.MC_AMAC_
OB-OA-AB-2,
AMC=2OB=4,AM=2OA=4,
AC(4,6),k把C(4,6)代入y=—得k=4x6=24,
X24,反比例函数解析式为丫=一;x
(3)MC交直线DE于N,如图,
VMC=MA,
「•△MAC为等腰直角三角形,•二ZACM=45°,
工NDCN=45。
AACND为等腰直角三角形,,CN=DN,
VCD=CE,
ACN=NE=DN,
设CN=t,则N(4+36),D(4+36+t),E(4+t,6-t),
24
把E(4+t,6-t)代入y=一得(4+t)(6-t)=24,解得L=0(舍去),t:
=2,
本题是反比例函数与一次函数的综合题,涉及到待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质,有一定的难度
19.
(1)2;
(2)①菱形;②证明详见解析.
【分析】
(1)连接OF,根据直角三角形的性质求出AB,证明△AOFsaABC,根据相似三角形的
OFA0
性质得到=代入计算得到答案;
BCAB
(2)①根据图形猜想即可:
②根据等边三角形的判定定理得到ABOE为等边三角形,得到BE=OB=OE,根据菱形的判定定理证明结论.
【详解】
解:
(1)连接OF,
在RQABC中,ZA=30°,
AAB=2BC=6,••.AC是。
。
的切线,
,OF_LAC,又BCJ_AC,,OF〃BC,
,AAOF^AABC,
OFAOOF6—0尸
,——=——,即——=,
BCAB36
解得,OF=2,即0O的半径为2;
(2)①四边形OFEB的形状为菱形,
故答案为:
菱形;
②在RSABC中,ZA=30°,
ZB=60°,
VOB=OE,ZB=60°,
•••△BOE为等边三角形,
•二BE=OB=OE,
VOF/7BC,BE=OF,
••・四边形OFBE为平行四边形,
VBE=OB,
••・四边形OFEB的形状为菱形.
本题考查圆的切线的性质和判定、相似三角形的判定和性质、菱形的判定,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.
20.枫树(A)与地面的距离(AO)为9.3米
【分析】
过H作HB_LAD于B,作GC_LAD于C,解直角三角形即可得到结论.
【详解】
解:
过H作HB_LAD于B,作GC_LAD于C,
在R3AHB中,ZAHB=45°,ZABH=90°,
,AB=BH=a,
VBC=HE-GF=1.8-1.6=0.2m,
AC=a+0.2,
/।AC
在RiaAGC中,tan300=,
GC
■Cl+0.2yj3
••二~=,
a+63
解得:
a^7.70,
/.AD=7.70+1.6=9.3(米),
答:
枫树(A)与地面的距离(AD)为9.3米
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用.建立模型比较简单,但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些.
21.
(1)5,Zv+20;
(2)当每支降价1