动态规划与回溯法解决01背包问题.docx
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动态规划与回溯法解决01背包问题
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题
一、问题描述:
有n个物品,它们有各自的重量和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
二、总体思路:
根据动态规划解题步骤(问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成)找出01背包问题的最优解以及解组成,然后编写代码实现。
三、动态规划的原理及过程:
number=4,capacity=7
i
1
2
3
4
w(重量)
3
5
2
1
v(价值)
9
10
7
4
原理:
动态规划与分治法类似,都是把大问题拆分成小问题,通过寻找大问题与小问题的递推关系,解决一个个小问题,最终达到解决原问题的效果。
但不同的是,分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次,而动态规划则具有记忆性,通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来,在新问题里需要用到的子问题可以直接提取,避免了重复计算,从而节约了时间,所以在问题满足最优性原理之后,用动态规划解决问题的核心就在于填表,表填写完毕,最优解也就找到。
过程:
a) 把背包问题抽象化(X1,X2,…,Xn,其中Xi取0或1,表示第i个物品选或不选),Vi表示第i个物品的价值,Wi表示第i个物品的体积(重量);
b) 建立模型,即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn);
c) 约束条件,W1X1+W2X2+…+WnXn d) 定义V(i,j): 当前背包容量j,前i个物品最佳组合对应的价值; e)最优性原理是动态规划的基础,最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质: 不论初始状态和初始决策如何,对于前面决策所造成的某一状态而言,其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。 判断该问题是否满足最优性原理,采用反证法证明: 假设(X1,X2,…,Xn)是01背包问题的最优解,则有(X2,X3,…,Xn)是其子问题的最优解, 假设(Y2,Y3,…,Yn)是上述问题的子问题最优解,则理应有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 >(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1; 而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn),则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn); 该式子说明(X1,Y2,Y3,…,Yn)才是该01背包问题的最优解,这与最开始的假设(X1,X2,…,Xn)是01背包问题的最优解相矛盾,故01背包问题满足最优性原理; f) 寻找递推关系式,面对当前商品有两种可能性: 第一,包的容量比该商品体积小,装不下,此时的价值与前i-1个的价值是一样的,即V(i,j)=V(i-1,j); 第二,还有足够的容量可以装该商品,但装了也不一定达到当前最优价值,所以在装与不装之间选择最优的一个,即V(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i)} 其中V(i-1,j)表示不装,V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品,背包容量减少w(i)但价值增加了v(i); 由此可以得出递推关系式: 1) j 2) j>=w(i) V(i,j)=max{ V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i) } number=4,capacity=7 i 1 2 3 4 w(重量) 3 5 2 1 v(价值) 9 10 7 4 四、构造最优解: 最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解,构造时从第一个物品开始。 从i=1,j=c即m[1][c]开始。 1、对于m[i][j],如果m[i][j]==m[i+1][j],则物品i没有装入背包,否则物品i装入背包; 2、为了确定后继即物品i+1,应该寻找新的j值作为参照。 如果物品i已放入背包,则j=j-w[i];如果物品i未放入背包,则j=j。 3、重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。 4、对于物品n,直接通过m[n][j]是否为0来判断物品n是否放入背包。 只要能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。 首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。 序号 Weight Value 1 2 3 4 5 6 7 1 3 9 4 7 11 13 16 20 20 2 5 10 4 7 11 11 11 14 17 3 2 7 4 7 11 11 11 11 11 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 从表格中可以看出背包的最大价值value=20,即当X1=1,X2=0,X3=1,X4=1。 五、算法测试代码: #include #include #include #include #include #include usingnamespacestd; constintc=8;//背包的容量 constintw[]={0,3,5,2,1};//物品的重量,其中0号位置不使用。 constintv[]={0,9,10,7,4};//物品对应的待加,0号位置置为空。 constintn=sizeof(w)/sizeof(w[0])-1;//n为物品的个数 intx[n+1]; voidpackage0_1(intm[][11],constintw[],constintv[],constintn)//n代表物品的个数 { //采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值 //首先放w[n] for(intj=0;j<=c;j++) if(j elsem[n][j]=v[n]; //对剩下的n-1个物品进行放置。 inti; for(i=n-1;i>=1;i--) for(intj=0;j<=c;j++) if(j m[i][j]=m[i+1][j];//如果j //否则,就比较到底是放置之后的值大,还是不放置的值大,选择其中较大者。 else m[i][j]=m[i+1][j]>m[i+1][j-w[i]]+v[i]? m[i+1][j]: m[i+1][j-w[i]]+v[i]; } voidanswer(intm[][11],constintn) { intj=c; inti; for(i=1;i<=n-1;i++) if(m[i][j]==m[i+1][j])x[i]=0; else { x[i]=1; j=j-w[i]; } x[n]=m[i][j]? 1: 0; } intmain() { intm[6][11]={0}; package0_1(m,w,v,n); for(inti=0;i<=5;i++) { for(intj=0;j<=10;j++) printf("%2d",m[i][j]); cout< } answer(m,n); cout<<"Thebestansweris: \n"; for(inti=1;i<=5;i++) cout< system("pause"); return0; } 0-1背包回溯法解决问题 一、问题描述: 有n个物品,它们有各自的重量和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和? 二、总体思路: 01背包属于找最优解问题,用回溯法需要构造解的子集树。 在搜索状态空间树时,只要左子节点是可一个可行结点,搜索就进入其左子树。 对于右子树时,先计算上界函数,以判断是否将其减去。 上界函数bound(): 当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。 为了更好地计算和运用上界函数剪枝,选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序,此后就按照顺序考虑各个物品。 三、回溯法实现的过程: number=4,capacity=7 i 1 2 3 4 w(重量) 3 5 2 1 v(价值) 9 10 7 4 根据问题的解空间,对于n=4时的0-1背包问题,可用一棵完全二叉树表示其解空间,如下图所示。 回溯过程: 从根节点A开始回溯,节点A是当前的唯一的活节点,在这个纵深方向先进入A的左子树B或者右子树C。 假设先选择节点B,此时,节点B成为当前的活节点,节点B成为当前扩展节点。 节点A到B选择w1=3,节点B背包剩余容量r=4,价值v=9,节点B到节点D,由于选择w2=5,此时背包容量r=4,背包容量不够,因而不可行,利用剪枝函数,减去以D为根节点的子树;然后回溯到B的右节点E,此时,E节点的剩余容量r=4,v=9,选择w3=2,符合要求,节点E成为当前的扩展节点,进入节点J,此时,节点J的剩余容量r=2,v=16,选择w4=1,符合要求,到叶子节点T,此时,节点T的剩余容量r=1,v=20;因此得到一个可行解,即x=(1,0,1,1),此时节点T成为一个死结点,回溯到节点U,得到一个可行解v=16,即x=(1,0,1,0),节点U成为死结点,回溯到节点E,进入右子树,节点K的剩余容量r=4,v=9,选择w4=1,符合要求,到达节点V,v=13,得到一个可行解x=(1,0,0,1),节点V成为死结点,回溯到节点K,到达叶子结点W,v=9得到一个可行解x=(1,0,0,0)。 按此方式继续搜索整个解的空间。 搜索结束后找到的最好解是0-1背包问题的最优解。 五、算法测试代码: #include #include intn;//物品数量 doublec;//背包容量 doublev[100];//各个物品的价值 doublew[100];//各个物品的重量 doublecw=0.0;//当前背包重量 doublecp=0.0;//当前背包中物品价值 doublebestp=0.0;//当前最优价值 doubleperp[100];//单位物品价值排序后 intorder[100];//物品编号 intput[100];//设置是否装入 //按单位价值排序 voidknapsack() { inti,j; inttemporder=0; doubletemp=0.0; for(i=1;i<=n;i++) perp[i]=v[i]/w[i]; for(i=1;i<=n-1;i++) { for(j=i+1;j<=n;j++) if(perp[i] { temp=perp[i]; perp[i]=perp[i]; perp[j]=temp; temporder=order[i]; order[i]=order[j]; order[j]=temporder; temp=v[i]; v[i]=v[j]; v[j]=temp; temp=w[i]; w[i]=w[j]; w[j]=temp; } } } //回溯函数 voidbacktrack(inti) { doublebound(inti); if(i>n) { bestp=cp; return; } if(cw+w[i]<=c) { cw+=w[i]; cp+=v[i]; put[i]=1; backtrack(i+1); cw-=w[i]; cp-=v[i]; } if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右子数 backtrack(i+1); } //计算上界函数 doublebound(inti) { doubleleftw=c-cw; doubleb=cp; while(i<=n&&w[i]<=leftw) { leftw-=w[i]; b+=v[i]; i++; } if(i<=n) b+=v[i]/w[i]*leftw; returnb; } intmain() { inti; printf("请输入物品的数量和容量: "); scanf("%d%lf",&n,&c); printf("请输入物品的重量和价值: "); for(i=1;i<=n;i++) { printf("第%d个物品的重量: ",i); scanf("%lf",&w[i]); printf("价值是: "); scanf("%lf",&v[i]); order[i]=i; } knapsack(); backtrack (1); printf("最有价值为: %lf\n",bestp); printf("需要装入的物品编号是: "); for(i=1;i<=n;i++) { if(put[i]==1) printf("%d",order[i]); } return0; }
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