常用积分公式.docx
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常用积分公式.docx
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常用积分公式
1.
常用积分公式
(一)含有axb的积分(a=°)
『旦1Inax+b+C
'ax+b=a
+b)2-2b(ax+b)+b2Inax+b+C
4.
5.
6.
7.
1
—(Inax+b+a
8.
10.
13.
2
2(ax-2b).axbC
14.
2222
3(3ax「4abx8by.axbC=15a
C(b0)
15.
16.
17.
18.
(二)含有■axb的积分
、..axbdx(axb)‘C
J=3a
20.
21.
dx1丄x
—2arctanC
xa=aa
dx
22、n222nJ
(xa)=2(n-1)a(xa)
Yln
x—a
xa
dx
2_2、n」
2n-3
2(n-1)a2(x2a2)
2
(四)含有ax
b(a0)的积分
22.
dx
ax2b=
arctanJax+CTabVb
1sVOx_J_b2J-ab為x+J-b
23.
1
2a
lnax2+b+C
24.
2
ax^
dx
dx
dx
ax2b
25.
2
x(axb)=
2
x
ax2b
27.
(b0)
C(b:
0)
.dx
x2(ax2b)
dx
x3(ax2b)
丄
bx
dx
bax2b
-a?
ln
2b2
ax2+b
2b^C
dx
~2-
rdx—x—+丄
28'(ax+b)2=2b(ax2+b)2b'ax2+b
2
(五)含有axbxc(a.0)的积分
Inax+bx+c—
2a'ax2+bx+c
(六)含有、x2孑(a0)的积分
31.
dx
.x2a2=
x
arsh—C1
a
=ln(x、x2a2)C
32.
dx
x2a2)3
+C
a2x2a2
33.
34.
xdx
一x2a2
x
x2a2)3
dx
「x2'a2C
35.
2
xdx
2
x
22、3
xa)
dx
x
x2a2
ln(xx2a2)C
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
dx
xix2a2
1x2a2-a
ln
_a
dx
x2,x2a2_
jjx2+a2dx
..(x2a2)3dx
x.x2a2dx
2
訥(X、..r)C
-冷2Ex
2a23a41n(x亠、x2a2)C
8
JxPx2+a2dx_評x2+a2)Jx2+a2
xadxx2a2aln
x
4
ln(x.x2a2)C
8
x2a2-a
-^^dxln(x.□)C
x_x
(七)含有/_孑(a0)的积分
dx
Jr"22
45.x-a
△arch^+G
a
lnx+Jx2-a2+C
46.
x^a2)3_「a"x^a2C
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
■—22dx
x-a
x*1
X2-a2)3x=—^a^C
2”
+—lnx十Jx2_a2
2
j2
jjx2-a2dx_fJx2_a2号1nx+Jx2—a2
x、x2-a2dx
•x2-a2
+1nx+Jx2_a2+C
(八)含有、a2-x2(a0)的积分
59.
62.
63.
22
Jf22dx-xJa2_x2+—arcsin—+C
a-x=22a
64.
65.
66.
dx
x2.a2_x2=
、.(a2-x2)3dx(5a-2x)a-x
_8
69.
x,a2-x2dx~3、.(aC
3
70.
Jx2ja2—x2dx_才2x2—a2)Ja2—x2+yarcsir^+C
a4
71.
a-xdx、a2_x2aIn
x_
a—Ja・—x.+c
72.
~22"
a-x.
2dx
x_
~~22
a-x.x
arcsinC
xa
(九)含有-aXbxc(a0)的积分
73.
dx1
一ax2bxc=.a
ln2ax+b+2需Jax2+bx+c+C
74.
■ax2bxcdxf:
a'®2bxc
4ac-b2
Va3"
1
2dx-,ax2bxc
.axbxc=a
2a3
-—In2ax+b+2>/aJax2+bx+c+C
dx
、cbx-ax2
1.2ax-bc
-y=arcsinr_2=+C
a-b4ac
77.
\cbx-axdx
2ax-b2
、cbx-ax4a
2
b4ac.2ax-b小
3—arcsin十2C
&a3.b24ac
78.
.cbx-ax2
2ax-bc
-1Jc+bx—ax2+―二arcsin
a2a.b4ac
畀_a
(十)含有'x
_b或..(x-a)(b-x)的积分
79.
(x-b)JxH^+(b-a"n(
x_b)+C
80.
xf
b—x
(x—b)J_a十(b_a)arcsin伫C
dx
81.
x_a)(b_x)
x-a
2arcsin\b_xC(a:
:
b)
82.
;(x_a)(b_x)dx
(a:
:
b)
2x-a-b(b-a)2x-a
.(x_a)(b_x)arcsin「■C
(十一)含有三角函数的积分
sinxdx
—cosxC
84.
Jcosxdx
sinxC
tanxdx
Tncosx+C
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
Jcotxdx=ssinx+C
sinnxdx
cscxcotxdx—cscxC
x1
sinxdx=丁严C
x1
cos2xdx二24sin2xC
dx_1cosxn_2dx
nn-1n-2
sinx=nTsinxnTsinx
dx1
n~7
cosx=n-1
dx
99.
-m・n|cosxsinxdx
cosmJxsinn卑x+―-
mnmn
fm_2-n,
cosxsinxdx
―1—cosm+xsinn'x+—―1fcosmxsinmnmn
n'xdx
100.
Jsinaxcosbxdx
11
cos(ab)xcos(a-b)xC
2(ab)2(a-b)
101.
sinaxsinbxdx
1sin(ab)x1sin(a—b)xC
2(ab)2(a-b)
102.
Jcosaxcosbxdx
11
sin(ab)xsin(a-b)xC
2(ab)2(a-b)
103.
dx
absinx=
2
「aG*2
atan*barctan—2C
/22、
(ab)
104.
dx
absinx
1
.b2-a2
In
ata+b_Jb2_a2
2
ata显+b+Jb2_a2
2
(a2:
:
b2)
105.
dx
abcosx=
2a+b
abLa「b
arctan
(a2b2)
丄x.」a+b
tan_+J
2Y』-a
.xJa+b
22dX22-arctan(btanx)C
acosxbsinx=aba
109.
1.1
xsinaxdx二ysinax—axcosaxC
110.
x2sinaxdx-[x2cosax$xsinax-23cosaxC
」=aaa
112.
x2cosaxdx1x2sinax$xcosax-二sinaxC
l=aaa
(十二)含有反三角函数的积分(其中a0)
113.
arcsin^dxxarcsinx•a2-x2C
a=a
114.
22,
gcsinfdx=(亍遗gin計寸+C
x3x1
x2arcsinAdx—arcsin--(x22a2).a2-x2C
'a=3a9
arccosxdxxarccos--a2-x2C
a=a
xarccos^dxa
22
Xax
()arccos一
118.
119.
120.
121.
24
(十三)含有指数函数的积分
122.
Jaxdx
—axC
Ina
123.
eaxdx
1
!
eaxC
a
124.
xeaxdx
丄(ax-1)eaxC
a
xneaxdx
nax
e
xaxdx
x
a
lna
128.
129.
130.
nx1nxn
xadxxa-
xadx=lnalna
xnJaxdx
1ax
eaxsinbxdx—e(asinbXfbcosbx)C
ab
eaxcosbxdx
1
—2eax(bsinbxacosbx)C
=ab
1
eaxs"n歸=OT?
eaxsinn'bx(as"次一nbcosbx)
2
^M^/sinfxdx
abn
eaxcosnbxdx2122eaxcosndbx(acosbxnbsinbx)
131.
abn
2
axn_2
ecosbxdx
n(n-1)b
2斗22
abn
(十四)含有对数函数的积分
n-1
J(lnx)ndxx(lnx)n-nJ(lnx)dx
136..xSdx
-^xm1(lnx)nn
=m1
xm(lnx)nJdx
m1
(十五)含有双曲函数的积分
137.
shxdx二chxC
138.
chxdx=shxC
139.
thxdx
InchxC
140.
sh2xdx
x1sh2xC
24
141.
ch2xdx
(十六)定积分
142.
143.
144.
145.
x1sh2xC
2
pji
cosnxdx
-=
sinnxdx
-31
n
仝0smxsinnxdx二0
Ji
cosmxcosnxdx
-=
.n
sinmxsinnxdx
-=
.n
「Sinmxsinnxdx
0,
In.
0,
r兀
0cosmxcosnxdx=
0,m=n
(n
一,m=n
.2
HJE
147.
In『sinnxdx『cosnxdx
In
n-1
n
In_2
In
-1
n-3
n-2
42
HI42
53
n为大于1的正奇数),
Ii
n-1
1二
22(n为正偶数),
2
1.n4n-1.n^2,
sinxcosxsinxdx
tan_
2Yb-a
nn-4ax.
xedxa
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