高考数学平面解析几何.docx
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高考数学平面解析几何
平面解析几何
一、选择题和填空题
1.(海淀·理科·题13)
已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且它们在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
1【解析】;
如图,设椭圆的半长轴长,半焦距分别为,双曲线的半实轴长,半焦距分别为,,则
,问题转化为已知,求的取值范围.
设,则,.
∵,∴,即.
2.(海淀·文科·题8)
直线与圆相交于,两点(其中是实数),且是直角三角形(是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为()
A.B.C.D.
1【解析】A;
圆的圆心到直线的距离为,∴,
即.
因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离,其最大值为.
3.(海淀·文科·题10)
已知动点到定点的距离和它到定直线的距离相等,则点的轨迹方程为________.
2【解析】;
由已知,该轨迹为,定点为,对称轴为轴的抛物线,即.
4.(丰台·文科·题4)
直线截圆所得劣弧所对圆心角为()
A.B.C.D.
1【解析】D;
弦心距为,圆的半径为,于是,.
5.(丰台·文科·题14)
已知点,点,点是直线上动点,当的值最小时,点的坐标是.
2【解析】;
连结与直线交于点,则当点移动到点位置时,的值最小.
直线的方程为,即.
解方程组,得.
于是当的值最小时,点的坐标为.
6.(石景山·理·题5)(石景山·文·题5)
经过点作圆的弦,使点为弦的中点,则弦所在直线方程为()
A.B.
C.D.
【解析】A;
设圆心为,则垂直于,,故,选A.
7.(西城·理·题13)(西城·文·题7)
已知双曲线的左顶点为,右焦点为,为双曲线右支上一点,则最小值为_________.
1【解析】;
,设,,又,故,
于是,当时,取到最小值.
8.(东城·理·题13)
直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,若原点在以为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是.
1【解析】;
,要使原点在以为直径的圆外,只需原点到直线的距离大于半径即可,于是,,故.
9.(东城·文·题7)
已知圆与抛物线的准线相切,则的值等于()
A.B.C.D.
1【解析】D;
抛物线的准线为,将圆化为标准方程,圆心到直线的距离为.
10.(东城·文·题10)
经过点且与直线垂直的直线方程为.
2【解析】;
直线的斜率为,故所求直线的斜率为,从而所求直线方程为.
11.(东城·文·题14)
点是椭圆上一点,是椭圆的两个焦点,且的内切圆半径为,当在第一象限时,点的纵坐标为.
3【解析】;
,.
12.(宣武·理·题6)
若椭圆与双曲线均为正数)有共同的焦点,,是两曲线的一个公共点,则等于()
A.B.C.D.
【解析】C;
由题设可知,再由椭圆和双曲线的定义有及,两个式子分别平方再相减即可得.
13.(宣武·文·题8)
设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆被直线截得的弦长等于,则的值为()
A.B.C.D.
【解析】A;
圆的圆心,双曲线的渐近线方程为,到渐近线的距离为,故圆方程.由被圆截得的弦长是及圆的半径为可知,圆心到直线的距离为,即.
14.(崇文·文·题4)
若直线与圆相切,则的值为()
A.B.C.D.
【解析】B;
.
15.(朝阳·理·题6)
已知点是双曲线渐近线上的一点,是左、右两个焦点,若,则双曲线方程为()
A.B.C.D.
【解析】C;
不妨设,于是有.
于是.排除A,B.又由D中双曲线的渐近线方程为,点不在其上.排除D.
16.(朝阳·理·题10)(朝阳·文·题13)
圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为.
【解析】.
圆心到直线的距离为.不妨设劣弧所对的圆心角为,于是.解得.
17.(朝阳·文·题10)
在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则的值为.
【解析】2;
由抛物线的几何性质,有.
二、解答题
18.(海淀·理科·题19)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,,且,点在椭圆上.
⑴求椭圆的方程;
⑵过的直线与椭圆相交于、两点,且的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
2【解析】⑴设椭圆的方程为,由题意可得:
椭圆两焦点坐标分别为,.
∴.
∴,又,,
故椭圆的方程为.
⑵当直线轴,计算得到:
,,
,不符合题意.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为:
,
由,消去y得.
显然成立,设,,
则,.
又
即,
又圆的半径.
所以,
化简,得,即,解得.
所以,.
故圆的方程为:
.
⑵另解:
设直线的方程为,
由,消去得,恒成立,
设,,则,.
所以.
又圆的半径为.
所以,解得,
所以.
故圆的方程为:
.
19.(海淀·文科·题19)
已知椭圆的对称中心为原点,焦点在轴上,离心率为,且点0在该椭圆上.
⑴求椭圆的方程;
⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点,若的面积为,求圆心在原点且与直线相切的圆的方程.
3【解析】⑴设椭圆C的方程为,
由题意可得,又,所以
因为椭圆经过,代入椭圆方程有,解得
所以,故椭圆的方程为.
⑵解法一:
当直线轴时,计算得到:
,,
,不符合题意.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为:
,
由,消去,得
显然成立,设,,
则,
又
即
又圆的半径
所以
化简,得,即,
解得,(舍)
所以,故圆的方程为.
⑵解法二:
设直线的方程为,
由,消去,得
因为恒成立,设,,
则
所以
所以
化简得到,即,
解得(舍)
又圆的半径为
所以,故圆的方程为:
20.(丰台·理科·题19)
在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵当时,求与的关系,并证明直线过定点.
1【解析】⑴∵点到,的距离之和是,
∴的轨迹是长轴为,焦点在轴上焦中为的椭圆,
其方程为.
⑵将,代入曲线的方程,整理得
因为直线与曲线交于不同的两点和,
所以①
设,,则,②
且
显然,曲线与轴的负半轴交于点,
所以,.
由,得.
将②、③代入上式,整理得.
所以,即或.经检验,都符合条件①
当时,直线的方程为.
显然,此时直线经过定点点.
即直线经过点,与题意不符.
当时,直线的方程为.
显然,此时直线经过定点点,且不过点.
综上,与的关系是:
,且直线经过定点点.
21.(丰台·文科·题19)
在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是,直线与轨迹交于不同的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵是否存在常数,?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
3【解析】⑴∵点到,的距离之和是,
∴的轨迹是长轴为,焦点在轴上焦距为的椭圆,
其方程为.
⑵将,代入曲线的方程,
整理得①
设,由方程①,得
,②
又③
若,得
将②、③代入上式,解得.
又因的取值应满足,即(*),
将代入(*)式知符合题意.
22.(石景山·理·题19)
已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线交椭圆于不同的两点,.
⑴求椭圆的方程;
⑵若,且,求的值(点为坐标原点);
⑶若坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
【解析】⑴设椭圆的半焦距为,依题意,解得.
由,得
∴所求椭圆方程为
⑵∵,∴.
设,其坐标满足方程,消去并整理得
,
则
故.
∵,
∴
∴,经检验满足式.
⑶由已知,,可得
将代入椭圆方程,整理得
∴.
∴
当且仅当,即时等号成立.
经检验,满足(*)式.
当时,
综上可知,
所以,当最大时,的面积取得最大值.
23.(石景山·文·题19)
已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点,.
⑴求椭圆的方程;
⑵若,且,求的值(点为坐标原点);
⑶若坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
【解析】⑴设椭圆的半焦距为,依题意,解得.
由,得
∴所求椭圆方程为
⑵∵,∴.
设,其坐标满足方程,
消去并整理得,
则,解得
故.
∵,
∴
∴.
⑶由已知,可得.
将代入椭圆方程,整理得
∴
∴
.
当且仅当,即时等号成立.
经检验,满足式.
当时,
综上可知
∴当最大时,的面积取最大值.
24.(西城·理·题18)
椭圆:
的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.
⑴求椭圆的方程;
⑵设过点的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率.
2【解析】⑴由已知,
又,解得,
所以椭圆的方程为;
⑵根据题意,过点满足题意的直线斜率存在,设,
联立,消去y得,
,
令,解得.
设、两点的坐标分别为,
ⅰ)当为直角时,
则,
因为为直角,所以,即,
所以,
所以,解得.
ⅱ)当或为直角时,不妨设为直角,
此时,,所以,即……①
又…………②
将①代入②,消去得,
解得或(舍去),
将代入①,得所以,
经检验,所求k值均符合题意,综上,k的值为和.
25.(西城·文·题18)
椭圆:
的离心率为,且过点.
⑴求椭圆的方程;
⑵设直线:
与椭圆交于两点,为坐标原点,若直角三角形,求的值.
1【解析】⑴已知,
所以,又,所以,
所以椭圆C的方程为.
⑵联立,消去y得,
,
令,即,解得.
设A,B两点的坐标分别为,
i)当为直角时,则,
因为为直角,所以,即,
所以,
所以,解得;
ii)当或为直角时,不妨设为直角,
由直线的斜率为,可得直线的斜率为,
所以,即,
又,所以.
,
依题意,且,
经检验,所求值均符合题意,综上,的值为和.
26.(东城·理·题19)
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程;
⑵设,,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
⑶在⑵的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围.
2【解析】⑴由题意知,所以.即.
又因为,所以,.
故椭圆的方程为.
⑵由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为.
由得.①
设点,,则.
直线的方程为.
令,得.
将,代入整理,得.②
由①得,代入②整理,得.
所以直线与轴相交于定点.
⑶当过点直线的斜率存在时,
设直线的方程为,且,在椭圆上.
由得.
易知.
所以,,.
则.
因为,所以.
所以.
当过点直线的斜率不存在时,其方程为.
解得,.此时.
所以的取值范围是.
27.(东城·文·题19)
已知椭圆:
的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆C的方程;
⑵设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;
⑶在⑵的条件下,证明直线与轴相交于定点.
4【解析】⑴由题意知,
所以,即,
又因为,所以,
故椭圆的方程为:
.
⑵由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为①
联立消去得:
,
由得,
又不合题意,
所以直线的斜率的取值范围是或.
⑶设点,则,
直线的方程为,
令,得,
将代入整理,得.②
由得①代入②整理,得,
所以直线与轴相交于定点.
28.(宣武·理·题19)
已知椭圆的离心率为.
⑴若原点到直线的距离为,求椭圆的方程;
⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点.
i)当,求的值;
ii)对于椭圆上任一点,若,求实数满足的关系式.
【解析】⑴∵,∴.
∵,∴.
∵,∴,解得.
椭圆的方程为.
⑵
i)∵,∴,椭圆的方程可化为
…………①
易知右焦点,据题意有:
………②
由①,②有:
…………③
设,
∴
ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.
设,
∵,∴
又点在椭圆上,∴……………④
由③有:
则
……………⑤
又在椭圆上,故有…………⑥
将⑥,⑤代入④可得:
.
29.(宣武·文·题19)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是其左顶点,点在椭圆上且.
⑴求椭圆的方程;
⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.
【解析】⑴设椭圆的标准方程为,
∵左顶点.
∴,
又∵在椭圆上,
∴,
∴椭圆的标准方程为.
⑵设
∵的斜率为,∴设直线的方程为,
代入,得.
∴
又到直线的距离,
∴的面积,
当且仅当时取等号,此时满足题中条件,
∴直线的方程为.
30.(崇文·理·题19)
已知抛物线,点关于轴的对称点为,直线过点交抛物线于两点.
⑴证明:
直线的斜率互为相反数;
⑵求面积的最小值;
⑶当点的坐标为,且.根据⑴⑵推测并回答下列问题(不必说明理由):
①直线的斜率是否互为相反数?
②面积的最小值是多少?
【解析】⑴设直线的方程为.
由可得.
设,则.
∴
∴
.
又当垂直于轴时,点关于轴,显然.
综上,.----------------5分
⑵=.
当垂直于轴时,.
∴面积的最小值等于.----------------10分
⑶推测:
①;
②面积的最小值为.
31.(崇文·文·题19)
已知椭圆短轴的一个端点,离心率.过作直线与椭圆交于另一点,与轴交于点(不同于原点),点关于轴的对称点为,直线交轴于点.
⑴求椭圆的方程;
⑵求的值.
【解析】⑴由已知,.
所以椭圆方程为.
⑵设直线方程为.令,得.
由方程组可得,即
.
所以,
所以,
.
所以.
直线的方程为.
令,得.
所以=.
32.(朝阳·理·题19)
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点,过点的直线与椭圆在第一象限相切于点.
⑴求椭圆的方程;
⑵求直线的方程以及点的坐标;
⑶是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点,满足?
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】⑴设椭圆的方程为,由题意得
解得,故椭圆的方程为.
⑵因为过点的直线与椭圆在第一象限相切,所以的斜率存在,故可设直线的方程为.
由
得.①
因为直线与椭圆相切,所以.
整理,得.解得.
所以直线的方程为.
将代入①式,可以解得点横坐标为,故切点坐标为.
⑶若存在直线满足条件的方程为,代入椭圆的方程得
.
因为直线与椭圆相交于不同的两点,设两点的坐标分别为,
所以
所以.
又,
因为,即,
所以.
即.
所以,解得.
因为为不同的两点,所以.
于是存在直线满足条件,其方程为.
33.(朝阳·文·题19)
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点,过点的直线与椭圆相交于不同的两点.
⑴求椭圆的方程;
⑵是否存直线,满足?
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】⑴设椭圆的方程为,
由题意得
解得,
故椭圆的方程为5分
⑵若存在直线满足条件,设直线的方程为
由
得
因为直线与椭圆相交于不同的两点.
设两点的坐标分别为
所以
整理,得
解得.
又
且.即.
所以
即
所以
解得.所以.
于是,存在直线满足条件,其方程为.
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