全国名校高中数学题库直线方程.docx
- 文档编号:796074
- 上传时间:2022-10-13
- 格式:DOCX
- 页数:29
- 大小:925KB
全国名校高中数学题库直线方程.docx
《全国名校高中数学题库直线方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国名校高中数学题库直线方程.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国名校高中数学题库直线方程
高三数学第一轮总复习讲义讲义31直线的的方程、两条直线的位置关系
一、基本知识体系:
1、直线的倾斜角、斜率、方向向量:
1求直线斜率的方法:
(1)、定义法:
k=tan(≠);②斜率公式:
k=(x1≠x2);当x1=x2时,斜率不存在。
③直线的方向向量:
直线L的方向向量为=(a,b),则该直线的斜率为k=
2、直线方程的五种形式:
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
y-y1=k(x-x1)
(x1,y1)为直线上的一个定点,且k存在
不垂直于x轴的直线
斜截式
y=kx+b
k是斜率,b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴的直线
两点式
=
(x1≠x2,y1≠y2
(x1,y1)、(x2,y2)为直线上的两个定点,
不垂直于x轴和y轴的直线
截距式
+=1
(a,b≠0)
a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
斜率为,在x轴上的截距为,在y轴上的截距为
任何位置的直线
3、判断两条直线的位置关系的条件:
斜载式:
y=k1x+b1
y=k2x+b2
一般式:
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1·k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2且b1≠b2
A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0
重合
k1=k2且b1=b2
A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1≠0=0
4、直线L1到直线L2的角的公式:
tan=(k1k2≠-1)
直线L1与直线L2的夹角公式:
tan=||(k1k2≠-1)
5、点到直线的距离:
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=
6、两条平行的直线之间的距离:
两条平行线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离d=
7、直线系方程:
①、过定点P(x0,y0)的直线系方程:
y-y0=k(x-x0);②、平行的直线系方程:
y=kx+b;③、过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为:
A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0
8、对称问题:
点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称:
二、典例剖析:
★【例题1】、设函数(x)=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程为x=,则直线ax-by+c=0的倾斜角为(B)
ABCD
★【例题2】已知集合A={(x,y)|x=cos且y=sin,∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A∩B有两个元素,则k的取值范围是_____▲解:
画图可知,直线与半圆有两个交点,则[,0)
★【例题3】已知直线过点P(-1,2),且与以点A(-2,-3)、B(3,0)为端点线段相交,则直线L的斜率的取值范围是__(k≥5,或k≤)
三、巩固练习:
★【题1】已知两条直线和互相垂直,则等于
(A)2 (B)1 (C)0 (D)
▲解:
两条直线和互相垂直,则,∴a=-1,选D.
★【题2】已知过点和的直线与直线平行,则的值为()
ABCD
▲解:
(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)
★【题3】“”是“直线相互垂直”的(B)A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
▲【详解】当时两直线斜率乘积为,从而可得两直线垂直;当时两直线一条斜率为0,一条
斜率不存在,但两直线仍然垂直;因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
●注意:
对于两条直线垂直的充要条件①都存在时;②中有一个不存在另一个为零;
对于②这种情况多数考生容易忽略.
★【题4】若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0,b)(ab0)共线,则,的值等于1/2
★【题5】已知两条直线若,则____.
▲解:
已知两条直线若,,则2.
★【题6】已知圆-4-4+=0的圆心是点P,则点P到直线--1=0的距离是.
▲解:
由已知得圆心为:
,由点到直线距离公式得:
;
★【题7】过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.
★【题8】直线与圆没有公共点,则的取值范围是
A. B. C.D.
▲解:
由圆的圆心到直线大于,且,选A。
★【题9】.若圆上至少有三个不同的点到直线的
距离为,则直线的倾斜角的取值范围是:
A.B.C.D.
▲解:
圆整理为,∴圆心坐标为(2,2),半径为3,要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则圆心到直线的距离应小于等于,
∴,∴,∴,,∴,直线的倾斜角的取值范围是,选B.
★【题10】7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A.36 B.18 C. D.
▲.解:
圆的圆心为(2,2),半径为3,圆心到到直线的距离为>3,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6,选C.
★【题11】设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()
A.±B.±2B.±2D.±4
▲解;直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,设直线方程为,圆心(0,0)道直线的距离等于半径,∴,∴a的值±2,选B.
★【题12】如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,
l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上,
则△ABC的边长是(D):
(A)(B)(C)(D)
★【题13】如图,三定点A(2,1),B(0,-1),C(-2,1);三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
.▲解:
如图,(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,=t,知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).∴同理.
∴kDE===1-2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[-1,1].
(Ⅱ)∵=t∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t).∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2(1-2t)∈[-2,2].
即所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[-2,2]
※★【题14】已知圆M:
(x+cos)2+(y-sin)2=1,直线l:
y=kx,下面四个命题:
(A)对任意实数k与,直线l和圆M相切;(B)对任意实数k与,直线l和圆M有公共点;
(C)对任意实数,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切;(D)对任意实数k,必存在实数,使得直线l与和圆M相切;其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
▲解:
圆心坐标为(-cos,sin)d=;故选(B)(D)
※★【题15】在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,、边分别在轴、轴的正半轴上,点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使点落在线段上.(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为,试写出折痕所在直线的方程;(Ⅱ)求折痕的长的最大值.
▲解:
(Ⅰ)(i)当时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程,
(ii)当时,设A点落在线段上的点,,则直线的斜率,∵∴,∴,∴;又∵折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点);为,
∴折痕所在的直线方程,即,由(i)(ii)得折痕所在的直线方程为:
(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
由(Ⅰ)知,,∵,∴,设折痕长度为d,所在直线的倾斜角为,
(i)当时,此时A点与D点重合,折痕的长为2;(ii)当时,
设,,时,l与线段AB相交,此时,
时,l与线段BC相交,此时,时,l与线段AD相交,此时,
时,l与线段DC相交,此时,∴将k所在的分为3个子区间:
①当时,折痕所在的直线l与线段DC、AB相交,折痕的长,∴,②当时,折痕所在的直线l与线段AD、AB相交,
令,即,即,即,
∵,∴解得;令,解得,
故当时,是减函数,当时,是增函数,
∵,,∴,∴当时,,,∴当时,,③当时,折痕所在的直线l与线段AD、BC相交,折痕的长,∴,即,
综上所述得,当时,折痕的长有最大值,为.
高三数学第一轮复习:
直线方程与两直线的位置关系
【本讲主要内容】
直线方程与两直线的位置关系
直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。
【知识掌握】
【知识点精析】
1.直线斜率的概念:
(1)直线的倾斜角:
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线和x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0º。
因此,直线的倾斜角α的取值范围是0º≤α<180º。
(2)直线的斜率:
倾斜角α≠90º的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示,即k=tanα(α≠90º)。
(3)直线的方向向量:
设F1(x1,y1)、F2(x2,y2)是直线上不同的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)称为直线的方向向量。
向量=(1,)=(1,k)也是该直线的方向向量,k是直线的斜率。
(4)求直线斜率的方法:
①定义法:
已知直线的倾斜角为α,且α≠90º,则斜率k=tanα
②公式法:
已知直线过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=
③方向向量法:
若=(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率为k=
说明:
平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率。
斜率的图象如图:
2.直线方程的几种形式:
(1)点斜式:
,其特例是:
(斜截式);
(2)两点式:
,其特例是:
(截距式);
(3)一般式:
(A、B不同时为0)
说明:
使用直线方程时,要注意限制条件。
如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率;截距式的使用条件是两截距都存在且不为0;两点式的使用条件是直线不与x轴垂直,也不与y轴垂直。
3.两条直线的位置关系:
(1)当直线方程为、时,若∥,则;若、重合,则;若⊥,则。
(2)当两直线方程为时,若∥,则;若、重合,则;若⊥,则。
说明:
利用斜率来判断两条直线的位置关系时,必须是在两直线斜率都存在的前提下才行,否则就会得出错误结论,而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。
例如:
已知直线与直线互相垂直,则实数的值为()
A.-1或2B.-1或-2C.1或2D.1或-2
解析:
⊥,故选B。
4.点到直线的距离、直线到直线的距离:
(1)点P到直线的距离为:
(2)当∥,且直线方程分别为时,两直线间的距离为:
5.两直线的夹角:
若直线、的斜率分别为,则
(1)直线到的角满足:
(2)直线、所成的角(简称夹角)满足:
若直线、的斜率至少有一个不存在时,可根据图象直接求出所求的角。
6.两直线的交点:
两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。
7.对称问题:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国 名校 高中数学 题库 直线 方程