全国优质课三角函数模型的简单应用.docx

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全国优质课三角函数模型的简单应用

《三角函数模型的简单应用》教学设计

（人教A版普通高中课程标准试验教科书数学必修4第一章1.6节）

三角函数模型的简单应用

一、内容和内容解析

1.教学内容

三角函数既是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具．

本课位于人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书》数学，必修4第一章《三角函数》第6节，本节课是《三角函数模型的简单应用》的第一课时．

本节课学习的内容“三角函数模型的简单应用”是在学习了“函数模型及其应用”以及“三角函数的图象与性质”的基础上的一个新增内容，主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法，为学生以后学习回归分析做好方法上的铺垫．

教材设计本节内容的课程目标是：

让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，以使学生体会三角函数的价值和功能，增强应用意识，同时还要使学生加深理解有关知识．在安排内容时，强调数学的人文价值，突出现代信息技术与数学课程的整合．特别注重数学应用过程的完整性，加强了对问题情境和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节．这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法的认知层次，提升学生的直观想象、数学建模、数学运算等数学核心素养和培养学生良好的解题习惯．

因此基于对教材内容和课程目标的分析与理解，本节课教学设计重新整合教材并保持与教材设计的一致性，内容上选择教材P60例1，背景替换为大致成周期变化的成都月平均气温，考察已知函数模型的求解和简单应用；改编教材P62例4，背景替换为绿色环保的四川水力能源，考察函数模型的建立，求解和简单应用．这样的处理既尊重教材，又尊重学生实际．选择贴近学生生活的成都城市发展作为文化背景，提升学生的文化素养，发挥数学学科育人功能．

2.教学重点

本节课的教学重点是：

从实际问题中分析、理解、整合信息，从中发现周期变化的规律，抽象出数学关系建立三角函数模型，并使用三角函数模型解决实际问题．

二、目标和目标解析

本节课的教学目标是：

1.能够运用已知的三角函数模型解决实际问题，能够将具有周期变化规律的实际问题抽象为三角函数模型，并使用三角函数模型解决一些实际问题；

2.经历由实际问题选择、建立、求解数学模型，解决实际问题的数学建模过程，体验实际问题的特征与函数模型的关联，体验三角函数与日常生活的联系，体验三角函数模型的功能与价值，提升数学知识的应用意识．

为此选择教材中的一类问题：

解决实际生活中形如

的三角函数的应用问题作为本节课的教学内容，希望学生在探究问题的活动体验中获得对三角函数模型简单应用的深入理解．这类问题的内涵十分丰富：

（1）通过观察图象认识事物的形态变化的规律，构建恰当的函数模型，探索解决问题的思路，重点培养学生数形结合的数学思想和直观想象的核心素养；

（2）通过建立三角函数模型解决实际问题，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，重点培养学生转化与化归的数学思想和数学建模的核心素养；（3）通过合理选择运算方式解决实际问题，培养学生程序化思考问题的品质，重点培养学生函数与方程的数学思想和数学运算的核心素养．

三、教学问题诊断分析

1.学情分析

学生在高中数学必修1学习了分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数模型，也学习了函数模型应用的基本步骤与方法．经历过收集数据，观察散点图，选择函数模型，求解函数模型，运用函数模型解释检验实际问题的数学建模过程，使用过Excel、Geogebra软件等信息技术辅助学习，体会到了数形结合、函数与方程等数学思想，在数学知识与方法、数学实验操作上都具备一定的基础．同时，学生在高中必修4学习了三角函数和其他学科知识后，了解到三角函数与天文、物理、地理等学科中周期变化现象是有密切联系的．

要达成本节课的教学目标，需要学生能敏锐的发现实际问题中的三角函数模型背景，合理的分析理解数据，掌握完整的数学建模的步骤．但学生对建立和应用函数模型往往还停留在求解层面上，实际问题中的数学背景、意义，以及其中蕴含的数学思想、方法、素养的理解并不深刻．当面对利用三角函数解决具有周期变化规律的实际问题中的陌生背景、复杂数据时，学生会有畏难情绪和思维障碍；尤其是理解问题的实际背景、分析问题的复杂条件，建立和求解数学模型，检验模型的实际意义，利用模型最终分析和解决问题等环节都可能遇到一定的困难，导致实际问题的解决不能顺利完整的完成．同时，本节课对学生的信息技术辅助数学探究性学习的能力要求较高，特别是运用互联网+平板电脑操作Excel、Geogebra等数学软件，可能会遇到网络传输不流畅，反应较慢，操作不熟练等因素的影响．

因此，需要教师引导学生分析实际问题，回顾已有的处理实际问题的知识与方法，在课前熟悉互联网+平板电脑操作Excel、Geogebra等数学软件；学生采用自主探究和小组合作交流的学习模式，完善解决方案，梳理解题思路．

本节课的授课对象为成都市第十二中学理科实验班（信息技术智慧课堂班）的学生，数学基础扎实，思维较活跃，教师运用Excel、Geogebra、几何画板软件辅助教学较多，学生平板电脑信息技术辅助学习较为熟练，具有丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和提炼总结意识上还有待进一步提升．

2.教学难点

本节课的教学难点是：

分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并解决实际问题．

突破难点的策略是：

在教学时，引导学生重视分析实际问题，整理、提取和利用关键信息，抓住实际问题中的重要数据，善于提炼和处理数据，发现数据的内在规律，寻找数量之间的关系；同时借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系以及变化规律，进而建立实际问题的函数模型；最后注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行分析，做出合理的解释，最终达成突破难点的目的．

四、教学支持条件分析

1.教学策略分析

基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略：

（1）数学文化为引线：

以四川成都实际生活背景作为引入，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的文化素养，数学文化立德树人．

（2）问题探究为主线：

问题探究，层层递进．问题1（宜人的气候环境）感受实际生活中呈周期变化的三角函数问题，运用三角函数模型求解实际问题；问题2（充足清洁的水电能源）自主分析实际问题，建立三角函数模型并解决实际问题，加深对三角函数与实际生活的关联体验，掌握数学建模完整的步骤与方法，熟练运用信息技术辅助学习，体会数学思想，提高数学素养．

教学中采用问题探究式教学模式：

提出问题——解决问题——反思归纳——运用检测．学生通过独立探究活动、小组讨论修正、全班展示交流，展示探究方法和思维活动；教师通过交流追问、课堂评价，达成问题的解决：

回顾旧知（三角函数模型的求解），启迪方法（数学建模的完整步骤和辅助工具），突破难点（将实际问题抽象转化成三角函数模型），突出重点（建立、使用三角函数模型解决问题）．然后全班反思问题的解决过程，归纳本节课的数学知识、数学方法和数学思想等．最后进行运用反馈，检测学习目标和进行点检测．

学生通过自主探究，合作交流的方式掌握知识，体会思想．在分析问题时注意针对全体学生的主体认知水平，理清关键词、句子的数学关系，帮助学生顺利地建立问题特征与数学模型的关联；在学生活动阶段针对学生具体的完成情况进行指导，点评．通过课堂反馈及时进行纠正、鼓励、总结，并对学生运用检测的完成情况进行收集，整理，分析，完成《四川大学附属中学教学目标点检测表》，在课后再进行指导．

2.媒体分析

黑板：

板书教学流程及重要要点．

多媒体投影：

显示教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞．

平板电脑、Geogebra软件、Excel软件：

绘制散点图，拟合三角函数图象，拟合求解函数解析式，帮助学生对比、验证自己所求函数的正确性；借助软件的计算功能，快速准确地解决问题，体会借助现代信息技术解决问题的便利性．

五、教学过程设计

教学

环节

教学过程

学生活动

教师活动与评价

设计意图

一、提出问题

2018年1月28日，全球化与世界级城市研究小组与网络（GAWC）公布2018年世界城市体系排名，全球共有361个城市入选．其中成都以第98名的排名，连续第三次成为继“北上广深”之后的“中国大陆第五城”．

恰逢在2017年12月通过的《成都市城市总体规划（2016—2035年）（送审稿）》中，成都市也明确提出今后的城市定位：

四川省省会，国家中心城市，国际门户枢纽城市，世界文化名城．

下面让我们一起走进美丽的成都．

成都为什么能取得如此瞩目的成就呢？

其中有两个重要的原因：

一是宜人的气候环境；二是充足清洁的水电能源．

了解本节课的人文背景：

成都的发展现状；

观看图片演示，体会成都优美的自然、人文环境，激发学生对家乡的自豪感和学习兴趣．

大致讲解成都现阶段的发展成就，展示成都城市成就图片．创设情境，引出本节课核心问题．

通过展示成都的发展成就图片，激发学生的学习兴趣和求知欲．从学生的经验和已有知识出发，通过密切联系学生的实际和生活环境，创设生动有趣、有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，让学生感受到生活需要数学．

二、解决问题

一、宜人的气候环境

成都位于四川盆地的西部，河川纵横，群山环绕．属于亚热带季风性湿润气候．四季分明，夏季高温多雨，冬季温和湿润．

问题1如图，据成都气象局多年统计资料显示，成都市从1月初到7月初的月平均气温近似满足函数：

．

（1）写出这段曲线的函数解析式；

（2）根据求解出的函数解析式，预测成都全年月平均气温低于10℃的是哪些月份？

解：

（1）

；

（2）1、2、12月．

问题1

（1）、

（2）

学生独立思考，自主探究．

巡视指导，对不同的解决方法进行观察、点评．

以与学生生活密切相关的气候问题为引入，让学生初步感受实际生活中的三角函数问题，让学生通过观察曲线的几何特征，结合三角函数的图象与性质的知识、方法，独立解决问题．

借助函数图象的形态变化分析数学问题，建立数与形的联系求解函数模型．

渗透数形结合的数学思想，培养直观想象的核心素养．

问题1

（1）

（预设一）学生通过观察图象特征，结合三角函数的图形与性质，运用已经掌握的方法，求解得出函数解析式：

；

（预设二）学生通过仔细审题，发现问题要求是“写出这段曲线的函数解析式”，所以需要对函数定义域加以补充：

.

追问1：

如何根据函数

的部分图象求解特征量：

、

、

、

？

追问2：

同学们所求解出来的函数解析式是否完整？

复习回顾由图象求解三角函数解析式的基本方法．

发展学生思维的严密性，培养学生良好规范的解题习惯．

问题1

（2）

（预设一）学生利用已经解得的函数解析式，演算求解出结果：

1、2、12月．

（预设二）学生利用信息技术（Geogebra等软件）快速求解结果，验证演算结果的正确性．

点评：

利用已得函数解析式，将实际问题转化为数学问题并求解，体现了很好的函数与方程的数学思想．

点评：

使用已经学习过的信息技术是解决问题的另一种手段．并且当实际问题的数据更为复杂和变化时，利用信息技术能快速准确的解决程序化的计算问题．

通过解决一些简单的实际问题，引导学生认识到：

建立三角函数模型后，可以把握事物的周期性发展规律，预测事件的发生，使我们能够快速解决实际问题．

使用信息技术能快速准确的的解决程序化的计算问题．

渗透转化与化归、函数与方程的数学思想，培养数学运算的核心素养．

聆听、思考．

总结问题1的问题特征和解题步骤．

及时总结已知模型的三角函数应用问题的解题步骤，为反思归纳三角函数模型的简单应用的步骤做好铺垫．

二、充足清洁的水电能源

成都的城市发展需要充足的能源支持，而能源的结构会对产业的规划产生重大的影响．在《成都市城市总体规划（2016—2035年）（送审稿）》中明确提出的一个原则就是：

以能定业：

即以能源资源的供给约束和节能减排为前提，确定产业发展目录，拟定产业负面清单.这也是成都大力发展信息产业等高新产业的重要原因．而地处四川腹地的成都拥有一个全国为之羡慕的巨大优势：

充足清洁的水电能源．

问题2据国家统计局统计资料显示，2016年四川省每月水力发电量如下表所示：

月份

发电量（亿千瓦时）

月份

发电量（亿千瓦时）

1

104.737

7

297.263

2

90.003

8

310.011

3

106.569

9

295.262

4

144.779

10

254.883

5

199.992

11

200.009

6

254.857

12

144.688

（1）选用一个函数来近似描述水力发电量与时间的函数关系；

（2）2016年4-12月四川省全社会用电量y（亿千瓦时）与月份x近似满足函数：

．

①四川省在丰水期（6-10月）共需要外输水电1000亿千瓦时，则为了满足省内用电需求，共需要补充其他类型的电力（如火电、风电、光电）约多少亿千瓦时？

（精确到个位）

②4-12月期间，是否存在水力发电量不能满足省内用电需求的时候？

若是，请求出相应月份；否则，请说明理由．

解：

（1）

；

（2）①大于444亿千瓦时；

②4、12月.

聆听老师的讲解、了解成都发展的有利条件、思考水电能源可能蕴含的数学知识．

仅有宜人的气候环境还不足以让家乡成为享誉华夏的天府之国．充沛的水能从古至今不仅灌溉着千里沃土，更在现代为城市提供着强大的发展动力：

充足清洁的水电能源．

由于问题1不足以让学生深刻体验到从实际问题中抽象并建立数学模型的方法，更不足以体验到利用三角函数模型解决实际问题的完整步骤．因此重新整合教材内容，设置问题2，让学生再一次感受到三角函数模型与实际生活的关联，并在更充分体验的基础上，掌握函数模型应用的步骤，提升直观想象、数学建模、数学运算等核心素养，进一步突出重点和突破难点．

回顾函数模型应用的解题步骤和探究方法，回忆使用过的信息技术工具．将其迁移到问题2的解答过程中．

带领学生回忆在高中必修1中学习函数模型及其应用时的解题步骤和使用过的辅助工具．

回顾旧知，为有效地解决问题2作好知识、方法和工具上的铺垫．

问题2

学生独立思考，自主探究．

巡视指导，对不同的解决方法进行观察．

让学生通过描绘散点图，观察曲线几何特征，结合三角函数的相关知识、方法，独立探究解决问题．

小组合作学习、交流讨论．

指导点拨，收集不同的解决方案．

让学生在交流、探讨中实现思维火花的碰撞，完善自我的解决方案，梳理解题思路．

问题2

（1）

（预设一）学生能通过问题1的理解和对必修1.3.2函数模型的应用解题步骤的回忆，较为完整地按照：

收集数据、画散点图、选择函数模型、求函数模型、检验、解决实际问题的步骤解决问题2

（1），但是解题步骤可能不完整，需要教师引导、点评、总结．

（预设二）部分学生通过Excel软件描绘散点图，选择多项式函数进行拟合；部分学生采用平板电脑和Geogebra软件绘制散点图，选择三角函数进行拟合．并对两类函数都能较好的拟合函数产生困惑．

追问3：

根据数据做出散点图，观察图形，你们认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？

追问4：

你能否求出这个函数模型？

评价：

学生类比问题1，结合以往所学的函数模型知识，抓住散点图明显的几何特征，构造三角函数模型解决问题2

（1）．很好地体现了知识方法的迁移与应用以及良好的数学建模素养．

追问5：

为什么使用同样的数据会求得不同的结果？

我们应该如何认识这种差异和选择函数模型？

两类方法所得的函数解析式虽然从类型上不一样，而且同一类函数模型可能有不同的函数解析式，但是它们在本质是一样的：

因为多项式函数本质上就是三角函数的泰勒展开式．在检查计算后发现与实际数据可能不一致，但是并不影响解决实际问题．

评价：

同学们采用不同的方法求解出函数解析式，既体现了扎实的数学功底，也体现了应用现代信息技术解决问题的意识．两种方法都体现了很高的数学建模素养．使用现代信息技术会使得计算更便捷、准确．

帮助学生认真阅读题意，抓住关键的词句，弄清题意，建立数量关系．

引导学生根据散点图的特点选择函数模型．

再次强化数形结合的数学思想，提升直观想象的数学素养．

引导学生根据散点图及有关数据求函数解析式．

尽管问题2

（1）是三角函数模型的实际应用，但方法与步骤与此前学习的函数模型的应用是完全一致的．即便学生有一定的知识储备，但是依旧要加强对问题情境和解题思路的分析，进一步突出教学重点并突破难点．

强化转化与化归的数学思想，提升数学建模的核心素养．

建立数学模型解决实际问题，所得的模型往往是近似的，并且得到的解也是近似的．所以应该把握模型的核心特征，简化模型，优化方法．

解题后的反思开拓了学生的视野，再次激发学习兴趣．既体现了数学应用过程的完整性，还可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对相应的数学方法、数学素养的认知层次，培养学生良好的解题习惯．

由于实际问题常常涉及一些复杂的数据，因此要鼓励学生利用计算机或平板电脑处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．

问题2

（2）①

（预设一）首先通过题干数据计算出6-10四川水力发电总量，再计算出6-10月四川全社会用电总量，进而得出答案．

（预设二）个别学生认为补充的电量应该超过数值结果，因为要考虑到电力传输过程中的损耗和计算误差．

评价：

同学们的回答准确把握住了问题本质，条理清晰，计算准确．借助现代信息技术解决程序化的计算问题，大大缩短了计算时间，提高了计算的准确性．

教师引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性做出解释．

分析复杂条件，抽象数学关系，培养学生阅读抽象的能力，通过三角函数模型的实际应用，再次使学生体会到数学建模的现实指导意义．

利用平板电脑和软件快速求解复杂函数的函数值，引导学生更多的使用现代信息技术．

使学生懂得从函数模型中得到的答案，还需要检验它是否与实际意义相符．

问题2

（2）②

（预设一）学生通过平板电脑和Geogebra软件绘制出水力发电量和全社会用电量的函数图象．通过观察图象，借助软件求解交点坐标，得出答案．

（预设二）学生通过平板电脑和Geogebra软件绘制出水力发电量和全社会用电量的函数图象．通过观察图象，借助软件的计算功能，用二分法求出交点坐标的近似值．

评价：

同学们越发熟练、灵活地使用现代信息技术绘制函数图象，求解交点坐标，得出结论．更值得高兴的是有的同学用二分法求方程的近似解，旧知新用，展现了同学们扎实的功底和灵活的思维，学以致用．

强化Geogebra软件的应用意识．通过一题多解，将新知与旧知关联起来，融会贯通．

再次强化转化与化归、函数与方程的数学思想，提升数学运算的核心素养．

三、反思归纳

1.归纳步骤：

2.思想与方法：

方法：

数学建模

思想：

数形结合的思想、

转化与化归的思想、

函数与方程的思想．

基于对问题的探究和理解，对照必修1.3.2函数模型的应用解题过程的步骤，总结归纳三角函数模型的简单应用的步骤，理解由于实际问题的周期变化规律对函数模型选择的影响；强化对求解函数模型的一般步骤的理解．

揭示探究过程中的数学思想．

引导学生回顾解决问题的过程，提出该环节学习任务，师生共同反思总结、修正完善所涉及的知识、方法、思想．

在充分体验的基础上，生成逻辑连贯、前后一致的知识体系，使得研究过程中的知识、方法、思想显性化，具体化，规范化．

（预设）学生能用较为规范的语言总结三角函数模型的简单应用的步骤．在表述时可能不够完整与规范，尤其容易忽略检验数学结果的实际意义这一环节．

指出学生步骤中的不足，引导学生一起完善．

评价：

虽然本节课的实际问题因为具有周期变化规律从而选择了特殊的三角函数模型解决问题，但是从本质上与必修1.3.2函数模型的应用中总结的解题过程的步骤是一致的．

（预设）学生在解决问题的过程中感受到数与形的关联，在求解过程中借助已掌握的方法和工具，使用函数模型建立方程或不等式解决实际问题，自然生成数形结合、转化与化归、函数与方程的思想．

评价：

解决问题的过程中，我们抓住图象周期性的几何特征，寻找到图象与三角函数的关系，得到了函数解析式，从数的角度描述了几何图象，这是典型的数形结合思想；将求解方法、工具转化为已有的知识，这体现了转化与化归思想；同时运用函数解析式建立方程或不等式解决实际问题，这又是典型的函数与方程思想．

四、运用检测

（人教社A版必修4P66B组1题）

北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年中不同时期的日出和日落时间．

（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；

（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达广场？

课后收集整理数据，运用本节课所学的方法与步骤，借助信息技术解决问题．

展示求解过程．学生结合自身的答案，更正错误、完善解答过程．

（预设1）学生能够运用本节课所学的方法，收集数据，描绘散点图，根据图形特征选择三角函数拟合函数．但是在拟合过程中没有注意到时间为60进制，需要先将时间换算为10进制时刻后作为纵坐标，再描绘散点图进行拟合．

（预设2）学生拟合函数的解析式时，选择不同的数据或使用不同的拟合函数的方法，得到的结果可能不一样，但是不影响函数模型的应用．

展示交流时进行引导、评价、总结．

评价：

通过同学们的展示，我们可以感受到在三角函数模型的应用问题上，选择不同的数据或使用不同的拟合函数的方法，得到的结果可能不一样，但本质一样．在求解出方程时，一定要注意检验.

让学生完整地体会数学建模的过程．检验学生能否熟练灵活地运用所学知识求解问题．

理清解答过程，学会规范书写，强化方法的运用，训练步骤的完整性和规范性．

进一步强化数形结合、转化与化归、函数与方程的数学思想和提升直观想象、数学建模、数学运算的数学素养.

课后作业

必做作业：

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

时刻

水深/米

时刻

水深/米

时刻

水深/米

0

5.0

9

2.5

18

5.0

3

7.5

12

5.0

21

2.5

6

5.0

15

7.5

24

5.0

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）；

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口?

在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:

00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

拓展作业：

自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天．每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、1