切比雪夫FIR滤波器的设计.docx
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切比雪夫FIR滤波器的设计
学号:
0120909320309
课程设计
题目
Matlab课程设计——利用MATLAB结合双线性变换法设计一个数字切比雪夫高通IIR滤波器
学院
专业
班级
姓名
指导教师
2011年
年
11月
月
28日
日
课程设计任务书
学生姓名:
专业班级:
信息SY0901
指导教师:
工作单位:
信息工程学院
题目:
Matlab课程设计——利用MATLAB仿真软件系统结合双线性变换法设计一个数字切比雪夫高通IIR滤波器
初始条件:
Matlab基础知识、计算机
要求完成的主要任务:
1.方案的理论设计
2.方案的安装、调试
3.设计报告的撰写
时间安排:
序号
阶段内容
所需时间
1
方案设计
1天
2
电路安装调试
2天
3
撰写报告
1天
4
答辩
1天
合计
5天
指导教师签名:
2011年12月15日
系主任(或责任教师)签名:
2011年月日
目录
摘要II
AbstractIII
1数字滤波器1
1.1数字滤波器介绍1
1.2IIR数字滤波器设计原理3
1.2.1切比雪夫滤波器4
1.2.2双线性变换法6
2数字滤波器设计实现10
2.1设计步骤10
2.2程序流程图12
2.3MATLAB程序13
2.4仿真结果16
2.4.1滤波器性能仿真16
2.4.2滤波器性能验证19
3总结20
参考文献21
摘要
随着信息时代和数字世界的到来,数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。
目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。
在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器(DF,DigitalFilter)。
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统,通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。
MATLAB是英文MATrixLABoratory(矩阵实验室)的缩写。
它是美国的MathWorks公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。
它的信号处理工具箱包含了各种经典的和现代的数字信号处理技术,是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具。
在设计数字滤波器时,通常采用MATLAB来进行辅助设计和仿真。
本次基础强化训练将完成一个数字切比雪夫带通IIR滤波器的设计,利用双线性变换和无限冲激响应IIR原理完成设计,并利用MATLAB进行仿真。
关键字:
数字信号处理数字滤波器切比雪夫双线性变换MATLAB
Abstract
Withtheinformationageandtheadventofthedigitalworld,digitalsignalprocessinghasbecomeanextremelyimportantdisciplinesandtechnicalfields.Currentdigitalsignalprocessingincommunications,voice,image,automaticcontrol,radar,military,aerospace,medicalandhouseholdappliancesandmanyotherfieldshasbeenwidelyused.Indigitalsignalprocessingplaysanimportantroleandhasbeenwidelyusedindigitalfilters(DF,DigitalFilter).Digitalfilterisatimediscretesignalisusedtofilterdigitalsystem,throughthemathematicaltreatmentofthesampledatatoachievethefrequency-domainfilteringpurposes.
MATLABisinEnglishMATrixLABoratory(MatrixLaboratory)acronym.ItistheUnitedStates,MathWorkshasintroducedasetofcomputingandgraphicsprocessingforscientificvisualization,high-performancelanguageandsoftwareenvironment.Itssignalprocessingtoolboxcontainsavarietyofclassicandmoderndigitalsignalprocessingtechnology,isaverygoodalgorithmresearchandaideddesigntools.Inthedesignofdigitalfilters,itisusuallycarriedoutusingMATLAB-aideddesignandsimulation. ThebasisofintensivetrainingwillbecompletedanumberofChebyshevband-passIIRfilterdesignusingbilineartransformandinfiniteimpulseresponseIIRprincipleofthecompletionofdesignandsimulationusingMATLAB.
Keywords:
DigitalsignalprocessingdigitalfiltersChebyshevbilineartransformMATLAB
1数字滤波器
1.1数字滤波器介绍
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
时域离散系统的频域特性:
Y(ejw)=X(ejw)H(ejw),其中Y(ejw)、X(ejw)分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为频谱特性),H(ejw)是数字滤波器的单位取样响应的频谱,又称为数字滤波器的频域响应。
输入序列的频谱X(ejw)经过滤波后X(ejw)H(ejw),因此,只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的,适当选择H(ejw),使得滤波后的X(ejw)H(ejw)满足设计的要求,这就是数字滤波器的滤波原理。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性,可分为两种,即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。
IIR数字滤波器的特征是,具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型来实现,其差分方程为:
(公式1-1)
系统函数为:
(公式1-2)
设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z),使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标,即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
1.2IIR数字滤波器设计原理
IIR数字滤波器是一种离散时间系统,其系统函数为
(公式1-3)
假设M≤N,当M>N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。
IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak和bk,它是数学上的一种逼近问题,即在规定意义上(通常采用最小均方误差准则)去逼近系统的特性。
如果在S平面上去逼近,就得到模拟滤波器;如果在z平面上去逼近,就得到数字滤波器。
设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。
双线性变换
冲激响应不变法
冲激响应不变法
交换
频率
方法1
方法2
双线性变换
图1-1数字滤波器设计的两种方法
方法1:
首先设计一个模拟原型低通滤波器,然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器,最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。
方法2:
先设计一个模拟原型低通滤波器,然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器,最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。
方法一的缺点是,由于产生混叠是真,因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器,故一般采用第二种方法进行设计。
本课程设计先构造一个切比雪夫模拟低通滤波器,然后将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器,最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器。
1.2.1切比雪夫滤波器
目的:
构造一个模拟低通滤波器。
为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器,必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器,亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标,因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。
模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟,且有一些典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些典型的滤波器各有特点。
这里介绍切比雪夫滤波器。
切比雪夫滤波器特点:
误差值在规定的频段上等波纹变化。
巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的,如果阶次一定,则在靠近截止Ωc处,幅度下降很多,或者说,为了使通带内的衰减足够小,需要的阶次N很高,为了克服这一缺点,采用切比雪夫多项式来逼近所希望的|H(jΩ)|2。
切比雪夫滤波器的|H(jΩ)|2在通带范围内是等幅起伏的,所以在同样的通常内衰减要求下,其阶数较巴特沃兹滤波器要小。
切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
(公式1-4)
式中Ωc为有效通带截止频率,ε表示与通带波纹有关的参量,ε值越大通带不动愈大。
VN(x)是N阶切比雪夫多项式,定义为
(公式1-5)
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示:
N为偶数,cos2(Nπ/2)=1,得到min,
,
(公式1-6)
N为奇数,cos2(Nπ/2)=0,得到max,
(公式1-7)
图1-2切比雪夫滤波器的振幅平方特性
有关参数的确定:
a、通带截止频率:
Ωc预先给定;
b、ε与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
(公式1-8)
所以,δ=10lg(1+ε2),ε2=100.1δ-1
给定通带波纹值δ(dB)分贝数后,可求得ε2。
c、阶数N:
由阻带的边界条件确定。
Ω、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处Ωs,要求滤波器频响衰减到1/A2以上。
(公式1-9)
(公式1-10)
(公式1-11)
(公式1-12)
因此,要求阻带边界频率处衰减越大,要求N也越大,参数N,Ωc给定后,查阅有关模拟滤波器手册,就可求得系统函数Ha(s)。
1.2.2双线性变换法
目的:
将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器
为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真,这是因为从S平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。
为了克服这一缺点,可以采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T~π/T之间,再用z=esT转换到Z平面上。
也就是说,第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T~π/T一条横带里;第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。
这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,映射关系如图1-3
图1-3双线性变换的映射关系
为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上,可以通过以下的正切变换实现
(公式1-13)
式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时,Ω由-∞经过0变化到+∞,也即映射了整个jΩ轴。
将式(1-9)写成
(公式1-14)
将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,则得
(公式1-15)
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
z=es1T
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为:
(公式1-16)
(公式1-17)
式(1-10)与式(1-11)是S平面与Z平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此称为双线性变换
式(1-9)与式(1-10)的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
首先,把z=ejω,可得
(公式1-18)
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
其次,将s=σ+jΩ代入式(1-12),得
因此
(公式1-19)
由此看出,当σ<0时,|z|<1;当σ>0时,|z|>1。
也就是说,S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外,S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。
因此,稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
双线性变换法优缺点:
双线性变换法与脉冲响应不变法相比,其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。
这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。
S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周,即频率轴是单值变换关系。
这个关系如式(1-12)所示,重写如下:
(公式1-20)
上式表明,S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系,如图1-4所示。
由图1-4看出,在零频率附近,模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系;但当Ω进一步增加时,ω增长得越来越慢,最后当Ω→∞时,ω终止在折叠频率ω=π处,因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象,从而消除了频率混叠现象。
图1-4双线性变换法的频率变换关系
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的,如式(1-12)及图1-4所示。
由于这种频率之间的非线性变换关系,就产生了新的问题。
首先,一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器,不再保持原有的线性相位了;其次,这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的,即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数(这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性),不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变,如图1-5所示。
图1-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
对于分段常数的滤波器,双线性变换后,仍得到幅频特性为分段常数的滤波器,但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变,这种频率的畸变,可以通过频率的预畸来加以校正。
也就是将临界模拟频率事先加以畸变,然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。
2数字滤波器设计实现
2.1设计步骤
根据以上IIR数字滤波器设计方法,下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR高通滤波器,通带截止频率wp=0.6π,通带最大衰减Ap=1dB;阻带最小衰减As=20dB;阻带截止频率ws=0.4π,采样频率fT=1000Hz。
(1)确定性能指标
在设计高通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:
通带截止频率wp=0.6π,阻带截止频率ws=0.4π,阻带最小衰减As=20dB和通带最大衰减Ap=1dB。
(2)频率预畸变
用Ω=2/T*tan(w/2)对高通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到高通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp和阻带截止频率Ws的转换。
双线性变换法中T=1ms。
通带截止频率Ωp=(2/T)*tan(wp/2)=2.753*10^3
阻带截止频率Ωs=(2/T)*tan(ws/2)=1.453*10^3
归一化频率为:
,
,Ap=1dB,As=20dB
(3)模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标
,
,Ap=1dB,As=20dB,
由下式确定模拟高通滤波器的参数
(4)模拟低通滤波器的构造
借助切比雪夫(Chebyshev)滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)。
(5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器
调用lp2hp函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。
(6)模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器
利用双线性变换法将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通滤波器H(z)。
(7)输入信号检验滤波器性能
输入不同频率的正弦波,观察输出波形,检验滤波器性能。
2.2程序流程图
开始
↓
读入数字滤波器技术指标
↓
将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标
↓
设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率
↓
模拟域频率变换,将G(P)变换成模拟高通滤波器H(s)
↓
用双线性变换法将H(s)转换成数字高通滤波器H(z)
↓
输入信号后显示相关结果
↓
结束
图2-1程序流程图
2.3MATLAB程序
(1)数字滤波器部分
fp=300;fs=200;
Rp=1;%通带最大衰减Rp=1dB
Rs=20;%阻带最小衰减Rs=20dB
wp=fp*2*pi;%把数字域滤波器特征换成模拟滤波器特征
ws=fs*2*pi;
FS=1000;T=1/FS
%归一化数字频率
Wp=wp/(FS);
Ws=ws/(FS);
%频率预畸变:
数字域频率
wp2=2*tan(Wp/2)/T;%预畸变求滤波器通带临界频率
ws2=2*tan(Ws/2)/T;%预畸变求滤波器阻带临界频率
%设计模拟滤波器
[N,Wn]=cheb1ord(wp2,ws2,Rp,Rs,'s')
[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);%创建cheb1ord低通滤波器原型
[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k);%由零极点转换为传递函数的形式
figure
(1)
freqs(Bap,Aap);%模拟低通滤波器的频率响应
title('原形低通模拟滤波器的频率响应')
[Bbs,Abs]=lp2hp(Bap,Aap,Wn);%模拟低通变高通
figure
(2)
freqs(Bbs,Abs);
title('模拟滤波器的频率响应')
%用双线性变换法变换成数字滤波器
[Bbz,Abz]=bilinear(Bbs,Abs,FS);%双线性变换
%求其频率响应
figure(3)
freqz(Bbz,Abz,512,FS);
title('数字滤波器的频率响应')
%详细显示数字滤波器的幅频响应
[hw,w]=freqz(Bbz,Abz,512);
figure(4)
plot(w/pi,20*log10(abs(hw)));
grid
axis([0,1,-200,10])
title('数字切比雪夫高通滤波器')
xlabel('w/pi');
ylabel('幅度(dB)');
%结果仿真
wp=0.6*pi;
ws=0.4*pi;
OmegaP=2*1000*tan(wp/2);
OmegaS=2*1000*tan(ws/2);
lamdas=OmegaP/OmegaS;
N=0.5*log10((10.^(20/10)-1)/(10.^(1/10)-1))/log10(lamdas);
%算得N=3.6947;故取N=4
%计算高通的传递函数
Wn=4.8890e+003
az=[00001];
bz=[12.6133.414,2.613,1];
[Bbs,Abs]=lp2hp(az,bz,Wn)
%用双线性变换法处理í
[Bbz,Abz]=bilinear(Bbs,Abs,1000);
%画图
[hw,w]=freqz(Bbz,Abz,512);
figure(5)
plot(w/pi,20*log10(abs(hw)));
grid
axis([0,1,-200,10])
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,Ws/(pi),Wp/(pi),1]);grid
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-200,-Rs,-Rp,10]);grid
title('理论计算的滤波器的幅频响应')
xlabel('w/pi');
ylabel('幅度(dB)');
(2)输入正弦波检验性能部分
%输入正弦波波验证滤波器特性
n=0:
600;t=n/11000;
x1=2*sin(2*pi*2750*t);%正弦波信号
figure;
subplot(121);plot(x1);gridon;%500Hz正弦波波形
axis([0,10*pi,-5,5]);
xlabel('t(s)');
ylabel('x1');
title('正弦波信号');
y1=filter(Bbz,Abz,x1);%数字滤波函数输出
subplot(122);plot(y1);gridon;%数字滤波器输出波形
axis([0,10*pi,-3,3]);
xlabel('f(hz)');
ylabel('y');
title('数字滤波器输出波形');
注:
应输入一系列不同频率的正弦波进行验证,只需将x1=2*sin(2*pi*2750*t)中的2750频率值改变即可,这里取500HZ、2750HZ和5000HZ进行验证。
2.4仿真结果
2.4.1滤波器性能仿真
源程序设计了模拟低通滤波器、模拟高通滤波器与数字高通滤波器等滤波器,对各部分滤波器的性能仿真如下,下面五个图分别为模拟低通原型滤波器频率特性曲线(图2-2)、模拟滤波器特性曲线(图2-3)、数字高通滤波器幅频响应曲线(图2-4)、数字切比雪夫高通滤波器(图2-5)、理论计算的幅频响应(图2-6),可以看到各部分滤波器波形基本满足设计要求。
图2-2模拟低通原型滤波器幅频特性曲线
图2-3模拟滤波器特性曲线
图2-4数字滤波器幅频响应曲线
图2-5数字切比雪夫高通滤波器
图2-6理论计算的幅频响应
2.4.2滤波器性能验证
为了验证滤波器性能
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- 关 键 词:
- FIR 滤波器 设计