届人教B版理科数学椭圆单元测试.docx

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届人教B版理科数学椭圆单元测试

1．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷信息卷））在区间上随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为

A．B．

C．D．

【答案】B

2．（山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试）若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为

A．B．或

C．D．或

【答案】A

3．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））已知椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由△AF1B的周长为，可知.

解得，则.

设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得.即.①

又，所以，②

由①②解得：

.

所以椭圆C的方程为.故选C．

【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.

4．（湖北省荆州市2018届高三质量检查（III））设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．

【答案】

5．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模））已知椭圆的左、右顶点分别为，.

（Ⅰ）求椭圆的长轴长与离心率；

（Ⅱ）若不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点，直线与交于点，直线与交于点.求证：

直线垂直于轴.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）椭圆的方程可化为,

所以.

所以长轴长为，离心率

【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

（Ⅰ）由椭圆的方程可化为,可得，所以长轴长为，离心率；

（Ⅱ）设直线的方程为，的方程为，联立可得，同理可得，可证明且，从而可得，进而可得结果.

1．（2017新课标全国卷Ⅲ理）已知椭圆C：

的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】A

【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见的有两种方法：

①求出a，c，代入公式e＝；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

2．（2016新课标全国卷Ⅲ理）已知O为坐标原点，F是椭圆C：

的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A．B．

C．D．

【答案】A

3．（2017新课标全国卷Ⅰ理）已知椭圆C：

（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点.

【答案】

（1）；

（2）见解析.

.

由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，于是l：

，即，

所以l过定点（2，）.

【思路点拨】

（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；

（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为1，2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：

（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.

【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.

4．（2017新课标全国卷Ⅱ理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线上，且．证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【答案】

（1）；

（2）见解析．

由得，又由

（1）知，故．

所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．

【思路点拨】

（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；

（2）利用可得坐标之间的关系：

，结合

（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．

【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0．

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入（相关点）法：

动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程．

5．（2016新课标全国卷Ⅰ理）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】（I）（）；（II）.

6．（2016新课标全国卷Ⅱ理）已知椭圆E:

的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为（>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当时，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

【思路点拨】（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；

（Ⅱ）设，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求的取值范围.

【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．