精品人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 单元测试题Word含答案3套试题.docx
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精品人教版八年级数学下册第17章勾股定理单元测试题Word含答案3套试题
人教版八年级数学下册第17章勾股定理单元测试题(Word含答案)
一、相信你一定能选对!
(每小题4分,共32分)
1.三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为()
A.6B.4.5C.2.4D.8
2.下面几组数:
①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn(m,n均为正整数,m>n);④
a2,a2+1,a2+2.其中能组成直角三角形的三边长的是()
A.①②B.②③C.①③D.③④
3.三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()
A.a:
b:
c=8∶16∶17B.a2-b2=c2
C.a2=(b+c)(b-c)D.a:
b:
c=13∶5∶12
4.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是()
A.5B.25C.D.5或
6.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是()
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2
7.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为()
A.121B.120C.90D.不能确定
8.放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为()
A.600米B.800米C.1000米D.不能确定
二、你能填得又快又对吗?
(每小题4分,共32分)
9.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,则AB2+AC2+BC2=.
10.如图,是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标,由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的和等
第10题图第13题图第14题图第15题图
11.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.
12.直角三角形的三边长为连续偶数,则这三个数分别为.
13.如图,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有米.
14.如图所示,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:
mm)计算两圆孔中心A和B的距离为.
15.如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A’,使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米,同时梯子的顶端B下降至B’,那么BB’的值:
①等于1米;②大于1米5;③小于1米.其中正确结论的序号是.
16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为.
三、认真解答,一定要细心哟!
(共72分)
17.(5分)右图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段.
18.(6分)已知a、b、c是三角形的三边长,a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n为大于1的自然数),试说明△ABC为直角三角形.
19.(6分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米?
20.(6分)如图所示,某人到岛上去探宝,从A处登陆后先往东走
4km,又往北走1.5km,遇到障碍后又往西走2km,再折回向北走到4.5km处往东一拐,仅走0.5km就找到宝藏。
问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少?
A
21.(7分)如图,将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?
22.(8分)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:
“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?
”请用学过的数学知识回答这个问题.
23.(8分)如图,甲乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行,乙船向南偏东50°航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多少?
24.(10分)如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿
∠CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
C
D
BEA
25.(10分)如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,若DA=10km,CB=15km,
DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个中转
站E,使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距AAEB
多远处?
1015
D
C
26.(10分)如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km
处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
小河
北
牧童A东
答案:
1.D2.B3.A4.C5.D6.A7.C8.C
60
B小屋
9.5010.1011.
13
12.6,8,1013.2414.100mm
15.③16.m17.略
18.证a2+b2=c2,用勾股定理逆定理得∠C=90°
19.设城门高为x米,则竿长为(x+1)米,
依题意,得32+x2+(x+1)2,解得x=4,故竿长为5米
20.如图,过点B作BC⊥AD于C,则AC=2.5,BC=6,由勾股定理求得AB=6.5(km)
21.5cm22.3.75尺23.12海里/时
24.先由勾股定理求得AB=10cm,设DC=xcm,
则DE=xcm,BD=(8-x)cm,BE=4cm,(8-x)2=x2+42,解得x=3(cm)25.15km
26.如图,作出A点关于MN的对称点A′,连接A′B交MN于点P,则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中,由勾股定理求得A′B=17km
BA′
ACD
第20题图第26题图
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测
一.选择题(共10小题)
1.以下列数组为边长的三角形,恰好是直角三角形的是( )
A.4,6,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12
2.直角三角形的三边为a﹣b,a,a+b且a、b都为正整数,则三角形其中一边长可能为( )
A.61B.71C.81D.91
3.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm,高为32cm,则桶内所能容下的木棒最长为( )
A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm
4.等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为( )
A.4
B.
C.2
D.3
5.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰,底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与其他记录的数据记混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )
A.13,10,10B.13,10,12C.13,12,12D.13,10,11
6.已知命题:
等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是( )
A.该命题为假命题B.该命题为真命题
C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题
7.如图,一棵大树被大风刮断后,折断处离地面8m,树的顶端离树根6m,则这棵树在折断之前的高度是( )
A.18mB.10mC.14mD.24m
8.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为( )
A.8B.4C.6D.12
9.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若AD=
,BC=2
,△ABC
的周长为( )
A.6+2
B.10C.8+2
D.12
10.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出( )
A.2个B.3个C.4个D.6个
二.填空题(共8小题)
11.在4×4的方格中,△ABC的三个顶点均在格点上,其中AB=
,BC=2
,AC=
.则△ABC中AC边上的高的长为 .(保留根号)
12.如果三角形的三边分别为
,
,2,那么这个三角形的最大角的度数为 .
13.如图,正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16,△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3= .
14.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是 .
15.已知一个三角形的三边长分别为
,
,2,则这个三角形的面积为 .
16.请你任意写出二组勾股数 .
17.已知:
如图,四边形ABCD,AB=1,BC=
,CD=
,AD=3,且AB⊥BC.则四边形ABCD的面积为 .
18.观察下列勾股数组:
①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;….若a,144,145是其中的一组勾股数,则根据你发现的规律,a= .(提示:
5=
,13=
,…)
三.解答题(共6小题)
19.如图,在4×4的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,已知AC=2
,BC=
,画出△ABC,并判断△ABC是不是直角三角形.
20.观察下列勾股数:
3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c根据你发现的规律,请写出
(1)当a=19时,求b、c的值;
(2)当a=2n+1时,求b、c的值;
(3)用
(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并说明理由.
21.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD.
22.能够成为直角三角形边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察表格所给出的三个数a,b,c,a<b<c.
(1)试找出它们的共同点,并证明你的结论;
(2)写出当a=17时,b,c的值.
3,4,5
32+42=52
5,12,13,
52+122=132
7,24,25
72+242=252
9,40,41
92+402=412
…
…
17,b,c
172+b2=c2
23.在杭州西湖风景游船处,如图,在离水面高度为5m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m,此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少m?
(假设绳子是直的,结果保留根号)
24.如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测简答
一.选择题(共10小题)
1.C.2.C.3.C.4.C.5.B.6.B.7.A.8.C
9.A.10.D.
二.填空题(共8小题)
11.
.(保留根号)12.
13. 18 .
14.4,3,5(答案不唯一) .15.
.
16. 3、4、5,5、12、13 .17.
.18.17 .
三.解答题(共6小题)
19.如图,在4×4的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,已知AC=2
,BC=
,画出△ABC,并判断△ABC是不是直角三角形.
【分析】根据勾股定理结合网格结构,求出AB2=42+32=25,画出AC=2
,BC=
,再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形.
【解答】解:
如图,△ABC即为所求.
∵AC=2
,BC=
,
∴AC2+BC2=20+5=25,
∵AB2=42+32=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理.
20.观察下列勾股数:
3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c
根据你发现的规律,请写出
(1)当a=19时,求b、c的值;
(2)当a=2n+1时,求b、c的值;
(3)用
(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并说明理由.
【分析】
(1)仔细观察可发现给出的勾股数中,斜边与较大的直角边的差是1,根据此规律及勾股定理公式不难求得b,c的值.
(2)根据第一问发现的规律,代入勾股定理公式中即可求得b、c的值.
(3)将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律,符合则说明是一组勾股数,否则不是.
【解答】解:
(1)观察得给出的勾股数中,斜边与较大直角边的差是1,即c﹣b=1
∵a=19,a2+b2=c2,
∴192+b2=(b+1)2,
∴b=180,
∴c=181;
(2)通过观察知c﹣b=1,
∵(2n+1)2+b2=c2,
∴c2﹣b2=(2n+1)2,
(b+c)(c﹣b)=(2n+1)2,∴b+c=(2n+1)2,
又c=b+1,
∴2b+1=(2n+1)2,
∴b=2n2+2n,c=2n2+2n+1;
(3)由
(2)知,2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数,
当n=7时,2n+1=15,112﹣111=1,
但2n2+2n=112≠111,
∴15,111,112不是一组勾股数.
【点评】此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力.
21.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD.
【分析】
(1)根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm,由于∠C=90°,故∠B=∠BDE=45°,△BDE是等腰直角三角形,由勾股定理得可得BD,AC的值.
(2)由
(1)可知:
△ACD≌△AED,AC=AE,BE=DE=CD,故AB=AE+BE=AC+CD.
【解答】解:
(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=CD=4cm,
又∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
又∵∠C=90°,
∴∠B=∠BDE=45°,
∴BE=DE=4cm.
在等腰直角三角形BDE中,由勾股定理得,BD=
cm,
∴AC=BC=CD+BD=4+
(cm).
(2)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴∠ADE=∠ADC,
∴AC=AE,
又∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,比较简单.
22.能够成为直角三角形边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察表格所给出的三个数a,b,c,a<b<c.
(1)试找出它们的共同点,并证明你的结论;
(2)写出当a=17时,b,c的值.
3,4,5
32+42=52
5,12,13,
52+122=132
7,24,25
72+242=252
9,40,41
92+402=412
…
…
17,b,c
172+b2=c2
【分析】
(1)根据表格找出规律再证明其成立;
(2)把已知数据代入经过证明成立的规律即可.
【解答】解:
(1)以上各组数的共同点可以从以下方面分析:
①以上各组数均满足a2+b2=c2;
②最小的数(a)是奇数,其余的两个数是连续的正整数;
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,
如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25,92=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论:
设m为大于1的奇数,将m2拆分为两个连续的整数之和,即m2=n+(n+1),
则m,n,n+1就构成一组简单的勾股数,
证明:
∵m2=n+(n+1)(m为大于1的奇数),
∴m2+n2=2n+1+n2=(n+1)2,
∴m,n,(n+1)是一组勾股数;
(2)运用以上结论,当a=17时,
∵172=289=144+145,
∴b=144,c=145.
【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理;解答此题要用到勾股定理的逆定理:
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形.
23.在杭州西湖风景游船处,如图,在离水面高度为5m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m,此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少m?
(假设绳子是直的,结果保留根号)
【分析】在Rt△ABC中,利用勾股定理计算出AB长,再根据题意可得CD长,然后再次利用勾股定理计算出AD长,再利用BD=AB﹣AD可得BD长.
【解答】解:
∵在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=13m,AC=5m,
∴
(m),
∵此人以0.5m/s的速度收绳,10s后船移动到点D的位置,
∴CD=13﹣0.5×10=8(m),
∴
(m),
∴
)(m).
答:
船向岸边移动了
)m.
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
24.如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求港口A到海岛B的距离;
(2)B岛建有一座灯塔,在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔?
【分析】
(1)作BD⊥AE于D,构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD,利用DA和DC之间的关系列出方程求解.
(2)分别求得两船看见灯塔的时间,然后比较即可.
【解答】解:
(1)过点B作BD⊥AE于D
在Rt△BCD中,∠BCD=60°,设CD=x,则BD=
,BC=2x
在Rt△ABD中,∠BAD=45°
则AD=BD=
,AB=
BD=
由AC+CD=AD得20+x=
解得:
x=10
+10
故AB=30
+10
答:
港口A到海岛B的距离为
海里.
(2)甲船看见灯塔所用时间:
小时
乙船看见灯塔所用时间:
小时
所以乙船先看见灯塔.
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用,解答此类题目的关键是构造出直角三角形,利用解直角三角形的相关知识解答.
八年级数学下册第17章测试勾股定理
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5B.6,8,10
C.
,2,
D.5,12,13
2.已知命题:
等边三角形是等腰三角形,则下列说法正确的是( )
A.该命题为假命题B.该命题为真命题
C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题
3.如图是一扇高为2m,宽为1.5m的门框,李师傅有3块薄木板,尺寸如下:
①号木板长3m,宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是( )
A.①号
B.②号
C.③号
D.均不能通过
4.下面各三角形中,面积为无理数的是( )
5.已知一个三角形的三个内角的比是1∶2∶1,则这三个内角对应的三条边的比是( )
A.1∶1∶
B.1∶1∶2
C.1∶
∶1D.1∶4∶1
6.(甘孜中考)如图,点D在△ABC的边AC上,将△ABC沿BD翻折后,点A恰好与点C重合.若BC=5,CD=3,则BD的长为( )
A.1B.2C.3D.4
7.(黔东南中考)如图,将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若AC=
,∠B=60°,则CD的长为( )
A.0.5B.1.5C.
D.1
8.如图,圆柱的底面周长为6cm,高为6cm,AC是底面圆的直径,点P是母线BC上的一点,且PC=
BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是( )
A.(4+
)cmB.5cmC.3cmD.7cm
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(无锡中考)写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题:
____________.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,AB=10,BC=____________.
11.如图,三个正方形的面积分别为S1=3,S2=2,S3=1,则在分别以它们的一边为边围成的三角形中,∠1+∠2=____________度.
12.在平静的湖面上,有一朵红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵贴到水面,已知红莲移动的水平距离为2m,则这里的水深是____________m.
13.如图,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BP
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