第26章 二次函数综合训练含答案.docx
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第26章二次函数综合训练含答案
二次函数综合训练
基础•巩固
1.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列那幅图刻画()
2.一位篮球运动员站在罚球线后投篮,球入篮得分.下列图象中,可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内,篮球的高度h(米)与时间t(秒)之间变化关系的是()
3.在排球赛中,一队员站在边线发球,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面1.9米,当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米,已知球场长18米,问这样发球是否会直接把球打出边线?
4.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.
5.在一场篮球赛中,队员甲跳起投篮,当球出手时离地高2.4米,与球圈中心的水平距离为7米,当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线,球圈距地面3米,问此球是否投中(假设球圈直径为45cm,篮球的直径为25cm,篮球偏离球圈中心10cm以内都能投中)?
.综合•应用
6.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,则ac的值是__________.
7.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但放养一天需各种费用400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额Q元,写出Q关于x的函数关系式;
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?
最大利润是多少?
8.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
\
9.我市某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示.
图26.3-11①图26.3-11-②
(1)直接写出图①中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?
(说明:
市场销售单价和种植成本单价的单位:
元/500克.)
回顾•展望
10.连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥,它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度AB为280米,距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系.
图①图②
(1)求抛物线的解析式;
(2)正中间系杆OC的长度是多少米?
是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半?
请说明理由.
11.(福建南平模拟)某公司年1—3月的月利润y(万元)与月份x之间的关系如图所示图中的折线可近似看作是抛物线的一部分.
(1)根据图象提供的信息,求出过A、B、C三点的二次函数关系式;
(2)公司开展技术革新活动,定下目标:
今年6月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6月份公司预计将达到多少万元?
(3)如果公司1月份的利润率为13%,以后逐月增加1个百分点.已知6月上旬平均每日实际销售收入为3.6万元,照此推算6月份公司的利润是否会超过
(2)中所确定的目标?
(成本总价=利润利润率,销售收入=成本总价+利润)
思路解析:
被踢出的足球运动路径为抛物线.
答案:
B
思路解析:
投出的篮球运动路径为抛物线.
答案:
D
思路解析:
先建立坐标系,如图,根据已知条件求出抛物线的解析式,再求抛物线与x轴的交点坐标(横坐标为正),若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.
解:
以发球员站立位置为原点,球运动的水平方向为x轴,建立直角坐标系(如图).
由于其图象的顶点为(9,5.5),设二次函数关系式为y=a(x-9)2+5.5(a≠0),由已知,这个函数的图象过(0,1.9),可以得到1.9=a(0-9)2+5.5.
解得
.
所以,所求二次函数的关系式是y=
(x-9)2+5.5.
排球落在x轴上,则y=0,因此,
(x-9)2+5.5=0.
解方程,得x1=9+
≈20.1,x2=9-
(负值,不合题意,舍去).
所以,排球约在20.1米远处落下,
因为20.1>18,
所以,这样发球会直接把球打出边线.
思路解析:
建立适当的坐标系可以简化解题步骤.先建立如图26.3-13.2的坐标系,根据已知条件求出抛物线的解析式,再求抛物线上纵坐标为2.8的点之间的距离,若这个距离大于汽车装货宽度,就可判断汽车能顺利通过大门.
解:
如图,以大门地面的中点为原点,大门地面为x轴,建立直角坐标系.根据对称性,设二次函数关系式为y=a(x+2)(x-2)(a≠0),
由已知,这个函数的图象过(0,4.4),可以得到4.4=a(0+2)(0-2).
解得a=-1.1.
所以所求二次函数的关系式是y=-1.1x2+4.4.
当y=2.8时,有-1.1x2+4.4=2.8.
解方程,得x1≈1.21,x2≈-1.21.
因为2×1.21>2.4,
所以,汽车能顺利通过大门.
思路解析:
建立坐标系,用函数观点判断球圈中心点是否在抛物线上.
解:
以队员甲投球站立位置为原点,球运动的水平方向为x轴,建立直角坐标系.
由于球在空中的路径为抛物线,其图象的顶点为(4,4),
设二次函数关系式为y=a(x-4)2+4(a≠0),
由已知,这个函数的图象过(0,2.4),可以得到2.4=a(0-4)2+4.
解得a=-0.1.
所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4.
当x=7时,y=-0.1(x-4)2+4=3.1.
因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.
答:
这个球能投中
思路解析:
图中,正方形和抛物线都关于y轴对称,欲求ac的值,需求抛物线的解析式,点A、B、C都在抛物线上,它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m,则A(0,
)、B(
,
)、C(
,
),把A、B的坐标值代入y=ax2+c中,得a=
,
,所以
.
答案:
2
思路解析:
(1)市场价每天上升1元,则P=30+x;
(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和,活蟹数量每天减少10千克,死蟹数量跟放养天数成正比;
(3)根据利润计算式表达,可设利润为w元,用函数性质解决.
答案:
(1)P=30+x.
(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20·10x=-10x2+900x+30000.
(3)设利润为w元,则
w=(-10x2+900x+30000)-30·1000-400x=-10(x-25)2+6250.
∵-10<0,
∴当x=25时,w有最大值,最大值为6250.
答:
经销商将这批蟹放养25天后出售,可获得最大利润.
思路解析:
用方程或函数考虑.设其中一段长为xcm,列出面积和的表达式,构成方程或函数,用它们的性质解决问题.
方法一:
(1)解:
设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm.
由题意得
.
解得x1=16,x2=4.
当x1=16时,20-x=4;当x2=4时,20-x=16.
答:
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.
(2)不能.理由是:
.
整理,得x2-20x+104=0.
∵Δ=b2-4ac=-16<0,
∴此方程无解,
即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
方法二:
剪成两段后其中一段为xcm,两个正方形面积的和为ycm2.
则
(x-10)2+12.5(0 当y=17时,有 (x-10)2+12.5=17. 解方程,得x1=16,x2=4. 当x1=16时,20-x=4;当x2=4时,20-x=16. 答: 这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm. (2)不能.理由是: 函数y= (x-10)2+12.5中,a= >0,当x=10时,函数有最小值,最小值为12.5. ∵12<12.5, 所以不能剪成两段使得面积和为12cm2. 思路解析: 从图形中得出相关数据,用分段函数表示市场销售单价,种植成本是一段抛物线,再分别计算各时段的纯收益单价,比较得出结论. 解: (1)①当0≤x≤120时,y= +160; ②当120≤x≤150时,y=80; ③当150≤x≤180时,y= +20. (2)设z=a(x-110)2+20, 把x=60,y= 代入, =a(60-110)2+20,解得 . 所以 (x-110)2+20,即 (0≤x≤180). (3)设纯收益单价为w(元),则 ①当0≤x≤120时,w=( x+160)-( )= (x-10)2+100, ∵ ∴当x=10时,w有最大值,最大值为100(元). ②当120≤x≤150时,w=80-( )= (x-110)2+60, ∵ ∴当x=110时,w有最大值,最大值为60(元). ③当150≤x≤180时,w=( x+20)-( )= (x-170)2+56, ∵ ∴当x=170时,w有最大值,最大值为56(元). 综上所述,第10天上市的绿茶纯收益单价最大. 思路解析: (1)根据抛物线的对称性,设抛物线的解析式为y=ax2+c,由点A(或点B)和EF的位置坐标,列出方程组,求出解析式. (2)OC的长由抛物线与y轴交点可以得到. 图中系杆的横坐标都应该是5的整数,判断图象上纵坐标为OC长一半的点的横坐标是否是5的倍数.令函数式的值为OC长的一半,列方程解出对应的x值,再进行判断. 解: (1)设抛物线的解析式为y=ax2+c ∵B(140,0),E(70,42),∴ 解得a= c=56. ∴y= x2+56. (2)当x=0时,y= x2+56=56.∴OC=56(米). 设存在一根系杆的长度是OC的一半,即这根系杆的长度是28米. 则28= x2+56,解得 . ∵相邻系杆之间的间距均为5米,最中间系杆OC在y轴上, ∴每根系杆上的点的横坐标均为整数. ∴ 与实际不符. ∴不存在一根系杆的长度是OC的一半. 思路解析: 先根据图象用待定系数法求出月利润与月份之间的函数关系式,再根据解析式计算. 计算图象中6月份的利润,计算按1个百分点增长的利润,比较大小. 解: 设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c,依题意,得 解得a= ,b=- ,c=3. ∴y与x之间的函数关系式为y= x2- x+3. (2)当x=6时,解得y=18.∴预计6月份的利润将达到18万元. (3)6月份的利润率为: 13%+5×1%=18%. 6月份的实际销售收入为: 3.6×30=108(万元). 解法一: 设6月份的实际利润为x万元,依题意,得 +x=108. 解得x≈16.7(万元). ∵16.7<18, ∴6月份的利润不会达到原定目标. 解法二: 6月份预计销售收入: +18=118(万元). ∵108<118, ∴6月份的利润不会达到原定目标.
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