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圆方程高考历年真题精选
圆与方程高考真题精选
2009年考题
1.(2009辽宁)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()
2222
(A)(x1)2(y1)22(B)(x1)2(y1)22
(C)(x1)2(y1)22(D)(x1)2(y1)22
【解析】选B.圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2
即可.
2.(2009浙江)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()
A.3B.4C.5D.6
345
【解析】选B.由于3,4,5构成直角三角形S,故其内切圆半径为r=1,当该圆运动时,最多与直角三角形S的两边也有4个交点。
3.
(2009上海).过圆C:
(x1)2(y1)21的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AOB被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积满足SS¥SS|||,则直线AB有()
(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条
【解析】选B.由已知,得:
SIVSIISIIISI,,第II,IV部分的面积是定值,所以,
SIVSII为定值,即SIIISI,为定值,当直线AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位置符合题意,即直
线AB只有一条,故选B。
4.(2009湖南)已知圆C1:
(x1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线xy10对称,则圆C2的方程为()
a1b1
解析】选B.设圆C2的圆心为(a,b),则依题意,有
22
b1
1
a1
解得:
a2,对称圆的半径不变,为1,故选B.
5.(2009陕西高考)过原点且倾斜角为
b2
60的直线被圆学x2y24y0所截得的弦长为科网
6.(2009重庆高考)直线yx1与圆x2y21的位置关系为(
选B。
解析】选A.方法1(直接法):
设圆心坐标为(0,b),则由题意知(01)2(b2)1,解得b2,
故圆的方程为x2(y2)21。
方法2(数形结合法):
由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为
x2(y2)21方法3(验证法):
将点(1,2)代入四个选择支排除B,D,又由于圆心在y轴上,排除C。
8.(2009上海高考)过点P(0,1)与圆x2y22x30相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是()
(A)x0.(B)y1.(C)xy10.(D)xy10.
【解析】选C.点P(0,1)在圆x2y22x30内,圆心为C(1,0),截得的弦最长时的直线为CP,方程是xy1,即xy10。
11
9.(2009广东高考)以点(2,1)为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是.
【解析】将直线xy6化为xy60,圆的半径r|216|5,112
2225
所以圆的方程(x2)2(y1)2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
答案:
(x2)2(y1)225
2
10.(2009天津高考)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a>0)的公共弦的长为23,则aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m。
【解析】由知x2y22ay60的半径为6a2,由图可知6a2(a1)2(3)2解之得a1
答案:
1.
11.(2009全国Ⅱ)已知AC、BD为圆O:
x2y24的两条相互垂直的弦,垂足为M1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为。
【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22OM23.
四边形ABCD的面积S1|AC||BD|2(4d12)(4-d22)
2
2(1d2)(4-d2)2(d2-23)245
0d223
当d223时S四边形ABCD有最大值为5.
2
答案:
5.
12.(2009全国Ⅱ)已知圆O:
x2y25和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成
的三角形的面积等于
1
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1),即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别
2
51525
是5和5,所以所求面积为15525。
2224
答案:
25
4
13.(2009湖北高考)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,
则线段PQ的长为。
【解析】可得圆方程是(x3)2(y4)25又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ4
答案:
4
2222
14.(2009四川高考)若⊙O1:
x2y25与⊙O2:
(xm)2y220(mR)相交于A、B两点,
且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.w
【解析】由题知O1(0,0),O2(m,0),且5|m|35,又O1AAO2,所以
m2(5)2(25)225m5,∴AB25204。
5
答案:
4.
x12cos
15.(2009福建高考)已知直线l:
3x+4y-12=0与圆C:
(为参数)试判断他们的公
y22sin
共点个数.
【解析】圆的方程可化为(x1)2(y2)24.
其圆心为C(1,2),半径为2.
圆心到直线的距离d|3
(1)4212|72
32425
故直线与圆的公共点个数为2.
答案:
2
x4cost,x8cos,
16.(2009海南、宁夏高考)已知曲线C1:
(t为参数),C2:
(为参
y3sint,y3sin,
数)。
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线
2
2
解析】(
Ⅰ)C1:
(x4)2(y3)21,C2:
6x4y91.
C1为圆心是(4,3),半径是1的圆.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(Ⅱ)当t时,P(4,4).Q(8cos,3sin),故M(24cos,23sin).
22
2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
化简得:
24k27k0,k0或k
24
求直线l的方程为:
y0或y7(x4),
24
即y0或7x24y280
(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为:
由垂径定理,得圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
化简得:
(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5
资料
关于k的方程有无穷多解,有:
2mn0m-n+8=0
或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
mn30m+n-5=0
解之得:
点P坐标为(3,13)或(5,1(2,2)(2,2
2008年考题
1、(2008山东高考)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x3y0和x轴相切,则该圆的标准方程是()
27222
A.(x3)2(y)21B.(x2)2(y1)21
C.(x1)2(y3)21D.(x3)2(y1)21
2
【解析】选B.设圆心为(a,1),由已知得d|4a3|1,a2(舍1).
52
2、(2008广东高考)经过圆x22xy20的圆心C,且与直线xy0垂直的直线方程是()
A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0
【解析】选C.易知点C为(1,0),而直线与xy0垂直,我们设待求的直线的方程为yxb,将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1,故待求的直线的方程为xy10(或由图象快速排除得正确答案)。
3、(2008山东高考)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()
A.106B.206C.306D.406
【解析】选B。
将方程化成标准方程(x3)2(y4)225,过点(3,5)的最长弦(直径)为AC10,最短弦为BD2521246,S1ACBD206.
2
4、(2008全国Ⅰ)若直线xy=1与圆x2y21有公共点,则()
ab
A.a2b21B.a2b21C.12121D.12121
a2b2a2b2
【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断,由相切或相交得:
dr,
d1111,(1a)2(b1)21.
(a1)2(1b)2ab
ab
5、(2008安徽高考)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点,则直线l的斜率的取
值范围为()
即kxy4k0,直线l与曲线(x2)2y21有公共点,
得4k2k21,k23133k33.
当Q在上时,左上的点不在圆上,
不存在其它优于Q的点,Q组成的集合是劣弧。
7、(2008天津高考)已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称.直线3x4y110与圆C
相交于A,B两点,且AB6,则圆C的方程为.
【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题,圆中有关弦长的计算两方面的知识.
答案:
x2(y1)218
8、(2008宁夏海南高考)已知mR,直线l:
mx(m21)y4m和圆C:
x2y28x4y160.
(Ⅰ)求直线l斜率的取值范围;
1
(Ⅱ)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为1的两段圆弧?
为什么?
2【解析】(Ⅰ)k2m,km2mk0(),
m21
11mR,∴当k≠0时≥0,解得≤k≤且k≠0
22
11
又当k=0时,m=0,方程()有解,所以,综上所述1≤k≤1
22
1(Ⅱ)假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为1的两段圆弧.设直线l与圆C交于A,B两点
2
则∠ACB=120°.∵圆C:
(x4)2(y2)24,∴圆心C(4,-2)到l的距离为1.
4m2(m21)4m
故有2221,整理得3m45m230.
m2(m21)2
∵524330,∴3m45m230无实数解.
1
因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.
2
9、(2008江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.
(Ⅰ)求实数b的取值范围;
(Ⅱ)求圆C的方程;
(Ⅲ)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?
证明你的结论.
【解析】(Ⅰ)令x=0,得抛物线于y轴的交点是(0,b)
2
令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b
令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得E=-b-1
所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0
(Ⅲ)圆C必过定点(0,1),(-2,1)
证明如下:
将(0,1)代入圆C的方程,得左边=02+12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0
所以圆C必过定点(0,1);
同理可证圆C必过定点(-2,1).
BD所在直线的斜率
10、(2008北京高考)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x23y24上,对角线为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
Ⅱ)当ABC60时,求菱形ABCD面积的最大值.
解析】(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为yx1.
因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.于是可设直线AC的方程为yxn.
22x23y24yxn
22
得4x26nx3n240
因为A,C在椭圆上,
所以12n2640,解得43n43.
33
设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
3n3n24
则x1x2,x1x2,y1x1n,y2x2n.
24
所以y1y2n2.
所以AC的中点坐标为3n,n.
44
由四边形ABCD为菱形可知,点3n,n在直线yx1上,
44
所以n3n1,解得n2.
44
所以直线AC的方程为yx2,即xy20.
(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且ABC60,所以ABBCCA.
11、(2008湖北高考)如图,在以点
所以当n0时,菱形ABCD的面积取得最大值43.
O为圆心,|AB|4为直径的半圆ADB中,
ODAB,P是半圆弧上一点,POB30,曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
若△OEF的面积不.小.于.22,求直线l斜率的取值范围.
【解析】(Ⅰ)方法1:
以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,
0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=(23)212(23)212=22<|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
22
则c=2,2a=22,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为xy1.
22
MA|-|MB|=|PA|-|PB|<|AB|=4.
方法2:
同方法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
22
设双曲线的方程为x2y21(a>0,b>0).
a2b2
(3)2121
则由a2b2解得a2=b2=2,
a2b24
22
∴曲线C的方程为xy1.
22
图1
图2
(Ⅱ)方法1:
依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-K2)x2-4kx-6=0.①
k1
3).
1k20
(4k)246(1k2)0
∴k∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,
EF|=(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2
=1k2
2
(x1x2)4x1x2
1k2223k2
而原点O到直线l
的距离d=2
122223k2223k21k
若△OEF面积不小于22,即S△OEF22,则有
223k2
22k4k220,解得2k2.
∪(1,2].
综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-2,-1)∪(-1,1)方法2:
依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-K2)x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,
1k20k1∴22
(4k)246(1k2)03k3
∴k∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3).
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
x1-x2|=(x1x2)24x1x22
1k2
当E、F在同一支上时(如图1所示),
若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有
2232k22k4k220,解得2k2.
1k2
综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2].
2007年考题
22
解析】选C.若圆x2y22x4y0的圆心(1,2)到直线xya0的距离为
|12a|2
a=2或0,选C。
2、(2007上海高考)圆x2y22x10关于直线2xy30对称的圆的方程是()
221221
A.(x3)2(y2)2B.(x3)2(y2)2
22
C.(x3)2(y2)22D.(x3)2(y2)22
【解析】选C.圆x2y22x10(x1)2y22,圆心(1,0),半径2,关于直线2xy30
对称的圆半径不变,排除A、B,两圆圆心连线,线段的中点在直线2xy30上,C中圆
(x3)2(y2)22的圆心为(-3,2),验证适合,故选C。
3、(2007湖北高考)已知直线xy1(a,b是非零常数)与圆x2y2100有公共点,且公共点的ab
横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有()
A.60条B.66条C.72条D.78条
【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,
而圆x2y2100上的整数点共有12个,分别为6,8,6,8,8,6,
8,6,10,0,0,10,前8个点中,过任意一点的圆的切线满足,有8条;12个点中过任意两点,
2
构成C12266条直线,其中有4条直线垂直x轴,有4条直线垂直y轴,还有6条过原点(圆上点的对称性),故满足题设的直线有52条。
综上可知满足题设的直线共有52860条,选A.
4、(2007湖北高考)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为
A.1B.22
C.7D.3
解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距
离为d=|301|22,圆的半径为1,故切线长的最小值为d2r2817,选C.
2
5、(2007重庆高考)若直线ykx1与圆x2y21相交于
且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为
(A)3或3(B)3
(C)2或2(D)2
【解析】选A.如图,直线过定点(0,1),
OPQ30,1120,260,k3.
xt3
6、(2007广东高考)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为xt3y3t
(参数t∈R),圆C的参数方程为x2cos(参数[0,2]),则圆C的圆心坐标为,圆心到
y2sin2
直线l的距离为.
【解析】直线的方程为x+y-6=0,d=|26|22;
2
答案:
(0,2);22.
7、(2007广东高考)[几何证明选讲选做题]如图所示,圆O的直径为6,C为圆周上一点。
BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=;线段AE的长为。
【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余,很容易得到答案,AE=EC=BC=;3
答案:
;3。
6
8、(2007天津高考)已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A,B两点,则直线AB的方程
【解析】两圆方程作差得x3y0.
答案:
x3y0
9、(2007山东高考)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都
相切的半径最小的圆的标准方程是.
【解析】曲线化为(x6)2(y6)218,其圆心到直线xy20的距离为
662
52.所求的最小圆的圆心在直线
yx上,其到直线的距离为
2,圆心坐标为(2,2).标准方程为(x2)2(y2)22。
8
6
5
10
答案:
(x2)2(y2)22
22
10、(2007上海高考)已知圆的方程x2y11,P为圆上任意一点(不包括原点)直线OP的倾斜角为弧度,OPd,则df的图象大致为
【解析】OP2cos()2sin,(0,)2
答案:
11、(2007湖南高考)圆心为(1,1)且与直线xy4相切的圆的方程是.
【解析】半径R=|114|2,所以圆的方程为(x1)2(y1)22
2
答案:
(x1)2(y1)22
12、(2007江西高考)设
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