运筹学例题解析.docx
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运筹学例题解析
标记,不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向,
目标求数只程画下其中一条等值线,
顶点用大写英文字母标记。
1.各个约束条件的边界及其方向如图
';A(5,0
4
3
C
5x2
汨(1,3
2X1+X2<5
B(1,3)和0(0,0)。
X2>3x1
1中直线和箭头所示,其中阴影部分为可
行域,由直线相交可得其顶点
A(5,0)、
2.画出目标函数的一条等值线CD
2x1+X2=0,它沿法线向上平移,目标函数值
-2-1-1
X1
(一)线性规划建模与求解
B.样题:
活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1
单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息,乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问:
在5小时
内,甲、乙两种产品各生产多少单位,才能够使得总销售利润最大
要求:
1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值,并写出解的判断依据。
如果不存在最优解,
也请说明理由。
解:
1、
(1)设定决策变量:
设甲、乙两种产品分别生产X1、X2单位
(2)目标函数:
maxz=2x1+X2
2x1X25
⑶约束条件如下:
s.tX23X
X1,X20
1所示,其中可行域用阴影部分
2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图
结论:
本题解的情形是:
无穷多最优解,理由:
目标函数等值线z=2X1+X2与
约束条件2x1+X2w5的边界平行。
甲、乙两种产品的最优产量分别为(5,0)或(1,3)单位;
最大销售利润值等于5百元。
(二)图论问题的建模与求解样题
A.正考样题(最短路问题的建模与求解,清华运筹学教材编写组第三版267-268页例
13)某企业使用一台设备,每年年初,企业都要做出决定,如果继续使用旧的,要付维修费;若购买一台新设备,要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入,连续使用1年、2年、
3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的
更新计划,使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求:
(1)建立
某种图论模型;
(2)求出最少总支出金额。
表2
枪畚吋购匹絲乌草條霽(单注:
万
那1年
工2旷
需J年
牌畑
II
"Ti
12
12B
机81督非
0电1
172
27
344S
it惰烧
a
n10
解:
(1)建立图论一一最短路问题模型。
1设点V表示第i年年初,虚设一个点V6,表示第五年年底;
2弧(Vi,Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉
并获得残值收入;
3弧(Vi,V)上的权数表示第i年初购进一台设备,一直使用到第j年初所需支付的购
买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用(单位:
万元)。
例如:
弧(V1,V4)上的费用权数
(2)用Dijkstra法求解从V1到V的最短路。
给起点V1标号(0,v1);
={V1};J={v2,v3,v4,v5,v6}弧集合{[v1,v2]、[v1,v3]、[v1,v4]、[v1,v5]、[v1,v6]}
S12=l1+b12=0+8=8;s13=11+b13=0+16=16;s14=11+b14=0+27=27;
S15=l1+b15=0+41=41;s16=l1+b16=0+59=59
min{s12,s13,s14,s15,s16}=min{8,16,27,41,59}=8=s
12=l2
•••给V2标号(8,vi)
={v1,v2}J={v3,v4,v5,v6}
弧集合{[v1,V3]、[v1,V4]、[v1,V5]、[v1,V6]、[v2,v3]、[v2,v4]、[v2,v5]、[V2,V6]}
s23=l2+b23=8+8=16;s24=l2+b24=8+16=24;s25=l2+b25=8+27=35;s26=l2+b26=8+41=49
■/min{si4,si5,si6,s23,s24,s25,s26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16=S13或S23=l3,
任选一个si3,选择给V3标号(16,vi)。
={v1,v2,v3}J={v4,v5,v6}弧集合{[v1,v4]、[v1,v5]、[v1,v6]、[v2,v4]、[v2,v5]、[v2,v6]、
[v3,v4]、[v3,v5]、[v3,v6]}
s34=l3+b34=16+9=25;s35=l3+b35=16+27=35;s26=l2+b26=8+41=49
min{si4,si5,si6,s24,s25,s26,s34,s35,s36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s24=14
•••给V4标号(24,v2)
={v1,v2,v3,v4}J={v5,v6}弧集合{[v1,v5]、[v1,v6]、[v2,v5]、[v2,v6]、
[v3,v5]、[v3,v6]、[v4,v5]、[v4,v6}
s45=l4+b45=24+9=33;s46=l4+b46=24+17=41
■/min{s©s16,s25,s26,s35,s36,s45,s46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s45=l5.•.给V5
标号(33,v4)
={v1,v2,v3,v4,v5}J={v6}弧集合{[v1,v6]、[v2,v6]、[v3,v6]、[v4,v6]、[v5,v6]}
s56=l5+b56=33+10=43■/min{s16,s26,s36,s46,s56}=min{59,49,49,41,43}=41=s46=16•••给V6
标号(41,v4)
={①}J={①}计算终止。
由终点V6标号反向追踪,可得到V1到V6的最短路:
V12^V4^V6,长度为丨6=41,即5
年内该设备的最小总支出金额为41万元。
B.考题复习知识点:
1.最短路问题求解的基本思想请查阅课本或其他参考书籍,自行简答总结。
2.掌握用上述“Dijkstra标号法”求解的步骤和处理方法,考试时书写格式请参照本样题。
3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。
考试题比此题计算量小。
4.掌握图论问题建模的程序,会说明图论模型各组分(弧或边、节点、权数)的实际涵义。
(三)动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求
解)
A.正考样题及其解答:
某厂设计一种电子设备,由三种元件D、D2、D3组成。
已知
这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4,要求在设计中所使用元件的费用不超过
105元,重量不超过21克。
问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
解:
(1)建立动态规划模型
1按元件的种类数划分阶段,k=1,2,3。
每阶段阶段第k种元件并联几个。
2状态变量xk表示第k阶段初尚未使用的费用;状态变量yk表示第k阶段初剩余的可
增加重量。
显然X1=105,y1=21,xk>O,yk>0。
③决策变量Uk表示第k阶段元件D并联的个数。
允许决策集合:
Dk(xk,yk)=uk
Xk-Ckyk-wk
1 ckwk Xy 1 C3W3 Ck表示第k种元件的单位费用;w表示第k种元件的单位重量; 4状态转移方程: Xk+1=xk-ck•uk;yk+1=yk-Wk•uk。 H ckU)=1-(1-Pk)* 5阶段指标函数dk(Uk)表示元件B正常工作的概率;最优指标函数fk(Xk,yk) 表示从元件D到元件D正常运行的最大概率。 6逆序解法的基本方程如下: fk(xk,yk)max、dk(Uk)fk1(xk1,yk1)k=3,2,1 UkDk(x<,yk) 彳4(“4)1 (2)用逆序解法求解 ①第3阶段,k=3 f3(X3」3)=max X3y3 1旬3《min['],[] 205 d3(U3) 1-(1- 0.5) U3 ②第2阶段,k=2 f2(X2,y2)max。 y Ku? vmin([: 仆],七 5])[1-(1-0.8)U2]f3(X2沁必W2U2) 3第1阶段,k=1u ],[屮 f1(X1,yJXmax5y54[1-(1-0.9)U1]f2(X130u1,y3uJ X12015y154 1 303 4由于xi=105,y1=21,故问题为求出f1(105,21)即可。 而 fi(105,21) max[1-(1-0.9)U1]f2(10530u1,213u1) ],[ 10520152154」2'1,1f 1 303 max0.9f2(75,18),0.99f2(45,15) 1 f2(75,18) max 7520 18」⑴0.8)U2] f3(75 15u2,184u2) f2(45,15) max 4520155 1©2 2154 [1 ]) -(1- 0.8) U2]f3(4515u 2,15 4U2) = max0.8f3(30,11) U21 0.8f3(30,11) f3(60,14) max[1 1 ]) 205 (1- 1 0.5) U3] max(0.5,0.75) 1 0. 75 f3(45,10) max[1 451011 1 3盯丁 -(1- -0.5) U3] max(0.5,0. 1 75) 0.75 f3(30,6) max[1- (1- 0.5) U3] max(0.5)0 .5 1 205 u3=1 f3(30,11) max[1 3011 1 205 -(1- 0.5) U3] max(0.5) U3=1 0.5 f2(45,15) 0.8f3(30,11) 0.8 0.5 0.4 ],[ 0.992 f3(30,6) 12Wmin([ max0.8f3(60,14),0.96f3(45,10), 1 15 f2(75,18)=max0.80.75,0.960.75,0.9920.5 0.72 f1(105,21)=max0.90.72,0.990.40.648 状态转移图如下: * I <1*1(105^1)=0.* 酚議2 TCj-1=2-151»2v»—v>-4u> 尉段1 结论: 求得U1=1,u2=2,u3=2为最优方案,即Di、D2、D3三种元件分别并联1个、2个和2个。 总费用为100元,总重量为21克,可靠性为。 B.正考复习知识点: 1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。 文字说明方面: 准确说明各种变量的 实际涵义;数学表达方面: 能正确、规范地写出逆序解法的基本方程,阶段变量必须逆着写取值,明确边界条件;在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值;会以规范的集合 语言写出允许决策集合的具体形式;具体写出状态转移方程函数形式;写出阶段指标函数的数学表达式。 考试题目比此题的计算量要小,而且未必会考两个状态的情形。 2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程,会绘制“状态转移图”并以此得出结论,会 得出全过程最优指标函数值并给出依据。 3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考(但 fk(Sk)中xk的范围有错,请按照课件第四章50-53张例来改正,答题格式也须参照后者。 (四)线性目标规划或运输问题的建模和求解 A.正考样题一一非标准运输问题的建模与“表上作业法求解” 有三个发电站产地Bi,B2,B3需要从两个煤矿Ai,A购买煤炭,各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价(千元)如表5所示。 问如何调运煤炭,使得总运输费用最小表5产销平衡表和单位运价表 发电站B 煤矿A Bi B2 Bb 产量(万吨) A 23 62 23 6 A 15 77 21 2 每月对煤的需求量(万吨) 3 1 5 要求: (1)请建立该问题的线性规划模型,如果有必要再化为标准问题。 (2)用表上作 业法求解: 用最小元素法确定初始方案;用闭回路法或者位势法验证初始方案是否最优如果非最优,请用闭回路法调整,直至求出最优方案。 解: (1) 设产地 A (i=1,2)调运到销地 Bj(j=1,2,3) 的煤炭为 Xij万吨,可建立以下模型 min z 23 i1j Cij 1 Xij23X1162X12 23X1315X21 77X22 21X23 X11 X12 X13 6 X21 X22 X23 2 X11 X21 3 s.t. 1 X12 X22 X13 X23 5 Xij 0(i 1,2; j1,2,3) (2)因为总产量8万吨(=6+2)小于总需求量9万吨(=3+1+5),所以本问题不是标准运输 问题。 增加一个虚拟产地A3,它的单位运价C31=C32=C33=0,产量为9-8=1(万吨)。 (3)第一步: 用最小元素法确定初始方案(方案可能有以下三种,随着添加0位置不同而不同) 23(0)—62^―23(5)6 (1)(0) ―77——21——^-(6)— ―00——1—(0)— 315 ⑵(0)(0) (0) 方法二: 伏格尔法(本题用此法求出的初始基可行解就是最优解) 法一: 用位势法求检验数。 种初始方案 )是否最优。 求解见表6所示: 销地 产地 B1 B2 B3 U A 0 23 0 62 0 23 0 A 0 15 23 77 6 21 -8 A 0 0 -39 0 0 0 -23 V 23 62 23 表6 因为min((T22,(T23,(T32,(T33|(Tij<0)=(T32=-39<0,所以初始方案并非最优方案, 需进一步调 整,X32为进基变量。 法二: 用闭回路法求检验数 23(0)62 (1)23⑸ 15⑵7721t22=77-15+23-62=23;t23=21-15+23-23=6;t33=0-0+23-23=0; t32=0-0+23-62=-39(注: 图中画出了非基变量X32的闭回路); 因为min(T22,T23,T32,T33|Tij<0)=T32=-39<0,,所以初始方案并非最优方案,需进一步调整,X32为进基变量。 第三步: 求B值,调整初始方案。 过程如下: 021 5 以X32作为进基变量。 调整量9=min(1,1)=1,按照左图所示进行调 整,选择X31作为出基变量。 方案调整后为方案二(注: 另一个基可行解),如下: 105 2 1 用位势法可求出方案二非基变量检验数,见表7。 销地 产地 B1 B2 B3 U A1 0 23 0 62 0 23 0 A 0 15 23 77 6 21 -8 A 39 0 0 0 39 0 -62 V 23 62 23 r\ 曰z r、、■ 表7 因为非基变量检验数b22,(T23,b31,b33>0, 决策结论: 产地A向销地B调运煤炭1万吨,向销地B调运煤炭5万吨;产地A向销地B调运煤炭2万吨;销地B的需求量由虚拟产地As来满足,实际上它的需求量1万吨完全未得到满足。 最小总运费=23X1+0X62+23X5+15X2+0X仁168(千元)。 B.正考复习知识点: (1)本题是“销大于产”的非标准问题,但考试时也有可能考“产大于销”的非标准 化问题。 那么后一种情况该如何建模、标准化处理呢请参看课件第一章“运输问题”的相应 内容: 96-98张。 (2)掌握运输问题求解的“表上作业法”(非标准问题标准化后才能求解)。 确定初始方案请熟练掌握“最小元素法”即可,对“伏格尔法”不需要掌握;求方案的检验数请务必 掌握“位势法”;对方案的优化改进,能找出进基变量的闭回路、确定B值,并对方案加以优化调整。 掌握变量检验数的经济含义(第三版84页最后两段) (3)最优方案是唯一的,还是有多个呢能给出判断依据,并且得出最优方案、最优目标函数值。
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